Voyage au pays de la dynamique moderne
Compte rendu de la correction
Globalement vous vous ˆetes bien sortis de ce devoir pas si facile que ¸ca !
— J’ai encore trouv´e des Hamiltoniens qui d´ependaient des vitesses g´en´eralis´ees... Ce n’est pas bien, voire faux, on doit ´ecrireH=H(p, q) et jamais H=H(p, q,q), les variables ˙˙ qdoivent ˆetre ´elimin´ees dans un hamiltonien !
— Une analyse du style c’est chaotique, n’est pas vraiment int´eressante : soyez pr´ecis ! J’avais tendu des perches pour avoir des explications sur la notion de ligne dans une section de Poincar´e et je n’ai pas eu beaucoup d’analyse sur ce point pr´ecis.
— Pour la question 6 (et 12) : il fallait d´etailler l’anayse entre la partie autonome (entre les percussions) et la partie d´ependante du temps (les percussions) : la partie autonome v´erifie le theor`eme de Liouville puisqu’elle est hamiltonienne et les percussions sont repr´esent´ees par un application r´ecurente unitaire. On peut donc en d´eduire que la dynamique globale pr´eserve toutvolumede l’espace des phases (ici ce sont principalement des aires). Cela signifie que si on r´epartit uniform´ement des conditions initiales dans un carr´e d’aire A, `a chaque instant de la dynamique, l’ensemble de tous les points issus de ces conditions initiales aura une aire A. Num´eriquement il faut prendre beaucoup de points dansA pour avoir un effet de surface. Notez que cette surface se d´eforme au cours du temps (question 12) mais conserve donc la mˆeme aire...
— Pour les commentaires, en jouant avec Chirikov, tr`es peu ont vu qu’il y avait une valeur de K critique : en dessous de Kc ∼ 0.97 les sections montrent des orbites p´eriodiques, au del`a deKc des r´egions qui semblent denses apparaissent. On peut analyser ce genre de chose en calculant des exposants de Ljapunov, je vous laisse chercher plus avant sur ce point...
— Tr`es peu ont ´egalement cherch´e pourquoi des ilots stables persistent... On peut trouver les coordonn´ees de ces ilots en ´etudiant les points fixes de l’application standart, puis en lin´earisant la dynamique au voisinage de ces points on peut se faire une id´ee de leur r´esistance (attention au crit`ere de stabilit´e... avec ce genre de syst`eme il est reli´e `a la trace de la diff´erentielle du li´enaris´e qui doit ˆetre plus petite que 2...)
— Attention aussi `a la gestion des ´equations diff´erentielles dans lesquelles des distributions (¨a est un peigne de Dirac `a dents in´egales...) apparaissent ! Globalement vous avez trouv´e parce que je vous avais donn´e le r´esultat, mais si on regarde dans les d´etails...
— Attention avec les jauges : c’est pareil je vous donnais le r´esultat ! Dans la vraie vie, v´erifiez toujours que les
´
equations du mouvement que vous obtenez sont bien les mˆemes avec ou sans jauge ! Voici maintenant quelques pistes pour la correction...
1 Le rotateur non perturb´ e : un syst` eme int´ egrable
Un rotateur rigide est un syst`eme de deux massesm1etm2 suppos´ees ponctuelles pouvant tourner autour de leur barycentreO sans modifier leur distance `a celui-ci et en restant sur le mˆeme axe.
Les deux masses sont ici des atomes dont la distance est
re=r1+r2 (1)
L’origineOdu r´ef´erentiel (galil´een...) est le barycentre de deux atomes tel quem1~r1+m2−−→
OM2 =~0 avec~r1 =−−→
OM1=r1ber et ~r2 =−−→
OM2 =
−r2ber. En projection surber, cette d´efinition donne
m1r1=m2r2 (2)
En combinant (1) et (2) il vient r1
m2 = r2
m1 = re
m1+m2 (3)
Le moment d’inertie de la mol´ecule est la somme des moments d’inertie de chaque atome, soitI=m1r21+m2r22, en utilisant les relations (3) il vient
I=m1
m2re m1+m2
2
+m2
m1re m1+m2
2
= m1m2
m1+m2
m2re2
m1+m2+ m1r2e m1+m2
=µre2 avecµ= m1m2
m1+m2
Le moment cin´etique total est la somme des moments cin´etiques de chaque atome : ~L=m1~r1∧~v1+m2~r2∧~v2. Les vitesses s’obtiennent directementv~1= d~dtr1 =r1θ˙beθ etv~2= d~dtr2 =−r2θ˙beθainsi
~L=m1r1ber∧ r1θ˙beθ
−m2r2ebr∧
−r2θ˙beθ
= (m1r21+m2r22) ˙θebϕ=µr2eθ˙ebϕ
o`u beϕ = ber∧beθ est le troisi`eme vecteur de la base orthonorm´ee sph´erique. On obtient donc une relation entre le moment cin´etiqueL=
~L
, la vitesse angulaire et le moment d’inertie θ˙ = L
I = L µre2
L’´energie cin´etique T du syst`eme est la somme des deux ´energies cin´etiques de chacune des deux masses : T =1
2m1~v12+1
2m2~v22=1
2 m1r21+m2r22θ˙2= 1
2Iθ˙2= L2 2µr2e Comme il n’y a pas d’´energie potentielle le lagrangien est donc simplement
L θ,θ˙
=T = 1 2Iθ˙2 .
