Th`ese pr´esent´ee en vue de l’obtention du Grade de Docteur en Sciences Appliqu´ees

Universit´e Libre de Bruxelles Facult´e des Sciences Appliqu´ees

Description de la dissociation de noyaux ` a halo par l’approximation

eikonale dynamique

Th`ese pr´esent´ee en vue de l’obtention du Grade de Docteur en Sciences Appliqu´ees

G´ erald Goldstein

Juin 2007

Je n’arrive plus ` a situer exactement si c’´etait lorsqu’il nous a pr´esent´e « le chat de Schr¨ odinger » ou « la dualit´e onde-particule » , mais en tout cas, c’est ` a cette p´eriode-l` a que le Professeur Daniel Baye m’a donn´e goˆ ut ` a la physique en g´en´eral et ` a la m´ecanique quantique en particulier. J’ai ensuite eu la chance de pouvoir r´ealiser cette th`ese de doc- torat sous sa direction. J’ai alors pu profiter de ses grandes qualit´es p´edagogiques et de l’´etendue de ses connaissances scientifiques. J’aimerais tout particuli`erement le remercier pour son implication et sa grande disponibilit´e, et ce malgr´e un agenda souvent tr`es charg´e.

Je lui adresse ma profonde gratitude pour la relecture attentive de mon travail.

Que ce soit du fond du couloir ou du fond de sa cabane au Canada, il a toujours r´epondu pr´esent ` a mes appels. Je dois dire que ce fut un r´eel plaisir pour moi de travailler avec Pierre Capel. Sa rigueur dans le travail et son esprit d’´equipe ont certainement facilit´e ces quatre ann´ees de collaboration. Au d´epart simples coll`egues, nous sommes devenus amis.

J’esp`ere qu’il portera encore longtemps haut les couleurs du breakup des noyaux ` a halo.

J’aimerais remercier les membres du service de physique nucl´eaire th´eorique et physique math´ematique (PNTPM) dans lequel j’ai effectu´e ce travail. Je pense avant tout aux deux chefs de service successifs, Christiane Leclercq-Willain et Pierre Descouvemont, qui furent toujours de bons conseils. Je pense aussi ` a Rachid, Jean-Marc et Marc qui furent de tr`es sympathiques compagnons de route pendant ces quatre derni`eres ann´ees.

Comme disait la chanson, une journ´ee de travail sans Claire ou Laura, c’est un peu comme une samsonite oubli´ee sur le quai d’une gare. Leur sourire, leur joie et leur bonne humeur ont rayonn´e sur ces innombrables repas de midi ou pauses caf´e. Je remercie aussi Sophie, St´ephane, Sandrine, Paola, Elizab`ete et Geoffrey pour leur agr´eable compagnie ainsi que Emma et Julien avec lesquels je passe toujours des moments plaisants.

Je tiens ` a remercier profond´ement ma famille et plus particuli`erement mes parents qui m’ont tant donn´e ainsi que mon fr`ere qui, tel Mathusalem, m’apporte toujours un soutien infaillible.

Enfin, ` a celle qui, au d´ebut de mon doctorat, ´etait ma petite amie et qui est aujourd’hui ma femme, j’ai envie de dire merci pour tout ce que tu m’apportes. Doroth´ee, mˆeme si toutes ces ´equations et tous ces graphiques ont toujours ´et´e du petit chinois pour toi, tu n’as jamais cess´e de t’int´eresser ` a mon travail. Tes petites attentions au quotidien, ta complicit´e et ta tendresse m’ont sans conteste beaucoup aid´e tout au long de la r´ealisation de ce travail.

Pour r´ealiser ce travail, j’ai b´en´efici´e d’une bourse de recherche d’un an du Pˆ ole d’at-

traction interuniversitaire (PAI) ainsi que d’une bourse de trois ans du Fonds pour la

formation ` a la recherche dans l’industrie et l’agriculture (FRIA). Je remercie vivement

ces organismes pour leur financement.

