Continuit´e II

L1 Analyse Exos6: 15/10/09

Continuit´ e II

1.

Expliquer o` u et pourquoi une fonction est continue

Expliquer o`u et pourquoi les fonctions suivantes sont continues, en explicitant les r´esultats invoqu´es:

a) x7→ |11x−6| b) x7→√

x+ 1−2 ln(x²+ 1) c) x7→ |x|^1e d) x7→ _|ln^x_x| e) x7→cosx√

1−x f) x7→e^−x2 + ln(x²−1) g) x7→x+^√_1−x¹ ₂ h) x7→six≥2 alors 2x−1 sinon 5−x.

2.

Expliquer o` u et pourquoi une fonction est discontinue

Expliquer o`u et pourquoi les fonctions suivantes sont discontinues:

a) x7→six≥0 alorsπsinon 3.14 b) x7→six≤0 alors 0 sinon1 x c) x7→six≤1 alors 0 sinon1

x d) x7→xE(x).

3.

Prolonger continˆ ument

i) Expliciter, s’il existe, le prolongement continu en 0 de la fonction suivante : a) x7→ ^sin_x^x b) x7→xlnx c) x7→e^−x1 d) x7→e^−x12 e) x7→xsin¹_x. ii) Expliciter, s’il existe, le prolongement continu en 1 de la fonction suivante : a) x7→ ^sin_x−1^πx b) x7→ ^x−1_lnx c) x7→(x−1) ln(x−1) d) x7→ ^ln(x+1)_x−1 . 4.

D´ emontrer

a) que la compos´ee de deux fonctions continues sur Rest continue b) que la somme de deux fonctions continues sur Rest continue c) que le max de deux fonctions continues sur R est continu d) que toute fonction continue p´eriodique surR est born´ee

e) que toute fonction continue de [0, 1] dans [0, 1] admet un point fixe f) que le polynˆome x7→x⁵+ 2x³+ex²−x+π admet une racine r´eelle.