E213 - Les quatre cadres [*** à la main]
Zig a écrit dans quatre cadres différents quatre phrases qui se terminent toutes par un nombre entier positif > 1. Puce a effacé ces quatre nombres. Retouvez les.
Solution proposée par Daniel Collignon
La mise en équation se traduit par l'existence de 4 entiers A, B, C, D > 1 (1) A = Pgcd(B,C,D)
(2) B = (A+C+D)/3
(3) C = AB/D ou AD/B ou BD/A (4) D = Sqrt(ABC)
D'où l'existence de 3 entiers b, c, d >=1 tels que B=bA, C=cA et D=dA avec Pgcd(b,c,d)=1 Alors (2) => 3b=1+c+d et (4) => d^2=Abc
Remarque : si 2 parmi {b,c,d} valent 1, alors b=c=d=1=A : contradiction (A>1)
Cas C=AB/D : alors b=cd, d'où (2) => 3dc=1+c+d Alors (3c-1)(3d-1)=4 => c=d=1 à exclure
Cas C=AD/B : alors d=bc, d'où (2) => 3b=1+c+bc Alors (b+1)(3-c)=4
- b=c=1 à exclure
- b=3 et c=2, d'où d=6 et A=6, B=18, C=12 et D=36
Cas C=BD/A : alors c=bd, d'où (2) => 3b=1+d+bd et on se ramène au cas précédent en permutant c et d.
Alors b=3 et d=2, d'où c=6.
Mais d^2=Abc => 2=9A : pas de solution entière
Conclusion : il y a une unique solution A=6, B=18, C=12 et D=36 Le plus grand commun
diviseur des nombres appartenant aux trois autres cadres est égal à :
La racine carrée du produit des nombres appartenant aux trois autres cadres est égale à :
Le produit de deux des nombres appartenant aux trois autres cadres divisé par le troisième nombre est égal à :
La moyenne arithmétique des nombres appartenant aux trois autres cadres est égale à :
