(2) D´eterminer la valeur de cos(π/12) (Determine the value of cos(π/12

Universit´e Joseph Fourier MAT112-INT

2012-2013

Contrˆole de connaissance du lundi 19 novembre 2012 Les exercices sont ind´ependents

Exercice 1 Soitzle nombre complexei²⁰¹³ (Letz be the complex numberi²⁰¹³).

(1) D´eterminer l’argument dez (Determine the argument ofz).

(2) D´eterminer l’ensemble des nombres complexesw tels quew³ =z (Determine the set of all complex numberswsuch thatw³=z).

Exercice 2 Soientz= 1+√

3ietw= 2+2ideux nombres complexes (Letz= 1+√ 3i andw= 2 + 2ibe two complex numbers).

(1) Exprimer le nombre complexe z/w sous forme alg´ebrique (Express the complex numberz/win the algebraic form).

(2) D´eterminer la valeur de cos(π/12) (Determine the value of cos(π/12)).

(3) D´eterminer la valeur de cos(7π/12) (Determine the value of cos(7π/12)).

Exercice 3 Soient θ ∈ R et z ∈ C\ {0} tels que z+z⁻¹ = 2 cosθ (Let θ ∈ R et z ∈ C\ {0} be such that z+z⁻¹ = 2 cosθ). Montrer que, pour tout n ∈ N, on a zⁿ+z⁻ⁿ= 2 cos(nθ) (Prove that for anyn∈None has zⁿ+z⁻ⁿ = 2 cos(nθ)).

Exercice 4 Soient αet β deux nombres complexes tels que les racines de l’´equation z²+αz+β = 0 sont r´eelles (Let α and β be two complex numbers such that the solutions to the equation z² +αz+β = 0 are real). Montrer que α et β sont des nombres r´eels (Prove thatαandβ are real numbers).

Exercice 5 Soientθun nombre r´eel,z= e^2πiθ,nun entier≥1 etw=z+z²+· · ·+zⁿ (Letθbe a real number,z= e^2πiθ,n≥1 be an integer andw=z+z²+· · ·+zⁿ).

(1) D´eterminer la valeur absolue de 1−z (Determine the absolute value of 1−z).

(2) Supposons que sin(πθ) 6= 0 (Suppose that sin(πθ) 6= 0). Montrer que |w| ≤ 1/|sin(πθ)|(Prove that|w| ≤1/|sin(πθ)|).

Exercice 6 Soient z1 et z2 deux nombres complexes tels que |z1| =|z2| = 1 et que z1+z2= (3/5)+(4/5)i. (Letz1andz2be two complex numbers such that|z1|=|z2|= 1 andz1+z2= (3/5) + (4/5)i). Montrer que (Prove that)

z²₁+z₂²=−z1z₂.

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