On passe en formalisme hamiltonien en introduisantp=∂L
∂θ˙ =Iθ˙ et donc H(p, θ) =pθ˙− L= 1
2Iθ˙2= p2 2I
C’est un syst`eme int´egrable car le hamiltonien ne d´epend que d’une des deux variables possibles. Les ´equations de Hamilton s’´ecrivent
˙
p=−∂H
∂θ = 0 =⇒ p(t) =p0=cste θ˙= +∂H
∂p =p I = p0
I =cste =⇒ θ(t) =ωt+θ0 avecω=p0
I
2 Le rotateur percut´ e : un syst` eme ...
Le rotateur est percut´e de fa¸con p´eriodique avec une p´eriodeT. Cela signifie que l’on exerce une force impulsionnelle tr`es br`eve tous les nT avecn∈N. La force est si br`evre que la variation de l’angle reste continue alors que celle de l’impulsion ne l’est plus et change brutalement au moment de la percussion. On d´ecide que le changement d´epend du sinus de l’angle θau moment de la percussion. En dehors de ces percussions le syst`eme reste un rotateur rigide !
Avec cette percussion le syst`eme devient non lin´eaire et non autonome (i.e. le hamiltonien d´epend du temps), mais on peut quand mˆeme comprendre beaucoup de choses...
Le processus de percussion peut se r´esumer ainsi : pour chaque entiern∈N, et sur les intervallesnT < t <(n+ 1)T
on a
p(t) =pn
θ(t) =θn+ pIn(t−nT) o`u
θn+1=TIpn+θn
pn+1=pn+λsinθn+1
avecλ∈R∗
L’´evolution de l’impulsion est donc constante par morceaux et celle de l’angle est continue et affine par morceaux.
Ces morceaux sont tous de longueur T. En posantρn = TIpn, le syst`eme est compl`etement d´etermin´e par la donn´ee d’une condition initiale (ρ0, θ0) et de la relation de r´ecurrence
θn+1=ρn+θn
ρn+1=ρn+Ksinθn+1 avecK=λT I
Cette relation de r´ecurrence est appel´ee la carte standard, elle a ´et´e introduite par Chirikov en 1979.
L’application standart se met sous la forme d’un syst`eme r´ecurrent non lineaire en posant
F :
R2 → R2
x y
7→
f1(x, y) =x+y f2(x, y) =y+Ksin (x+y)
La jacobienne s’´ecrit
J(x, y) =
1 1
Kcos (x+y) 1 +Kcos (x+y)
son d´eterminant est donc bien ´egal `a l’unit´e !
En cons´equence, un ensemble de conditions iniales occupant `at= 0 un volumeV verra se volume pr´eserv´e lors de l’´evolution pendant la phase hamiltonienne (i.e.nT < t <(n+ 1)T) : c’est le th´eor`eme de Liouville. Lors de chaque choc, ce volume sera pr´eserv´e par l’application standard. La dynamique globale pr´eserve donc le volumeV.
Outre cet aspect r´egulier on peut mettre en ´evidence de nombreux aspect de cette dynamique :
— la sensibilit´e aux conditions initiale peut ˆetre ´etudi´ee de nombreuses mani`eres...
— un certain nombre de points fixes apparaissent dans la dynamique, on peut les trouver en r´esolvant l’´equation X =F(X). On peut alors ´etudier la dynamique au voisinage de ces points fixes et faire une ´etude en fonction deK...
— on peut ´egalement ´etudier le comportement global de la dynamique en fonction deKen ´etudiant des param`etres de stabilit´e comme par exemple les exposants de Ljapunov. On trouve alors qu’il existe une valeurK =Kc ' 0,97 qui semble ˆetre un seuil entre des comportements plutˆot r´eguliers ou plutˆot chaotique... mais comme toujours dans ce genre de probl`eme, rien n’est vraiment prouv´e...