1

Table des mati` eres

Introduction 5

1 Les noyaux ` a halo 9

1.1 A la d´ecouverte de la structure ` a halo . . . . 9

1.2 D´efinition et conditions d’existence . . . 11

1.3 Mod`ele simple pour les noyaux ` a halo ` a deux corps . . . 12

1.4 Syst`eme ` a trois corps et noyaux borrom´eens . . . 14

2 R´ eactions de noyaux ` a halo d’un nucl´ eon 15 2.1 Cin´ematique de la r´eaction de dissociation . . . 16

2.2 Traitement quantique de la r´eaction . . . 18

2.2.1 Structure ` a deux corps du projectile . . . 18

2.2.2 Equation de Schr¨ odinger ` a trois corps . . . 19

2.2.3 Sections efficaces . . . 20

2.3 M´ethodes d’approximation . . . 21

2.3.1 Approximation semi-classique . . . 21

2.3.2 Approximation adiabatique . . . 24

2.3.3 Approximation eikonale . . . 25

2.3.4 M´ethode de discr´etisation du continu (CDCC) . . . 25

2.3.5 Approximation eikonale dynamique . . . 27

3 Approximation eikonale dynamique 29 3.1 Description interne du projectile . . . 29

3.2 Potentiels d’interaction projectile-cible . . . 32

3.3 Principes de l’approximation eikonale dynamique . . . 32

3.3.1 Fonction d’onde eikonale dynamique . . . 33

3.3.2 Sym´etries de l’´equation de Schr¨ odinger . . . 33

3.4 Diffusion ´elastique . . . 37

3.4.1 El´ement de matrice de transition . . . 37

3.4.2 Section efficace ´elastique . . . 39

3.5 Diffusion in´elastique . . . 40

3.6 R´eaction de dissociation ´elastique . . . 40

3.6.1 El´ement de matrice de transition . . . 40

3.6.2 Section efficace de dissociation . . . 42

3.6.3 Invariance par rotation autour de l’axe Z de la section efficace . . . 44

3.7 Approximation eikonale . . . 45

3.7.1 Fonction d’onde eikonale . . . 45

3.7.2 Sections efficaces . . . 46

3.8 Approximation semi-classique . . . 47

3.8.1 Trajectoire classique et section efficace de Rutherford . . . 47

3.8.2 Equation de Schr¨ odinger d´ependant du temps . . . 49

3.8.3 Diffusion ´elastique . . . 49

3.8.4 R´eaction de dissociation . . . 50

3.8.5 Premier ordre des perturbations . . . 51

4 M´ ethodes num´ eriques 55 4.1 R´esolution num´erique de l’´equation de Schr¨ odinger d´ependant du temps . . 55

4.1.1 Principes de la r´esolution num´erique . . . 57

4.1.2 Op´erateur d’´evolution . . . 57

4.1.3 R´eseau de Lagrange angulaire . . . 60

4.1.4 Quadrature de Gauss sur une sph`ere . . . 61

4.1.5 Base angulaire . . . 63

4.1.6 D´eveloppement angulaire de la fonction d’onde . . . 64

4.1.7 El´ements de matrice angulaires . . . 65

4.1.8 R´eseau radial quasi-uniforme . . . 66

4.1.9 Discr´etisation radiale de la fonction d’onde et ´el´ements de matrice . 67 4.2 Equation de Schr¨ odinger d´ependant du temps et approximation eikonale dynamique . . . 68

