E213 - Les quatre cadres
Zig a écrit dans quatre cadres différents quatre phrases qui se terminent toutes par un nombre entier positif strictement supérieur à 1. Puce a effacé ces quatre nombres. Retrouvez les.
Solution par Patrick Gordon
Notons a, b, c, d les 4 nombres comme indiqué ci-dessus.
La condition du 4ème cadre s'écrit : abc = d²
Celle du 3ème cadre s'écrit : ab = cd
ou
ad = bc ou
bd = ac
Combiné avec la condition du 4ème cadre, cela donne respectivement : d = c²
ou
d = a² ou
d = b².
Le plus grand commun diviseur des nombres appartenant aux trois autres cadres est égal à : a
La racine carrée du produit des nombres appartenant aux trois autres cadres est égale à : d
Le produit de deux des nombres appartenant aux trois autres cadres divisé par le troisième nombre est égal à : c
La moyenne arithmétique des nombres appartenant aux trois autres cadres est égale à : b
Reste à tenir compte des conditions des cadres (1) et (2) dans chacun de ces trois cas.
si d = c²
La condition (1) s'écrit :
a = PGCD (b, c, c²) = PGCD (b, c) La condition (2) s'écrit :
3b = a + c + d
Les deux réunies impliquent que : 3b = PGCD (b, c) + c + c²
Un premier essai au moyen d'un tableur donne les solutions :
Aucune ne satisfait les conditions (3) ni (4).
si d = a²
La condition (1) s'écrit :
a = PGCD (b, c, a²) = PGCD (b, c) La condition (2) s'écrit :
3b = a + c + d
Les deux réunies impliquent que :
3b = PGCD (b, c) + c + PGCD (b, c)²
Un premier essai au moyen d'un tableur donne les solutions (où b et c ne sont pas premiers entre eux) :
a 2 2 3 2 4 6
b 4 8 9 10 12 18 c 6 18 15 24 16 12
d 4 4 9 4 16 36
Seule la 6ème satisfait la condition (3) car 6×36/18 = 12.
Elle satisfait aussi la condition (4) car abc = 1296 = 36² = d².
Puisque l'énoncé suggère une solution unique, nous en resterons à celle-ci, soit : b 7 8 15
c 4 4 6
Le plus grand commun diviseur des nombres appartenant aux trois autres cadres est égal à : 6
La racine carrée du produit des nombres appartenant aux trois autres cadres est égale à : 36
Le produit de deux des nombres appartenant aux trois autres cadres divisé par le troisième nombre est égal à : 12
La moyenne arithmétique des nombres appartenant aux trois autres cadres est égale à : 18
