E213. Les quatre cadres
Zig a écrit dans quatre cadres différents quatre phrases qui se terminent toutes par un nombre entier positif strictement supérieur à 1. Puce a effacé ces quatre nombres. Retrouvez- les.
Voici la seule solution pour les quatre cadres dans l’ordre :
6, 18, 12 et 36
.Qui donnent
pour le cadre 1 : pgcd (18,12, 36) = 6 pour le cadre 2 : (6 +12 +36 ) / 3 = 18 pour le cadre 3 : (36 * 6 ) / 18 = 12 pour le cadre 4 : = 36
Remarque :
en notant a, b, c, et d les quatre résultats.
a b c = d²
a + c + d = 3 b (*) qui devient a² c + a c² + a d c = 3 d²
Comme pgcd( b, c, d) = a, nous posons b = ka ; c = ma et d = na
avec m, n et k entiers et premiers entre eux.
On obtient la relation sur des entiers : a =3n² /(m² + mn + m)
m a = 3 n² /(m + n +1) OU c = 3n² /(m + n +1)
3n² doit être multiple de (m + n +1) et avec (*) k = (1+m+n)/3
ou 3k - m - n = 1
Avec k=3, on a n=6 et m=2 qui est la seule solution avec (m, n et k) premiers entre eux.
Cela donne :