4.3 Amplitude de diffusion ´elastique modifi´ee . . . 70

4.4 Amplitudes de dissociation . . . 70

4.4.1 D´ependance en b, extrapolation et interpolation . . . 72

4.4.2 D´ependance en l’´energie relative . . . 73

4.4.3 D´ependance en Z ou en le temps t . . . 73

4.5 Effets coulombiens avec des trajectoires rectilignes . . . 74

4.6 Corrections relativistes . . . 75

TABLE DES MATI` ERES 3 5 Diffusion ´ elastique et dissociation du ¹¹ Be 77

5.1 Structure interne du ¹¹ Be . . . 77

5.2 Potentiels d’interactions entre le projectile et la cible . . . 80

5.3 Conditions des calculs num´eriques . . . 82

5.4 Diffusion ´elastique . . . 83

5.4.1 Diffusion ´elastique sur une cible de carbone ` a 49.3 MeV/nucl´eon . . 83

5.4.2 Diffusion ´elastique sur une cible de plomb ` a 20 MeV/nucl´eon . . . . 85

5.5 Dissociation sur cible l´eg`ere . . . 86

5.5.1 Amplitudes de dissociation . . . 86

5.5.2 Influence des interactions coulombienne et nucl´eaire . . . 87

5.5.3 Distribution en ´energie relative . . . 89

5.5.4 Distributions angulaires . . . 91

5.5.5 Comparaison avec l’approximation eikonale . . . 92

5.6 Dissociation sur cible lourde . . . 94

5.6.1 Amplitudes de dissociation . . . 94

5.6.2 Pr´edominance de l’interaction coulombienne . . . 95

5.6.3 Distribution en ´energie relative . . . 96

5.6.4 Distributions angulaires . . . 97

5.6.5 Comparaison avec les approximations eikonale et semi-classique . . . 98

6 Dissociation et spectroscopie du ¹⁹ C 103 6.1 Mod´elisation de la structure interne du ¹⁹ C . . . 105

6.2 Potentiels optiques et conditions num´eriques . . . 106

6.3 Distribution en ´energie et r´esonance d5/2 . . . 106

7 Dissociation du ⁸ B et capture radiative ⁷ Be(p,γ) ⁸ B 109 7.1 Structure interne du ⁸ B . . . 112

7.2 Potentiels d’interactions projectile-cible . . . 112

7.3 Conditions des calculs num´eriques . . . 113

7.4 Distributions en ´energie . . . 114

7.5 Distributions en impulsion parall`ele . . . 117

7.5.1 Calcul de la distribution en impulsion parall`ele . . . 117

7.5.2 Comparaison avec l’exp´erience . . . 118

7.6 Distributions angulaires . . . 122

7.7 Dissociation coulombienne et facteur astrophysique S . . . 125

Conclusion et perspectives 129

Annexes 133

A Sections efficaces dans le r´ef´erentiel du laboratoire . . . 133

B Sym´etrie de rotation de la section efficace . . . 137

C Phase eikonale coulombienne . . . 139

D Amplitude de dissociation au premier ordre des perturbations . . . 141

E Approximations de l’op´erateur d’´evolution . . . 143

F Effets de bord sur le r´eseau radial . . . 147

Bibliographie 148

5

Introduction

Depuis leur d´ecouverte au milieu des ann´ees quatre-vingt, les noyaux ` a halo n’ont cess´e d’intriguer et de fasciner [1]. Cette d´ecouverte a ´et´e rendue possible par le d´eveloppement de faisceaux d’ions radioactifs au cours des ann´ees septante. L’immense d´efi technologique consiste ` a produire, ` a acc´el´erer et ` a faire entrer en collision des noyaux dont la dur´ee de vie est extrˆemement courte (entre quelques millisecondes et quelques minutes). Cette performance a ouvert le champ de l’exploration des propri´et´es des noyaux atomiques aux fronti`eres de la stabilit´e.

En 1985, I. Tanihata [2] mesure des sections efficaces d’interaction ´etonnamment grandes en ´etudiant des r´eactions impliquant certains noyaux atomiques tr`es riches en neutrons comme le <sup>11</sup> Li. Pour lui l’explication est simple : la taille de ce noyau est beau- coup plus grande que pr´evue par l’hypoth`ese commun´ement adopt´ee du noyau sph´erique.

P.G. Hansen et B. Jonson [3] ´emettent alors l’id´ee que certains noyaux pr´esentent une structure jusqu’alors inconnue. Ils seraient constitu´es d’un coeur, qui a les propri´et´es d’un noyau normal, auquel un ou deux neutrons qui forment le halo seraient faiblement li´es. Ils introduisent le terme de halo de neutrons. Cette propri´et´e bouleverse compl`etement l’image traditionnelle du noyau atomique, celle d’un m´elange quasiment homog`ene de protons et de neutrons.

De nombreuses exp´eriences ont depuis lors permis de mettre en ´evidence d’autres noyaux ` a halo. Les exemples les plus connus sont les noyaux de <sup>11</sup> Be et <sup>15</sup> C (dont le halo est compos´e d’un seul neutron) ou de <sup>11</sup> Li et <sup>6</sup> He (dont le halo est compos´e de deux neutrons). La possibilit´e d’un halo compos´e d’un proton est s´erieusement envisag´ee pour le noyau de <sup>8</sup> B. La caract´eristique principale des noyaux ` a halo est donc une structure en amas fortement marqu´ee. On d´ecrit g´en´eralement leur structure par un mod`ele ` a deux corps (pour un halo d’un seul nucl´eon) ou ` a trois corps (pour un halo de deux nucl´eons).

Ces mod`eles font ´etat d’une lente d´ecroissance de la fonction d’onde relative entre les amas, signe d’une probabilit´e de pr´esence ´elev´ee du halo ` a grande distance. Un noyau ` a halo est d’ailleurs caract´eris´e par le fait que le nucl´eon de son halo a une grande probabilit´e de pr´esence au-del` a de la port´ee du potentiel qui le lie ` a son coeur, r´egion classiquement interdite.

Les amas qui composent les noyaux ` a halo sont faiblement li´es entre eux. Ils ont

d`es lors tendance ` a facilement se dissocier lorsqu’ils entrent en collision avec un noyau

cible. Les r´eactions de dissociation de noyaux ` a halo constituent donc un formidable

outil exp´erimental pour ´etudier leurs propri´et´es. L’analyse de telles r´eactions n´ecessite

une description pr´ecise du processus de collision. L’objectif de ce travail est d’´etudier

th´eoriquement la dissociation de noyaux ` a halo comportant un seul nucl´eon. Diff´erents

mod`eles th´eoriques existent (voir les articles de revue [4, 5]). Les plus r´epandus sont la

m´ethode en voies coupl´ees avec discr´etisation du continu (CDCC) [6–8] ainsi que les ap- proximations semi-classique [9–13], eikonale [14,15], DWBA [16,17] ou adiabatique [18,19].

Nous avons d´evelopp´e un nouveau mod`ele de r´eaction, l’approximation eikonale dynamique [20]. Il s’agit d’une m´ethode purement quantique qui combine les avantages des approxi- mations eikonale et semi-classique.

Dans l’approximation semi-classique le mouvement relatif entre le projectile (le noyau

`

a halo) et la cible est trait´e classiquement. En parcourant une trajectoire classique, le mouvement interne du projectile est affect´e par un potentiel d´ependant du temps dˆ u au passage pr`es de la cible. Les deux constituants du projectile sont alors soumis ` a des forces diff´erentes, ce qui conduit ` a la dissociation du projectile. L’approximation semi-classique m`ene ` a la r´esolution d’une ´equation de Schr¨ odinger d´ependant du temps. Son principal d´esavantage provient de l’absence d’interf´erence quantique entre les diff´erentes trajectoires classiques. N´eanmoins elle pr´esente l’avantage que la dynamique interne du projectile est prise en compte de fa¸con exacte.

