E213. Les quatre cadres **
Zig a écrit dans quatre cadres différents quatre phrases qui se terminent toutes par un nombre entier po- sitif strictement supérieur à 1. Puce a effacé ces quatre nombres. Retrouvez les !
Solution de Claude Felloneau
Les nombres effacés dans les cadres de gauche à droite puis de haut en bas sont 6, 18, 12 et 36.
Soienta,b,c,dles nombres effacés.
On a
a>1,b>1,c>1 etd>1 a=PGCD(b,c,d) 3b=a+c+d c=ab
d ouc=bd
a ouc=ad d2=abc b
donc
b=ab0,c=ac0,d=ad0avecb0>1,c0>1 etd0>1 PGCD(b0,c0,d0)=1
3b0=1+c0+d0
b0=c0d0ouc0=b0d0oud0=b0c0 d02=ab0c0
Sib0=c0d0, on ad02=ac02d0doncd0=ac0. Ainsic0diviseb0,c0etd0 doncc0=1. On a alorsb0=d0=a d’où 3a=2+ace qui est exclu cara>1.
De même l’égalitéc0=b0d0mène àa=1 qui est impossible.
Doncd0=b0c0.
On a alorsd02=ad0 donc a =d0=b0c0 et 3b0=1+c0+b0c0 soit (b0+1)(c0−3)= −4 avecb0+1>2 et c0−3>−3. Doncc0−3 égale−2 ou−1.
c0−3= −2 impliquec0=1 etb0+1=2 doncb0=1, d’oùa=d0=b0c0=1, ce qui est impossible cara>1.
On a doncc0−3= −1 d’oùc0=2 etb0+1=4 soitb0=3, d’oùa=d0=b0c0=6.
Ce qui donnea=6,b=18,c=12,d=36.
page 1 / 1
