Zig a écrit dans quatre cadres différents quatre phrases qui se terminent toutes par un nombre entier positif strictement supérieur à 1. Puce a effacé ces quatre nombres. Retrouvez les.
Le plus grand commun diviseur des nombres appartenant aux trois autres cadres est égal à :
La moyenne arithmétique des nombres appartenant aux trois autres cadres est égale à :
Le produit de deux des nombres
appartenant aux trois autres cadres divisé par le troisième nombre est égal à :
La racine carrée du produit des nombres appartenant aux trois autres cadres est égale à :
Si a est le pgcd, les autres nombres sont ab, ac, ad, avec b, c, d premiers entre eux.
On a donc 3b=1+c+d ; d2=abc ; enfin b=cd ou c=bd ou d=bc.
b=cd est impossible car b≤Sup(1, c, d) donc b=c=d=1, et a=1, exclu par l’énoncé.
Si c=bd, d=ab2, donc c et d sont divisibles par b ce qui est impossible.
Si d=bc, b2c2=abc, donc d=a=bc ; 3b=1+c+bc : b=(c+1)/(3-c) donc c=1 ou 2.
c=1, b=1, a=d=1 ce qui est impossible ; c=2, b=3, donne a=d=6 : d’où la solution : 6, 18, 12, 36.