L’approximation eikonale consiste ` a calculer de mani`ere approch´ee la phase de la fonc- tion d’onde ` a trois corps d´ecrivant le mouvement relatif entre la cible et les deux consti- tuants du projectile. Cette phase est obtenue en int´egrant le potentiel d’interaction entre le projectile et la cible le long de trajectoires rectilignes. Les interf´erences quantiques entre les diff´erentes trajectoires sont prises en compte. Elle est cependant ´etablie en utilisant une approximation qui a pour inconv´enient d’ignorer certains effets dynamiques ` a l’int´erieur du projectile.

L’approximation eikonale dynamique prend en compte aussi bien les effets dynamiques du mouvement interne du projectile que les interf´erences quantiques entre les trajec- toires. Elle conduit ` a la r´esolution d’une ´equation de Schr¨ odinger approch´ee similaire ` a celle de l’approximation semi-classique avec trajectoires rectilignes. Elle permet de d´efinir pr´ecis´ement toutes les observables li´ees ` a la diffusion ´elastique, ` a la diffusion in´elastique ainsi qu’`a la dissociation des noyaux ` a halo.

Nous appliquons l’approximation eikonale dynamique ` a l’´etude de r´eactions impliquant trois noyaux ` a halo diff´erents : le ¹¹ Be, le ¹⁹ C et le ⁸ B. Le noyau de ¹¹ Be poss`ede un halo comportant un neutron qui est bien prononc´e. La simplicit´e de sa structure et le nombre

´elev´e d’exp´eriences de dissociation [21–23] dans lesquelles il entre en jeu en font un cas id´eal pour mettre notre mod`ele de r´eaction ` a l’´epreuve. En analysant la diffusion ´elastique du ¹¹ Be, sa dissociation sur cible l´eg`ere et sa dissociation sur cible lourde, nous confrontons les r´esultats obtenus avec l’approximation eikonale dynamique aux donn´ees exp´erimentales existantes. Nous utilisons ´egalement la dissociation du ¹¹ Be pour mettre en ´evidence les diff´erences entre les approximations eikonale dynamique, semi-classique et eikonale.

Contrairement au ¹¹ Be, le noyau de ¹⁹ C est encore mal connu. Plusieurs exp´eriences [24–26] plaident en faveur d’une structure ` a halo compos´e d’un neutron. L’´etude exp´eri- mentale de sa dissociation [27] a permis de d´eterminer l’´energie de s´eparation du neutron.

Nous analysons les r´esultats de cette mesure dans le but d’´evaluer l’influence sur la section efficace de dissociation d’une hypoth´etique r´esonance dans le spectre continu du ¹⁹ C.

La dissociation coulombienne du ⁸ B est intens´ement ´etudi´ee exp´erimentalement [28–34]

dans le but d’obtenir des informations sur la r´eaction inverse qu’est la capture radiative

7 Be(p,γ) ⁸ B. Cette r´eaction joue un rˆ ole important dans le mod`ele standard du soleil et

en particulier pour l’´etude des neutrinos de hautes ´energies ´emis par le soleil [35]. Grˆ ace ` a

l’approximation eikonale dynamique, nous sommes ` a mˆeme de calculer diff´erentes obser-

Introduction 7 vables mesur´ees exp´erimentalement. Cela nous permet d’avoir une vue d’ensemble sur la dissociation du ⁸ B et d`es lors d’analyser la pertinence de l’extraction d’informations sur la r´eaction de capture radiative.

Le chapitre 1 est consacr´e ` a une introduction sur les noyaux ` a halo, leur d´ecouverte exp´erimentale, les conditions qui favorisent leur apparition ainsi qu’une description de certaines de leurs propri´et´es avec un mod`ele extrˆemement simple.

Dans le chapitre 2, nous d´efinissons les concepts g´en´eraux li´es ` a la description d’une collision entre un noyau ` a halo comportant un nucl´eon et un noyau cible. Nous exposons le syst`eme de coordonn´ees dans lequel nous travaillons ainsi que le formalisme quantique as- soci´e ` a la collision. Nous passons ensuite en revue les diff´erentes m´ethodes d’approximation de l’´equation de Schr¨ odinger d´ecrivant la r´eaction.

Le chapitre 3 est consacr´e ` a l’approximation eikonale dynamique ` a proprement parler.

Il d´ebute par une description d´etaill´ee du mod`ele de structure interne du projectile ainsi que des interactions entre le projectile et la cible que nous adoptons. Viennent ensuite les d´eveloppements qui m`enent aux expressions des sections efficaces calcul´ees par l’ap- proximation eikonale dynamique pour la diffusion ´elastique, la diffusion in´elastique et la dissociation. A la fin du chapitre nous donnons aussi les expressions des sections efficaces avec les approximations eikonale et semi-classique.

