E213. Les quatre cadres
Le cadre 1 dit que B, C et D sont multiples de A : B = b A, C = c A, D = d A.
Les autres conditions s’´ecrivent alors : 3 b = 1 + c + d
b = c d OU d = b c OU c = b d
d =√ Abc
Si b = 1, on a c + d = 2 et donc b = c = d = 1 et A = 1, solution exclue par l’´enonc´e.
Si b = 2, c + d = 5 et aucune des conditions du cadre 3 ne peut ˆetre satisfaite.
Si b = 3, c + d = 8
2 des conditions du cadre 3 peuvent ˆetre satisfaites : soit d = 3 c, avec c = 2 et d = 6
soit c = 3 d, avec c = 6 et d = 2
Le 2`eme cas est exclu par le cadre 4. Par contre d = 3 c fournit la solution : A = 6 B = 18 C = 12 D = 36
Si b>3, le produit cd est minimum pour c = 1 ou d = 1 : cd≥3 b - 2, la 1`ere des conditions du cadre 3 (b = c d) ne peut jamais ˆetre satisfaite.
En ce qui concerne les 2 autres conditions, elles s’´ecrivent :
soit d = 3 b - c - 1 = b c b (3 - c) = c + 1 ⇒c = 1OU c = 2 soit c = 3 b - d - 1 = b d b (3 - d) = d + 1 ⇒ d = 1OUd = 2 Dans les 2 cas, on aboutit `a b = 1 ou b = 3, et aucune des conditions ne peut ˆ
etre satisfaite.
La solution est donc unique.
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