E659 - Transfert de boules [**** à la main]
Solution
On peut traiter le problème en partant de la configuration [n,n,n] pour arriver à [0,0,3n] avec à chaque étape un transfert égal à n – k boules , k étant le numéro de l’étape = 0,1,2,...n – 1 . Il suffira de lire la séquence des tranferts de bas en haut ou de la droite vers la gauche pour obtenir la séquence demandée.
A l’issue de l’étape n°0, on a nécessairement [0,n,2n] ou l’une quelconque des 6 permutations des trois termes 0,n,et 2n. Sans perte de généralité, on retient par la suite [0,n,2n] sachant que si la position finale obtenue est [0,3n,0] ou [3n,0,0], on sait toujours trouver la permutation adéquate des trois termes 0,n,et 2n qui permet d’obtenir [0,0,3n].
On fait les observations suivantes :
1) pour n=1 et pour n=2, il n’y a pas de solution possible : [0,1,2] est distinct de [1,1,1] et [0,2,4] ne permet pas d’atteindre [0,0,6] avec le transfert d’une seule boule.
2) quand n ou 2n ou 3n sont des nombres triangulaires de la forme p(p+1) /2 avec p entier naturel, le problème se résout de la manière suivante :
- 1er cas : n est triangulaire = p(p+1)/2 tel que n = 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 ,66, 78, etc... On transfère des boules entre les deux boîtes n°1 et n°2 en laissant inchangé le contenu de la boîte n°3, jusqu’à ce qu’il reste p transferts à réaliser vers la boite n°3 de p, p – 1, ..., 1 boules issues des deux autres boîtes de telle sorte que p + (p – 1) + (p – 2) + ... + 1 = p(p+1)/2.
Exemple n = 15. On a p = 5. D’où la séquence [15,15,15], [0,15,30], [14,1,30], [1,14,30], [13,2,30], [2,13,30], [12,3,30], [3,12,30], [11,4,30], [4,11,30], [5,10 ,30]. A ce stade 10 transferts ont été réalisés, il en reste 5 à effectuer. D’où les 5
configurations [5,5,35], [1,5,39], [1,2,42], [1,0,44], [0,0,45] dans lesquelles on a transféré respectivement 5 puis 4 ...puis 1 boule vers la boîte n°3.
- 2ème cas : 2n est triangulaire = q(q+1)/2 tel que 2n = 6, 10, 28, 36, 66, 78, etc..soit n = 3, 5, 14, 18, 33, 39, etc...On opère comme précédemment. Pour 2n = 6, on transfère respectivement 3,2 et 1 boules de la boîte n°3 dans la boîte n°2 afin d’obtenir [0,9,0]
et pour 2n = 10, on transfère 4,3,2, et 1 boules de la boîte n°3 vers la boîte n°2 afin d’obtenir [0,15,0]. Pour 2n = 28, par exemple, on a q = 7.On effectue 6 transferts entre les boîtes n°1 et n°3 jusqu’à obtenir la position [3,14,25]. Il en reste 7 à réaliser, ce qui donne par transferts successifs dans la boîte n°2 les positions suivantes
:[3,21,18], [3,27,12], [3,32,7], [3,36,3], [3,39,0], [1,41,0], [0,42,0].
- 3ème cas : 3n est triangulaire = r(r+1)/2 tel que 3n = 15, 21, 36, 45, 66, 78, etc...soit n=5, 7, 12, 15, 22, 26, etc...C’est toujours la même démarche que précédemment avec des transferts de boules entre les boîtes n°2 et n°3 jusqu’à ce qu’il reste r transferts successifs de r, r – 1, ..., 1 boules vers la boîte n°1. Par exemple 3n = 21. On a r = 6 avec d’entrée de jeu tous les transferts de boules vers la boîte n°1 avec la séquence suivante : [0,7,14], [6,7,8], [11,7,3], [15,3,3], [18,3,0], [20,1,0], [0,0,0]. Autre exemple 3n = 36. On a r = 8. D’où la séquence [0,12,24], [0,23,13], [0,13,23], [0,22,14], [8,14,14], [15,14,7], [21,8,7], [26,3,7], [30,3,3], [33,3,0], [35,1,0], [36,0,0]
avec transfert de 8 boules vers la boîte n°1 lors du 5ème transfert.
Nota : les valeurs de n inférieures à 100 qui correspondent à ces trois cas sont les suivantes : 3, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 18, 21, 22, 26, 28, 33, 35, 36, 39, 40, 45, 51, 55, 57, 60, 66, 68, 70, 77, 78 , 91,92
3) quand n prend toute autre valeur : 4, 8, 9, 11, 13, 16, 17,etc...le problème se résout également à l’exception de la valeur n = 4.
- Examinons d’abord le cas n = 4. A l’issue du premier transfert, la configuration [4,4,4]
devient [0,4,8].Il reste trois transferts à effectuer de 3 + 2 + 1 = 6 boules. On peut transférer 3 + 1 = 4 boules de la boîte n°2 vers la boîte n°3 mais il reste à effectuer un transfert de 2 boules qui est incompatible avec la position finale où tous les termes sont nuls modulo 4.
- Pour n 8, on sait toujours trouver une solution en opérant des transferts entre les deux boîtes n°1 et n°3 qui contiennent 0 et 2n boules jusqu’à une certaine étape n°k au cours de laquelle on transfère n – k boules de l’une des deux boîtes n°1 et n°3 vers la boîte n°2 de telle sorte que 2n – (n – k) soit un nombre triangulaire de la forme p(p+1)/2 avec p < n – k. On continue les transferts entres les deux boîtes n°1 et n°3, jusqu’à ce qu’il reste p transferts à effectuer de p, p – 1, ..., 1 boules issues de ces deux boîtes vers la boîte n°2.
On a donc l’équation (E) : k = p(p+1)/2 – n et l’inégalité k < n – p.
D’où p² +3p – 4n < 0 ou encore p <
2 9 16n
3
.
Si 16n+9 n’est pas un carré parfait on prend p = Ent[
2 9 16n
3
] et si 16n +9 est
un carré parfait on prend p =
2 9 16n
3
- 1.
D’où k à partir de l’équation (E).
Prenons deux exemples :
-1er exemple : n = 8. On a p = Ent[
2 9 16n
3
] = 4.
D’où k = 2 et la séquence des configurations correspondantes:
[8,8,8], [0,8,16],[7,8,9], [7,14,3], [2,14,8], [2,18,4],[2,21,1],[0,23,1],[0,24,0].
En rouge, on a la position à l’issue de l’étape n°2 et du transfert de 6 boules.
En vert,ce sont les positions après les 4 transferts successifs de 4,3,2,1 boules.
-2ème exemple : n = 27. 16n+9 est un carré parfait.
On prend p =
2 9 16n
3
- 1= 8.
D’où k = 36 – 27 = 9 et la séquence des configurations correspondantes : [27,27,27], [0,27,54], [26,27,28], [1,27,53], [25,27,29], [2,27,52], [24,27,30], [3,27,51], [23,27,31], [4,27,50], [4,45,32], [21,45,15], [5,45,31], [20,45,16], [6,45,30], [19,45,17], [7,45,29], [18,45,18], [8,45,28], [17,45,19], [17,53,11], [10,60,11],[10,66,5], [10,71,0], [6,75,0], [3,78,0], [1,80,0], [0,81,0].
Conclusion : excepté pour les valeurs n = 1,2 et 4, les transferts sont toujours possibles.
