cos −2π3 =−12 2

TS 8 Interrogation 5A : Correction 10 novembre 2015 Exercice 1 :

Donner les valeurs exactes de : 1. cos −^2π₃

2. sin ^35π₂

3. tan ^π₆

Solution:

1. cos −^2π₃

=−¹₂ 2. sin ^35π₂

=−1 3. tan ^π₆

= ^√1

3

Exercice 2 :

R´esoudre les ´equations suivantes sur [0; 2π] :

1. sin (x) =−¹₂ 2. cos (3x+π) =

√2 2

Solution:

1. S=_7π

6 ;^11π₆ 2. S=_π

4;^11π₁₂ ;^19π₁₂;^7π₄ ;^5π₁₂;^13π₁₂;^21π₁₂ Exercice 3 :

D´eriver surRles fonctions suivantes :

1. f(x) = sin(−3x+ 5) 2. g(x) =p

cos(x) + 2

Solution:

1. f⁰(x) =−3 cos(−3x+ 5) 2. g⁰(x) =− sin(x)

2p

cos(x) + 2

Exercice 4 :

Soit f la fonction d´efinie surRparf(x) = cos(2x) + sin²(x) 1. Montrer quef est π-p´eriodique.

2. ´Etudier la parit´e de f

3. Sur quel intervalle peut-on restreindre l’´etude de f? 4. Montrer quef⁰(x) =−2 sin(x) cos(x)

5. En d´eduire le tableau de variations def sur [0;^π₂]

Solution:

1. f(x+π) = cos(2x+ 2π) + sin²(x+π) = cos(2x) + (−sin(x))² = cos(2x) + sin²(x) 2. f(−x) = cos(−2x) + sin²(−x) = cos(2x) + (−sin(x))²=f(x).

f est paire

3. Comme f est π-p´eriodique, on peut restreindre l’´etude `a [−<sup>π</sup><sub>2</sub>;<sup>π</sup><sub>2</sub>]. Comme f est paire, on peut res- treindre l’´etude `a [0;^π₂].

4. f est d´erivable sur Rcomme somme de fonctions trigonom´etriques.

f⁰(x) =−2 sin(2x) + 2 cos(x) sin(x) =−4 sin(x) cos(x) + 2 cos(x) sin(x) =−2 sin(x) cos(x) 5. sin et cos sont positives sur [0;^π₂] doncf⁰(x)60 sur cet intervalle.

f est donc strictement d´ecroissante (faire un tableau)