E213 Les Quatre Cadres
Zig a écrit dans quatre cadres différents quatre phrases qui se terminent toutes par un nombre entier positif strictement supérieur à 1. Puce a effacé ces quatre nombres. Retrouvez les.
Notations :
A B=MA
C=NA D=PA
3B = A+C+D donc 3M = 1+N+P (**)
D² = ABC donc P²A² = MNA3 et P² = MNA
C = AD/B ou AB/D ou BD/A donc N = P/M ou M/P ou MP
Si N=P/M, dans (**) on remplace P par MN : 3M=1+N+MN → N = (3M – 1)/(M+1)
M 1 2 3 >3
N 1 1+2/3 2 2<N<3
(M,N) = (1,1) est exclus car ce choix conduit à A=B=C=D=1 M>3 est exclus car alors N n'est pas entier et A ne divise pas C.
(M,N) = (3,2) → P = 6 et A = P²/MN = 36/6 = 6 , B = 3*6 = 18, C = 2*6 =12, D = 6*6 = 36 Ces quatre nombres conviennent pour remplir les cadres :
Si N = M/P, dans (**) on remplace M par PN : 3PN =1+N+P → N = (P+1)/(3P – 1) P=1→ N=1 et M=1 ce qui conduit à A=B=C=D=1:exclus.
P ≥ 2 → 0 < N < 1 : exclus.
Si N=MP, dans (**) on remplace N par MP : 3M = 1+MP+P→ M = (P+1)/(3 – P) P ≥ 4 donnerait M<0 : exclus, (P,M) = (1,1) exclus,
(P,M) = (2,3) → N = 3M –1 –P = 9 – 1 – 2 = 6, puis A = P²/(MN) = 4/6 =2/3 : exclus . La solution trouvée ci-dessus est donc unique.
