E618 La couleur annoncée à l’avance [**** à la main]
Solutions de Pierre Henri Palmade : Première solution :
Désignons les boules par leur rang: 1, 2,...,16, appelons composée de a et b notée (a,b) la boule placée au dessous de a et b; nous appellerons composée de (a1,...,ak) la boule qui se place k-1 lignes au dessous des k boules a1,...ak. On a (a,b,c)=((a,b),(b,c)) etc...
Compte tenu des différentes symétries (binaire dans les positions, ternaire entre les boules), il n'y a que deux configurations distinctes pour 2 boules (identiques ou différentes) , 5 pour 3 boules, et 11 pour 4 boules que nous allons détailler (en notant les trois couleurs R,V,B) (B,B,B,B)=(B,B,B)=(B,B)=B
(B,B,B,V)=(B,B,R)=(B,V)=R
(B,B,V,B)=(B,R,R)=(V,R)=B=(B,B) (B,B,V,V)=(B,R,V)=(V,B)=R=(B,V) (B,B,V,R)=(B,R,B)=(V,V)=V=(B,R) (B,V,B,V)=(R,R,R)=(R,R)=R=(B,V) (B,V,B,R)=(R,R,V)=(R,B)=V=(B,R) (B,V,V,B)=(R,V,R)=(B,B)=B
(B,V,V,R)=(R,V,B)=(B,R)=V (B,V,R,B)=(R,B,V)=(V,R)=B=(B,B) (B,V,R,V)=(R,B,B)=(V,B)=R=(B,V)
On constate donc que la résultante de 4 boules est la même que la résultante des boules extrêmes.
Au rang 7 (1,2,3,4,5,6,7)=((1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7))=((1,4),(2,5),(
3,6),(4,7)=((1,4),(4,7)) et au rang 10
(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)=((1,2,3,4,5,6,7),...,(4,5,6,7,8,9,10))=(((1,4),(4 ,7)),...,((4,7),(7,10)))=
(((1,4),(4,7)),((4,7),(7,10)))=(1,4,7,10)=(1,10) : on constate à nouveau au rang 10 que la résultante ne dépend que des boules extrêmes.
Le même raisonnement permet d'étendre cette propriété au rang 16 (il en serait de même au rang 6k+4 avec k entier).
Diophante n'a donc qu'à composer les boules qui commencent et terminent la première rangée pour connaître la couleur de la dernière qui sera posée: avec le dessin de l'énoncé, la dernière sera bleue.
Deuxième solution plus élégante:
Si l'on fait associe à chaque couleur un entier modulo 3 (un élément du groupe Z/3Z), par exemple 0 pour B, 1 pour R et 2 pour V, on va associer à la boule placée sur la ligne au dessous la moyenne des éléments correspondants (par exemple (1+1)/2=1 (1+2)/2=0...).
Remarquons également que modulo 3, les puissances paires de 2 valent 1, les puissances impaires 2.Si l'on nomme a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p, les entiers modulo 3 associés aux 16 boules initiales, on trouvera sur la ligne du dessous
les couleurs associées à (a+b)/2, (b+c)/2,...,(o+p)/2. Sur la troisième ligne , ce sera: a+2b+c, b+2c+d,..., n+2o+p. Sur la quatrième, lorsque l'on calcule (a+2b+c+b+2c+d)/2, les termes en b et c disparaissent et il reste simplement (a+d)/2,..., (m+p)/2, c'est à dire que la composée de 4 boules est identique à la composée des deux extrèmes. En itérant, sur la septième ligne on va trouver la moyenne du premier et du quatrième terme de la quatrième ligne, et les suivants soit a+2d+g,..., j+2m+p. En itérant de nouveau, sur la dixième ligne on trouvera alors
(a+j)/2,..., (g+p)/2. On peut ainsi encore calculer la treizième et la seizième ligne sur laquelle on ne trouvera que la boule correspondant
à (a+p)/2, c'est à dire la composée de la première et de la dernière boule (une boule bleue pour l'illustration accompagnant le problème)
