L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2009-2010
M. Dellinger Math´ematiques
Devoir de vacances
Les suites dans plusieurs situations
Exercice 1 : Un pas vers les fractales
On consid`ere un carr´e F1 de cˆot´e de longueur 1. Au milieu de chaque cˆot´e, `a l’ext´erieur deF1, on place un carr´e de cˆot´e 1
3, dont on supprime le cˆot´e en contact avec la figure initiale. On obtient ainsi une figureF2.
F1
F2
On proc`ede de mˆeme avec F2. On obtient ainsi une nouvelle figure F3. En r´eit´erant le proc´ed´e, on construit ainsi une suite (Fn) de figures. On notepn le p´erim`etre deFn et An l’aire deFn.
1. TracerF3.
2. Exprimer en fonction den: (a) cn, le nombre de cˆot´es deFn,
(b) ln, la longueur de chaque cˆot´e deFn, (c) pn.
3. La suite (pn) converge-t-elle ? 4. ExprimerAn+1 en fonction deAn. 5. En d´eduireAn en fonction de n.
6. Montrer que (An) converge et calculer sa limite.
7. Quelles r´eflexions vous inspire ce probl`eme ?
Exercice 2 : Suites et ´economie
Le 1er janvier 2005, Sabrina et Joanna ont plac´e chacune 3000 euros `a la banque.
– Sabrina a choisi un placement rapportant chaque ann´ee 5% d’int´erˆets simples (les int´erˆets sont ditssimples lorsqu’ils sont calcul´es chaque ann´ee `a partir du placement initial).
– Joanna a choisi un placement `a 4% d’int´erˆets compos´es (les int´erˆets sont dits compos´es lorsqu’ils sont calcul´es chaque ann´ee `a partir du capital de l’ann´ee pr´ec´edente).
1
Pour toutn∈N,on notesn le capital de Sabrina l’ann´ee 2005 +netjn le capital de Joanna l’ann´ee 2005 +n.
On admet que ni Sabrina ni Joanna ne retirent de l’argent de la banque.
1. Calculer les 4 premiers termes des suites (sn) et (jn).
2. (a) Montrer que (sn) est une suite arithm´etique et donner sa raison.
(b) En d´eduire l’expression desn uniquement en fonction den.
(c) D´eterminer la limite de la suite (sn).
3. (a) Montrer que (jn) est une suite g´eom´etrique et donner sa raison.
(b) En d´eduire l’expression dejn uniquement en fonction den.
(c) D´eterminer la limite de la suite (jn).
4. Repr´esenter sur votre calculatrice sur un mˆeme graphique les 20 premiers termes des deux suites. Discuter
`
a partir du graphique et suivant la valeur dendu placement le plus int´eressant.
Exercice 3 : Suites et int´egrales
On consid`ere la suite (un) d´efinie pour toutn∈N∗par un=
Z n n−1
e−x2 dx.
1. Calculeru1 etu2.
(a) Apr`es une rapide ´etude de la fonctionx7→e−x2,tracer la courbe de cette fonction.
(b) Donner une interpr´etation g´eom´etrique deu1,deu2puis deun pour unn∈N∗quelconque.
2. Calculerun et donner le r´esultat uniquement en fonction den.
3. Montrer que (un) est une suite g´eom´etrique et donner sa raison et son premier terme.
4. On note Sn la somme desnpremiers termes de la suite (un).
(a) Grˆace `a une formule du cours sur les suites g´eom´etriques, calculerSnet donner le r´esultat uniquement en fonction de n.
(b) Montrer que
Sn = Z n
0
e−x2 dx Donner une interpr´etation g´eom´etrique deSn.
(c) CalculerSngrˆace `a la question pr´ec´edente. V´erifier que le r´esultat trouv´e est le mˆeme qu’`a la question 4.a.
(d) D´eterminer la limite deSn quandntend vers +∞.Proposer une interpr´etation g´eom´etrique de votre r´esultat.
Exercice 4 : Suites et probabilit´es
Alice d´ebute au jeu de fl´echettes. Elle effectue des lancers successifs d’une fl´echette. On admet les renseignements suivants :
– a) Si elle atteint la cible `a un lancer, alors la probabilit´e qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est
´egale `a 1 3.
– b) Si elle manque la cible `a un lancer, la probabilit´e qu’elle manque la cible au lancer suivant est ´egale `a 4
5.
– c) Au premier lancer, elle a autant de chance d’atteindre la cible que de la manquer.
Pour toutn∈N,on consid`ere les ´ev´enements suivants : An : ”Alice a atteint la cible aune coup ”.
Bn : ”Alice a manqu´e la cible aunecoup ”.
On notepn=p(An) la probabilit´e de l’´ev´enementAn.
1. Dresser un arbre pour repr´esenter cette exp´erience al´eatoire. Faire figurer les renseignementsa), b)et c) dans cet arbre.
2. Compl´eter l’arbre pour les 3 premiers lancers. Expliquer votre d´emarche en utilisant des formules du cours.
2
3. D´eterminerp1et p2,en justifiant votre d´emarche grˆace `a des formules du cours.
4. Les ´ev´enementsA1 etA2 sont-ils ind´ependants ?
5. En utilisant la formule des probabilit´es totales, montrer que, pour toutn≥2,on a pn = 2
15pn−1+1 5. 6. Pour n ≥ 1, on poseun = pn− 3
13. Montrer que (un) est une suite g´eom´etrique, dont on pr´ecisera le premier terme et la raison.
7. D´eterminerun puispn en fonction de n.
8. D´eterminer lim
n→+∞ pn et interpr´eter ce r´esultat.
3