3 Mise en pratique : le rotateur ` a base mobile
3.1 Equation du mouvement
La percussion d’un rotateur est un id´ealisation th´eorique que l’on peut rendre pratique (jusqu’`a un certain point...).
On r´ealise pour cela une tige rigide de longueur`et de masse n´egligeable devant celle d’une bille assimil´ee `a un point de masse m situ´e `a l’ext´emit´e de la tige. L’autre extr´emit´e C de cette tige se d´eplace sur un axe Ox selon une loi horairea(t). La bille peut tourner librement autour deC dans le planOxy, ainsi la pesanteur n’intervient pas dans ce probl`eme. On rep`ere la position de la tige par l’angle θ(t) qu’elle fait avec l’axe Ox. Le rep`ere (Oxyz) est fixe.
L’ensemble est repr´esent´e sur la figure ci-dessous.
La position de la masse est rep´er´ee par le vecteur −−→
OM =a(t)bex+`ebr, et sa vitesse~v = d−−→OMdt = ˙abex+`θ˙beθ. Son
´
energie cin´etique est simplementT = 12m~v2, le lagrangien est purement cin´etique, sachant que b[ ex,beθ
=θ+π2, il vient
L0 =1 2m
˙
abex+`θ˙ebθ
2
=1
2ma˙2+1
2m`2θ˙2−m`a˙θ˙sinθ en introduisant la jauge F(θ, t) =−R 1
2ma˙2−m`a˙cosθ on choisit le nouveau lagrangien L=L0+dF
dt =1
2m`2θ˙2−m`¨acosθ Par d´efinition
p= ∂L
∂θ˙ =m`2θ˙ ainsiH(θ, p) =pθ˙−L= p2
2m`2 +m`¨acosθ On en d´eduit les ´equations du mouvement
˙
p=−∂H
∂θ =m`¨asinθ et ˙θ= +∂H
∂p =p/I avecI=m`2
3.2 Oscillations continue et affine par morceaux
Si l’on suppose que la fonction a(t) est continue et affine par morceaux avec des changements de pente tous les t = nT, notons an sa pente sur l’intervalle t ∈ [nT,(n+ 1)T[. Etudions la premi`ere transition, en partant des conditions initiales (θ, p)t=0= (θ0, p0)∈R2 :
1. Sur l’intervallet∈]0, T[ la fonction ¨a(t) est nulle, l’´equation diff´erentielle est triviale : p˙= 0
θ˙=p/I =⇒
p(t) =p0
θ(t) =ω0t+θ0 avecω0=p0/I
ce type de solution se reproduit sur chaque intervalle t ∈ [nT,(n+ 1)T[ o`u l’on aura p(t) = pn et θ(t) = ωn(t−nT) +θn.
2. Int´egrons l’´equation diff´erentielle v´erif´ee par p(t) sur un petit intervalle de temps centr´e sur T soit t ∈ [T−ε, T +ε]. On suppose que la fonctionθ(t) est continue, il vient
Z T+ε
T−ε
dp dtdt=
Z T+ε
T−ε
m`sinθda2 dt2dt
⇔ p(T+ε)−p(T −ε) =m`sinθ(T) da
dt T+ε
T−ε
=m`(a1−a0) sinθ(T)
en se servant de l’´etude pr´ealable sur l’intervallet∈[nT,(n+ 1)T[ on obtientp(T+ε) =p1,p(T −ε) =p0et θ(T) =θ1 et donc
p1=p0+m`(a1−a0) sinθ1 (4)
La nouvelle constante p1 est donc diff´erente de p0 sauf si la pente ne change pas ou bien θ1 = 0 [π]. Cette nouvelle constante permet de fixer la valeur de ω1 =p1/I et la derni`ere constante θ1 est telle que θ(t) soit continue ent=T ainsi
θ1=ω0T+θn= T
p0+θ0 (5)
Les relations de r´ecurrence (4) et (5) se g´en´eralisent `a l’ordren, ainsi en posant ρn =TIpn on obtient θn+1=ρn+θn
ρn+1 =ρn+Knsinθn+1 avecKn= T
` (an+1−an)
On peut toujours prendre une fonctiona(t) telle queA=an+1−an=cste c’est-`a-dire une fonction en escalier, mais c’est un escalier infini... et donc pas tr`es r´ealiste !