Toutes les m´ethodes num´eriques que nous mettons en oeuvre pour appliquer l’approxi- mation eikonale dynamique sont pr´esent´ees dans le chapitre 4. La majorit´e du chapitre est consacr´ee ` a la technique de r´esolution num´erique de l’´equation de Schr¨ odinger d´ependant du temps. Nous expliquons ensuite le lien entre cette ´equation et l’approximation eiko- nale dynamique. Les m´ethodes que l’on utilise pour calculer les sections efficaces sont

´egalement expos´ees. La fin du chapitre est d´evolue aux corrections relativistes que l’on apporte ` a notre mod`ele de r´eaction non-relativiste.

Le chapitre 5 est consacr´e ` a l’´etude de la diffusion ´elastique et de la dissociation du

11 Be sur cibles l´eg`ere et lourde. Nous comparons nos r´esultats obtenus avec l’approximation eikonale dynamique aux donn´ees exp´erimentales ainsi qu’`a d’autres mod`eles de r´eaction.

Le noyau ` a halo de <sup>19</sup> C fait l’objet du chapitre 6. Plus particuli`erement, nous cherchons

`

a d´eterminer si les donn´ees exp´erimentales de sa dissociation permettent de mettre en

´evidence la pr´esence d’une r´esonance au sein du noyau.

Dans le chapitre 7, nous analysons la dissociation du ⁸ B au travers de l’´etude de diff´erentes observables mesur´ees exp´erimentalement : distributions en ´energie, distributions angulaires et distributions en impulsion.

Pour finir nous tirons les conclusions du travail et donnons les perspectives d’avenir.

9

Chapitre 1

Les noyaux ` a halo

Les noyaux ` a halo, situ´es ` a la limite de la stabilit´e nucl´eaire, ont une structure tout

`

a fait particuli`ere que nous nous proposons de faire d´ecouvrir tout au long de ce premier chapitre. Apr`es une introduction historique sur leur d´ecouverte, nous essayons de d´efinir les noyaux ` a halo et de donner les crit`eres qui favorisent leur existence. A l’aide d’un mod`ele tr`es simple, nous approchons ensuite qualitativement les propri´et´es de base des noyaux ` a halo.

1.1 A la d´ ecouverte de la structure ` a halo

C’est au milieu des ann´ees quatre-vingts que Tanihata et son ´equipe [2, 36] ont mesur´e au Bevalac du Lawrence Berkeley Laboratory des sections efficaces d’interaction parti- culi`erement grandes alors qu’ils ´etudiaient des r´eactions impliquant des noyaux atomiques tr`es riches en neutrons comme le ¹¹ Li ou l’ ⁶ He. Ils interpr`etent alors leurs r´esultats de la mani`ere suivante. Ces noyaux pr´esenteraient un rayon de mati`ere particuli`erement grand par rapport ` a la d´ependance habituelle en A <sup>1/3</sup> o` u A est le nombre de nucl´eons du noyau.

On peut observer cette particularit´e sur la figure 1.1 o` u sont repr´esent´es les rayons de mati`ere des diff´erents isotopes de l’h´elium, du lithium et du b´eryllium. Ces rayons sont calcul´es [37, 38] ` a partir de mesures de sections efficaces de r´eaction. En 1987, Hansen et Jonson [3] ont sugg´er´e que la taille anormalement grande du noyau de <sup>11</sup> Li soit due ` a sa forte structuration en amas. Ce noyau serait constitu´e d’un noyau de ⁹ Li autour duquel un syst`eme de deux neutrons seraient faiblement li´es. Ils ont alors introduit le terme de halo de neutrons. Plusieurs types d’exp´eriences de diff´erentes natures plaident en faveur de la structure en amas des noyaux ` a halo :

(i) Une s´erie de mesures [39] ont montr´e que les moments quadripolaires du ⁹ Li et du

11 Li sont tr`es proches. Cela signifie que la distribution des protons au sein de ces deux noyaux est similaire. Le rayon particuli`erement grand du ¹¹ Li serait alors dˆ u ` a la pr´esence de deux neutrons ` a grande distance plutˆ ot qu’`a une d´eformation globale du noyau.

(ii) Une exp´erience r´ealis´ee par Millener et al. [40] a mis en ´evidence que la probabi-

lit´e de transition E1 entre les deux ´etats li´es du ¹¹ Be est excessivement ´elev´ee. Ce

ph´enom`ene n’a pu ˆetre expliqu´e que par l’hypoth`ese d’une grande extension spatiale

de la fonction d’onde des deux ´etats en question. Par ailleurs, d’autres exp´eriences

[22, 41] ont clairement montr´e que la section efficace de dissociation du ¹¹ Be en un

Be Li He 1.2A

A

q h r

i (f m )

16 14 12

10 8

6 4

3.5 3 2.5 2 1.5

Fig. 1.1 – Rayons de mati`ere des diff´erents isotopes de l’h´elium, du lithium et du b´eryllium calcul´es [37, 38] ` a partir de mesures de sections efficaces de r´eaction.

