PSI* — 2019/2020 — Révisions par chapitres — Analyse no 6 Page 1
6. (CCP) En utilisant la série exponentielle, déterminer un entier Nn et un réel Γn, dont on donnera un encadrement, vérifiant √
e2n−1n! = 2Nn+n+1
2 + Γn. Nature de la série cos π√
e2n−1n! ?
Solution : j’utilise la formule de Taylor avec reste intégral, appliquée à la fonction exp entre 0 et 1/2.
Pour tout n≥2,expest Cn+1 sur[0,1/2] donc exp (1/2) =
n
k=0
(1/2−0)k
k! exp(k)(0) +Rn où Rn=
1/2 0
(1/2−t)n
n! exp(n+1)(t) dt soit, grâce au changement de variable t=x/2,
√e=
n−2
k=0
1
2kk!+ 1
2n−1(n−1)!+ 1
2nn!+Rn où Rn= 1 2n+1n!
1 0
(1−x)nexp x 2 dx.
Or, par croissance de la fonctionexp et de l’intégrale :
1 0
(1−x)ndx≤
1 0
(1−x)nexp x
2 dx≤√ e
1 0
(1−x)ndx d’où finalement, pour tout n≥2,
√e2n−1n! = 2Nn+n+ 1
2+ Γn où Nn=
n−2
k=0
2n−2−kn!
k! ∈N et 1
4 (n+ 1) ≤Γn≤
√e 4 (n+ 1). Posons un= cos π√
e2n−1n! . D’après ce qui précède, un= cos nπ+ π
2 +πΓn = (−1)n+1sin (πΓn).
D’après l’encadrement précédent, j’ai πΓn∈[0, π/2]pour toutn≥2etπΓnn−→→∞0, donc un est une série alternée dont le terme général tend vers 0. Il reste à voir que sa valeur absolue sin (πΓn) décroît.
Or, d’après l’expression deRn ci-dessus, πΓn= π
4
1 0
(1−x)nexp x 2 dx.
Ainsi, (πΓn) décroît, or la fonction sin est croissante sur [0, π/2], donc (sin (πΓn))décroît et par con- séquent un vérifie les hypothèses du théorème spécial des séries alternées (on peut aussi faire un développement limité, mais ce n’est pas nécessaire ici. . . ).
Pour être complet, notons que |un| ∼ πΓn, d’où la divergence de |un| par comparaison à la série harmonique, en utilisant l’encadrement précédent.
En conclusion,
La série cos π√
e2n−1n! est semi-convergente.