3.3 Oscillations en dent de scie
On consid`ere une oscillation p´eriodique du point C `a vitesse de norme constante σ/2. On se place donc dans le casa(t) =s(t) repr´esent´e sur la figure . Montrer que l’application associ´ee au syst`eme sur une p´eriode s’´ecrit sous la forme
θn+1=θn+ 2ρn+Ksin (ρn+θn) ρn+1=ρn+Ksin (ρn+θn)−Ksinθn+1
On pr´ecisera la valeur deK, en utilisant le logiciel de votre choix, tracer le r´esultat de 1000 it´erations de 200 conditions initiales choisies uniform´ement au hasard dans le carr´e [0,2π[2.
Il s’agit l`a d’un cas bien plus r´ealiste mˆeme si l’inversion de la vitesse doit se faire instantanement et sans pertuber la continuit´e de l’angle de rotation...
Raisonnons en deux ´etapes :
1. Soitk∈2N, le num´ero d’une transition se produisant en un instant de la formet=kT /2 : la vitesse passe de
−σ/2 `a +σ/2.
On peut appliquer int´egralement le r´esultat de l’analyse pr´ec´edente et donne directement le r´esultat θk+1=ρk+θk
ρk+1=ρk+Ksinθk+1
avecK=σT
` (6)
2. Le num´ero de la transition suivante est ´evidementk+ 1, c’est un nombre impair. Cette transition se produit `a l’instantt= (2k+ 1)T /2 o`u la vitesse passe de +σ/2 `a−σ/2 et l’on a
θk+2=ρk+1+θk+1
ρk+2=ρk+1−Ksinθk+2
(7) en injectant les expressions (6) dans (7) on trouve alors la relation d´ecrivant la transition sur une p´eriode compl`ete
θk+2=θk+ 2ρk+Ksin (ρk+θk) ρk+2=ρk+Ksin (ρk+θk)−Ksinθk+2
Pour chaquet=nT avecn∈N on aura donc θn+1=θn+ 2ρn+Ksin (ρn+θn)
ρn+1=ρn+Ksin (ρn+θn)−Ksinθn+1 qui correspond presque `a la composition de l’application standard avec elle mˆeme (son carr´e), elle est appel´ee ap- plication de la dent de scie... On a trac´e ci-contre quelques aspects des sections de Poincar´e de cette application pour K= 0.8 en repr´esentant le r´esultat de 1000 it´erations de 200 conditions initiales choisies dans le carr´e [0,2π[2.
En introduisant le vecteurUn= (θn, ρn), l’application s’´ecrit
Un+1=F(Un) avecF :
R2 → R2 x
y
7→
f1(x, y) =x+ 2y+Ksin (x+y)
f2(x, y) =y+Ksin (x+y)−Ksin [x+ 2y+Ksin (x+y)]
La jacobienne deF(x, y) s’´ecrit
J(x, y) =
∂f1
∂x
∂f1
∂y
∂f2
∂x
∂f2
∂y
!
=· · ·
On v´erifie par le calcul que son d´eterminant est ´egal `a 1... c’est un peu bestial mais ¸ca se fait.
Plus subtilement, on peut ´egalement utiliser le fait queF est la composition de deux applications :F =F ◦F+
avec
F±:
R2 → R2
x y
7→
x+y
f2(x, y) =y±Ksin (x+y)
Chacune de ces deux applications poss`ede un jacobien dont le d´eterminant est unitaire car ce sont des applications standard. Chacune de ces application pr´eserve donc l’aire dans l’espace des phases. Leur composition ´egalement !
Ce qu’on observe sur la figure est maintenant tr`es simple `a interpr´eter : Le carr´e initial se d´eforme au cours des it´erations mais le volume (ici c’est une surface...) qu’il occupe dans l’espace des phases est conserv´e...
Pour pouvoir calculer des aires il faudrait ´etudier l’´evolution de tous les points du carr´e, ce qui n’est pas possible num´eriquement mais un nombre suffisament grand permet de comprendre le ph´enom`ene...
Des ´etudes sans fin peuvent ˆetre men´ees sur ce genre de probl`eme : en partant d’une aire donn´ee (bien repr´esent´ee par suffisament de conditions initiales pour que cet ensemble de points forme une aire...) on peut ´etudier l’´evolution de la forme de cette aire au cours du temps dans l’espace des phases. On voit g´en´eralement apparaˆıtre des formes fractales. On peut d´emontrer un certain nombre de choses `a ce sujet mais uniquement dans des cas tr`es simples...
On peut tenter par exemple de calculer la dimension de l’ensemble form´e par ces conditions initiales en comptant le nombre de points qui se trouvent autour d’un point donn´e... On est alors face `a de belles surprises !
On prends alors conscience de la complexit´e des syst`emes dynamiques et de la multiplicit´e des champs d’´etude qu’ils fournissent...