Noyau stable

Noyau riche en neutrons Noyau riche en protons Noyau ` a halo d’un neutron Noyau ` a halo de deux neutrons Noyau ` a halo d’un proton

n

1

H

H

H

3

He

He

He

He

6

Li

Li

Li

Li

Li

7

Be

Be

Be

Be

Be

Be

8

B

B

B

B

B

B

B

B

B

9

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

12

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

13

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

Fig. 1.2 – Carte des noyaux l´egers (Z ≤ 8)

1.2. D´ efinition et conditions d’existence 11 noyau de ¹⁰ Be et un neutron est remarquablement grande, signe d’une tr`es faible

´energie de s´eparation d’un neutron au sein du ¹¹ Be.

(iii) De plus, une information tr`es int´eressante sur la structure des noyaux ` a halo peut ˆetre obtenue en mesurant les distributions en impulsions des fragments qui r´esultent de leur dissociation. La premi`ere exp´erience de ce type ` a ´et´e r´ealis´ee par Kobayashi et al. [42] et a r´ev´el´e une distribution en impulsions tr`es ´etroite du <sup>9</sup> Li r´esultant de la dissociation du <sup>11</sup> Li. D’apr`es le principe d’incertitude d’Heisenberg, cela serait la signature d’une grande distance entre le coeur et les deux neutrons qui composent le noyau de ¹¹ Li.

Toutes ces exp´eriences, qui ont ´et´e faites pour la premi`ere fois dans les ann´ees quatre- vingt, sont encore r´ealis´ees de nos jours de plus en plus pr´ecisement et sur de nouveaux syst`emes. Elles d´emontrent de mani`ere ´evidente le caract`ere singulier de la structure des noyaux ` a halo. L’approche intuitive consiste donc ` a voir un noyau ` a halo comme ´etant consitu´e d’un coeur qui a les propri´et´es d’un noyau normal auquel un ou deux nucl´eons sont faiblement li´es. Ces nucl´eons sont appel´es nucl´eons de valence ou nucl´eons du halo.

1.2 D´ efinition et conditions d’existence

Il n’existe pas une d´efinition rigoureuse et pr´ecise d’un noyau ` a halo. N´eanmoins il est d’usage [43] de consid´erer qu’un noyau ` a halo est caract´eris´e par

(i) une grande extension spatiale qui conduit ` a ce que le halo ait plus de 50% de proba- bilit´e de pr´esence au-del` a de la port´ee du potentiel, r´egion classiquement interdite, (ii) une structure en amas dominante dont la probabilit´e est de plus de 50% dans sa

fonction d’onde.

Il est ´evident que le choix de 50% dans ces deux conditions est arbitraire et la fronti`ere qui d´etermine si un noyau est ` a halo ou si il ne l’est pas est parfois floue. A partir de ces deux caract´eristiques g´en´erales d´efinissant un noyau ` a halo, on peut ´etablir [44, 45] des crit`eres qui favorisent l’apparition d’un halo au sein d’un noyau :

(i) L’´energie de s´eparation d’un (S _N ) ou deux (S _2N ) nucl´eons doit ˆetre tr`es faible, inf´erieure ` a 2 MeV/A ^1/3 .

(ii) Afin de limiter les effets de la barri`ere centrifuge qui a tendance ` a confiner les nucl´eons de valence pr`es du coeur, ceux-ci doivent occuper des ´etats de faible mo- ment cin´etique orbital (l = 0 ou l = 1) pour un noyau en deux amas ou domin´e par de faible hyper-moment cin´etique (K = 0 ou K = 1) pour un noyau en trois amas [46].

(iii) Dans le cas d’un noyau dont le halo est constitu´e d’un proton, la charge du coeur ne doit pas exc´eder Z ≈ 10 pour que la r´epulsion coulombienne n’empˆeche pas la formation du halo. Remarquons que, pour cette raison, l’existence de noyaux dont le halo est constitu´e de deux protons n’est pas confirm´ee.

Les principaux noyaux ` a halo sont repris sur la carte des noyaux l´egers pr´esent´ee sur la

figure 1.2. On y retrouve entre autres les noyaux ` a halo les plus connus comme le ¹¹ Be ou

le ¹⁵ C (dont le halo comporte un neutron) ainsi que l’ ⁶ He ou le ¹¹ Li (dont le halo comporte

deux neutrons). En ce qui concerne les noyaux ` a halo de proton, on remarque qu’ils sont

beaucoup plus rares, le cas le plus connu restant le noyau de ⁸ B.

1.3 Mod` ele simple pour les noyaux ` a halo ` a deux corps

Les propri´et´es g´en´erales des noyaux ` a halo comportant un seul nucl´eon peuvent ˆetre d´eduites en utilisant un mod`ele simple ` a deux corps o` u l’on fait l’hypoth`ese que le coeur et le nucl´eon de valence sont li´es par un potentiel ` a courte port´ee. Cette simplification n’est valable qu’`a partir du moment o` u l’on peut d´ecoupler le mouvement des nucl´eons du coeur de celui du nucl´eon de valence. De par la d´efinition mˆeme d’un noyau ` a halo, il semble donc raisonnable de consid´erer que cette approximation est tout ` a fait acceptable.

