an 10 p26

an 10. p 26.Amérique du nord.

Partie A – Restitution organisée de connaissances.

On supposera connus les résultats suivants :

Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b.

Si u ≥ 0 sur [a ; b] alors ≥ 0.

Pour tous réels α et β : α β = α + β .

Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b et si, pour tout x de [a ; b], f(x) ≤ g(x),

alors ≤ .

Partie B.

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par f(x) = e^−x²

et on définit la suite (u_n) par : u₀ = = ^² et pour tout entier naturel n non nul u_n = 1. a. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ;1] : 1/e ≤ f(x) ≤ 1.

1. b. En déduire que 1/e ≤ u₀ ≤ 1.

2. Calculer u₁ .

3. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 ≤ u_n. 3. b. Etudier les variations de la suite (u_n).

3. c. En déduire que la suite (u_n) est convergente.

4. a. démontrer que, pour tout entier naturel n, u_n≤ 1 n + 1 . 4. b. En déduire la limite de la suite (u_n).

an 10. p 26.Amérique du nord.

Partie A – Restitution organisée de connaissances.

On supposera connus les résultats suivants :

Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b.

Si u ≥ 0 sue [a ; b] alors ≥ 0. Pour tous réels α et β : α β = α + β . Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b et si, pour tout x de [a ; b], f(x) ≤ g(x),

alors ≤ .

∀ x ∈ [a ; b], f(x) ≤ g(x) donc g(x) – f(x) ≥ 0 donc d’après le 1^ier résultat donné : ≥ 0

or, d’après le 2^ième résultat donné : = − donc ≤ . Partie B.

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par f(x) = e^−x²

et on définit la suite (u_n) par : u₀ = = ^² et pour tout entier naturel n non nul u_n = 1. a. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] : 1/e ≤ f(x) ≤ 1.

0 ≤ x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ x² ≤ 1 ⇔ −1 ≤ −x² ≤ 0 ⇔ e⁻¹ ≤ e^−x² ≤ e⁰ c'est à dire 1/e ≤ f(x) ≤ 1 1. b. En déduire que 1/e ≤ u₀ ≤ 1.

1/e ≤ f(x) ≤ 1 donc

≤ ≤ 1

or

= /10 = 1/e et 1 = 10 = 1donc 1/e ≤ u₀ ≤ 1 2. Calculer u₁ .

u₁ = ^²

x e^−x² = (−1/2)(−2x)e^−x² est de la forme (−1/2)u’ e^u et admet donc pour primitive (−1/2)e^u = (−1/2)e^−x² on a alors u₁ = ^² 10 = (−1/2)e^-1 – (−1/2)e⁰ = −1/2e + 1/2

3. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 ≤ u_n. Sur [0 ; 1], xⁿ≥ 0 et f(x) > 0 donc xⁿf(x) ≥ 0

or l’intégrale d’une fonction positive est positive donc u_n≥ 0 3. b. Etudier les variations de la suite (u_n).

Pour cela cherchons le signe de u_n+1 – u_n

u_n+1 – u_n = − = 1

sur [0 ; 1], xⁿ≥ 0, f(x) > 0 et x – 1 ≤ 0 donc xⁿ(x – 1)f(x) ≤ 0

et comme l’intégrale d’une fonction négative est négative, u_n+1 – u_n≤ 0 ce qui prouve que (u_n) est .

3. c. En déduire que la suite (u_n) est convergente.

(un) est décroissante (3.b.) et minorée par 0 (3. a.) donc (un) converge.

4. a. démontrer que, pour tout entier naturel n, u_n≤ 1 n + 1 .

D’après 1.a. f(x) ≤ 1 donc xⁿ f(x) ≤ xⁿ on en déduit que ≤

or = ^!" 10 = 1

n + 1 donc u_n≤ 1 n + 1

4. b. En déduire la limite de la suite (u_n).

on a 0 ≤ u_n≤ 1

n + 1 et lim_n→+∞ 1

n + 1 = 0 donc d’après le théorème des gendarmes, lim_n→+∞ u_n= 0.