E618 La couleur annoncée à l’avance [**** à la main]
Solution
Pour trouver la « recette » de Diophante, il est naturel de faire l’expérience avec une première rangée comportant un petit nombre N de boules.
Pour N=2, les trois boules situées aux sommets du triangle sont monocolores ou sont toutes de couleurs différentes.
Pour N=3, si on exclut le cas trivial où les trois boules de la 1ère rangée sont monocolores, la couleur de la dernière boule varie beaucoup en fonction de la composition de la première rangée. Pas de loi générale n’apparaît clairement.
Pour N=4 à l’inverse, on constate que chaque fois que les boules situées aux extrémités de la 1ère rangée sont de même couleur, la boule de la 4ème et dernière rangée est de la même couleur et si les boules extrêmes sont de couleurs différentes, la boule de la 4ème rangée prend la 3ème couleur.
Pour N=5 et 6, aucune loi générale n’apparaît. On est dans la même situation que pour N=3.
Pour N=7, on retrouve la propriété identifiée pour N=4 et pour N=16 qui est la configuration proposée par Diophante, trois ou quatre exemples différents amènent à la même conclusion que pour N=4 et N=7.
Si on met de côté le cas N=2, on constate que les valeurs 4,7 et 16 sont toutes égales entre elles modulo 3 (i.e. le reste de la division par 3 est le même pour les trois nombres).
Nous allons donc chercher à démontrer qu’avec une séquence initiale de 3n 1boules, si les deux boules extrêmes sont de la même couleur, les sommets du triangle final sont monocolores et si les deux boules sont de couleurs différentes, les sommets sont tricolores.
La démonstration se fait par récurrence sur l’exposant n. Par commodité, on remplace la couleur des boules par les entiers 0 (=bleu), 1(=rouge) et 2(=vert). Ceci permet d’exprimer simplement la règle de détermination de la couleur des boules rangée après rangée. Si x et y sont deux entiers adjacents placés dans une rangée quelconque k avec 0x,y2, alors l’entier z intercalé en dessous d’eux à la rangée k+1 est égal à – (x + y) modulo 3.
On vérifie que cette règle est la bonne : si x=y=0, alors z0 modulo 3. Si x=y=1, alors z=-2
1 modulo 3. Si x=y=2, alors z= - 4 2 modulo 3. Si x=0 et y=1, alors z=-1 2 modulo 3. Si x=0 et y=2, alors z=-2 1 modulo3. Enfin si x=1 et y=2, alors z=-3 0 modulo 3.
Dès lors avec une séquence de k+1 boules définie par les k+1 entiers x0,x1,x2,...,xkavec 2
x
0 i , le passage à la rangée suivante est réalisée grâce à la fonction f telle que : f(x0,x1,x2,...,xk) = { -(x0x1),-(x1x2),...,-(xk-1xk)}
Regardons ce qui se passe avec 4 boules (k=3). La fonction f appliquée 4 fois donne les résultats suivants :
On constate que la couleur de la boule de la dernière rangée est définie par -(x0x3).
Si x0 x3, alors on a -2x0 x0 modulo 3 la dernière boule est de même couleur que les deux boules situées aux extrémités de la 1ère rangée.
Si x0 x3, alors -(x0x3) y modulo 3 avec x0 x3 y la dernière boule a la 3ème couleur que n’ont pas les deux boules situées aux extrémités de la 1ère rangée.
On suppose que la proposition est vraie jusqu’au rang 3k-11 et on va démontrer qu’elle est vraie pour le rang 3k1.
Le diagramme ci-après permet d’identifier des blocs triangulaires de dimension 3k-1.
Dans le premier bloc triangulaire bleu en haut à gauche, les trois sommets ont par hypothèse les valeurs x0,x3k1 et (x0x3k1). Le bloc triangulaire rouge voisin de ce bloc bleu contient dans sa 1ère rangée les boules numérotées de 3k-12à 2.3k-1+1.Il contient 3k-1 boules sur sa 1ère rangée. On peut donc appliquer à ce bloc la formule donnant la valeur du sommet
inférieur qui est égale à (x3k-1x2.3k1). Même raisonnement avec le bloc triangulaire vert où se trouvent sur la 1ère rangée les boules numérotées de 2.3k-1+2 à 3k+1. Le sommet inférieur a pour valeur (x2.3k-1 x3k).
A partir les sommets inférieurs des trois blocs triangulaires bleu, rouge et vert, on procède de la même manière pour déterminer les valeurs des sommets inférieurs des blocs triangulaires brun et jaune qui ont toujours pour dimension 3k-1. Les premières rangées de ces deux blocs sont alimentées par les boules contenues dans les blocs triangulaires blancs placés juste au- dessus. Peu importe les valeurs prises par les variables x correspondantes . Seules comptent i les valeurs des extrémités des 1ères rangées de ces blocs. Les valeurs de leurs sommets
inférieur sont alors respectivement égales à x02x3k-1 x2.3k-1 et x3k-12x2.3k-1x3k.
Le bloc triangulaire mauve se construit selon le même principe et son sommet inférieur donne la position finale recherchée à savoir -(x0x3k). CQFD.
Pour en revenir à l’expérience de Diophante avec 16 boules placées sur la 1ère rangée avec deux boules bleues placées aux extrémités, Diophante peut annoncer sans se tromper que la dernière boule sera bleue. Si les deux boules avaient été bleue et rouge, il aurait dit « vert », bleue et verte, il aurait dit « rouge »….