La fonction d’onde du syst`eme ` a A nucl´eons se factorise alors en

Φ ≈ φ _coeur (ξ)ψ(r) (1.1)

o` u ξ sont les coordonn´ees internes du coeur et ψ(r) est la fonction d’onde du mouvement relatif entre le coeur et le nucl´eon de valence. On ne tient pas compte ici du fait que la fonction d’onde (1.1) doit satisfaire au principe d’antisym´etrisation de Pauli. Dans ce mod`ele simple, on consid`ere que le coeur interagit avec le nucl´eon du halo au travers d’un potentiel effectif V (r). Ce potentiel est ajust´e pour reproduire l’´energie de s´eparation du nucl´eon S _N . Dans ce cas, la fonction d’onde du mouvement relatif ψ(r) se factorise en une partie angulaire et une partie radiale u _l (r). La fonction d’onde radiale doit satisfaire

`

a u _l (0) = 0 et est solution de l’´equation de Schr¨ odinger ` a une dimension suivante

− d ²

dr ² + l(l + 1)

r ² + 2µ _cf

~ ² V (r)

u _l (r) = − κ ² u _l (r), (1.2) o` u µ <sub>cf</sub> est la masse r´eduite du syst`eme ` a deux corps et le param`etre κ est reli´e ` a l’´energie de s´eparation S _N du nucl´eon par

κ =

p 2µ _cf S _N

~ . (1.3)

On a vu que la probabilit´e de pr´esence du nucl´eon qui forme le halo au-del` a de la port´ee du potentiel qui le lie au coeur est d’environ 50%. Cela a pour cons´equence que les principales propri´et´es du noyau ` a halo sont fortement influenc´ees par le comportement asymptotique de la fonction d’onde du mouvement relatif entre le coeur et le halo. Ce comportement asymptotique n’est pas le mˆeme si le nucl´eon du halo est un neutron ou un proton. Dans le cas d’un halo form´e par un neutron, le potentiel d’interaction ´etant

`

a courte port´ee, le comportement asymptotique de la partie radiale de la fonction d’onde est donn´ee par

u _l (r) _r→∞ −→ C _l e ^−κr , (1.4)

o` u C <sub>l</sub> est une constante de normalisation. Le param`etre κ d´etermine la d´ecroissance asymp- totique de la fonction d’onde. Plus il est proche de z´ero (ce qui correspond ` a une faible

´energie de s´eparation), plus la fonction d’onde d´ecroit lentement et l’extension spatiale du noyau ` a halo est grande. Si le halo est un proton, il faut tenir compte de l’interaction coulombienne qui d´ecroit lentement en 1/r. Le comportement asymptotique de la partie radiale de la fonction d’onde vaut alors

u _l (r) _r→∞ −→ C _l ^′ (κr) ^−η

e ^−κr , (1.5)

o` u le param`etre de Sommerfeld de l’´etat li´e est donn´e par η _cf = Z _c Z _f e ² µ _cf / ~ ² κ.

1.3. Mod` ele simple pour les noyaux ` a halo ` a deux corps 13

11 Be

208 Pb ¹⁶ O

12 fm 6 fm

Fig. 1.3 – Le rayon carr´e moyen du ¹¹ Be est aussi grand que le rayon de l’ ¹⁶ O alors que le rayon moyen du neutron qui forme le halo s’´etend aussi loin que les nucl´eons p´eriph´eriques du ²⁰⁸ Pb.

En faisant l’hypoth`ese simpliste que la fonction d’onde u _l (r) vaut partout sa forme asymptotique (1.4), le rayon carr´e moyen entre le coeur et le neutron de valence est donn´e par

h r ² i _val ≈ R ∞

0 r ² [C _l exp( − κr)] ² dr R ∞

0 [C _l exp( − κr)] ² dr = ~ ²

4µ _cf S _n , (1.6)

o` u S <sub>n</sub> est l’´energie de s´eparation du neutron. On observe qu’il est inversement proportion- nel ` a la racine carr´ee de l’´energie de s´eparation.

A partir de ce rayon moyen, on peut calculer une approximation du rayon carr´e moyen d’un noyau ` a halo comportant un neutron par

h r ² i = 1 A

(A − 1) h r ² i coeur + h r ² i val

, (1.7)

c’est-` a-dire en prenant la moyenne pond´er´ee entre le rayon carr´e moyen du coeur h r ² i coeur

et le rayon carr´e moyen du neutron de valence. A titre d’exemple consid´erons le cas du noyau ` a halo de <sup>11</sup> Be qui est constitu´e d’un coeur de <sup>10</sup> Be et d’un neutron de valence. Le rayon du <sup>10</sup> Be est de environ 2.28 fm [38] alors que le rayon carr´e moyen du mouvement relatif entre le <sup>10</sup> Be et le neutron de valence vaut 6.99 fm <sup>1</sup> . On trouve alors par la formule (1.7) un rayon carr´e moyen du noyau de <sup>11</sup> Be de 3.03 fm. On peut alors se demander comment d´efinir la taille d’un noyau ` a halo. Soit on consid`ere que la taille du noyau ` a halo est ´egale ` a son extension spatiale, soit qu’elle vaut la moyenne pond´er´ee des rayons de son coeur et de son nucl´eon de valence. Ces deux points de vue sont illustr´es sur la figure 1.3.

On y voit que le rayon carr´e moyen du ¹¹ Be est similaire ` a celui de l’ <sup>16</sup> O alors que son halo s’´etend sur un volume ´egal ` a celui du ²⁰⁸ Pb. Le point de vue le plus largement admis, qui est aussi le plus intuitif, consiste ` a dire que la taille d’un noyau ` a halo est ´egale ` a son extension spatiale, donc ` a la distance moyenne entre son coeur et son halo.

1

Ce rayon est calcul´e au chapitre 5 avec une fonction d’onde plus r´ealiste que la fonction d’onde (1.4)

Fig. 1.4 – Les anneaux borrom´eens (du nom de la famille italienne Borromeo qui avait pour blason les trois anneaux) repr´esentent sch´ematiquement le caract`ere borrom´een des noyaux ` a halo comportant deux neutrons. Tels quels, ces anneaux tiennent ensemble mais si l’on en retire un seul, les deux autres ne sont plus solidaires.

1.4 Syst` eme ` a trois corps et noyaux borrom´ eens

Les noyaux ` a halo comportant deux nucl´eons, g´en´eralement deux neutrons, peuvent

´egalement ˆetre d´ecrits ` a l’aide d’un mod`ele simple. Ces noyaux sont vus comme un syst`eme

`

a trois corps : un coeur entour´e de deux neutrons. Moyennant les mˆemes hypoth`eses que celles utilis´ees au paragraphe pr´ec´edent, la fonction d’onde du syst`eme se factorise en

Φ ≈ φ coeur (ξ)ψ(r 1 , r ₂ ) (1.8)

o` u (r <sub>1</sub> , r <sub>2</sub> ) sont les cordonn´ees d´efinissant la position des deux neutrons vis-`a-vis du coeur. Apr`es avoir d´etermin´e des interactions effectives entre les diff´erents constituants du syst`eme, la fonction d’onde ψ(r ₁ , r ₂ ) est solution d’une ´equation de Schr¨ odinger ` a trois corps (6 dimensions) dont la r´esolution n’est pas triviale.

Etant donn´e que ce travail est consacr´e ` a l’´etude de r´eactions impliquant des noyaux

`

a halo, nous sommes amen´es ` a trouver le bon ´equilibre entre le mod`ele de structure et le mod`ele de r´eaction. Si l’on travaille avec un mod`ele de r´eaction plus complexe, alors on doit g´en´eralement utiliser un mod`ele de structure plus simple. Dans notre cas, le mod`ele de r´eaction que nous avons adopt´e, l’approximation eikonale dynamique, ne permet pas encore, pour des raisons de temps de calcul, de traiter les syst`emes ` a trois corps. C’est pourquoi nous ne rentrerons pas dans le d´etail de la structure des noyaux ` a halo comportant deux nucl´eons.

N´eanmoins nous tenons ` a mentionner que ces noyaux jouissent d’une propri´et´e tout

`

a fait remarquable. En effet, alors que ces noyaux sont des syst`emes li´es, aucun de leurs

sous-syst`emes ` a deux corps ne l’est. Prenons par exemple le noyau de ¹¹ Li qui peut ˆetre

vu comme un coeur de ⁹ Li entour´e de deux neutrons qui forment le halo. Ce syst`eme est

bien li´e mais ni le ¹⁰ Li ni le syst`eme compos´e de deux neutrons (dineutron) n’est li´e. Ces

noyaux ont ´et´e nomm´es noyaux ` a halo borrom´eens [46]. Cette caract´eristique est illustr´ee

sur la figure 1.4 o` u sont dessin´es trois anneaux repr´esentant les trois corps constituant le

noyau ` a halo.

15

Chapitre 2

R´ eactions de noyaux ` a halo d’un nucl´ eon

Nous nous int´eressons ` a l’´etude de la r´eaction entre un noyau ` a halo comportant un nucl´eon, qui fait office de projectile, et un noyau cible. De par sa forte extension spatiale et sa faible ´energie de s´eparation d’un nucl´eon, le noyau ` a halo peut ˆetre vu comme un syst`eme de deux amas : un coeur de masse m _c et de charge Z _c e et un fragment de masse m _f et de charge Z _f e. Nous faisons l’hypoth`ese suppl´ementaire de n´egliger les structures internes du coeur et du fragment. Le noyau ` a halo est initialement dans son ´etat fondamental d’´energie n´egative E ₀ . La cible de masse m _T et de charge Z _T e est consid´er´ee comme ponctuelle.

Avant la collision, pour un observateur situ´e dans le laboratoire, la cible est au repos et le projectile se d´eplace dans la direction du faisceau incident avec une vitesse v. Le projectile ´etant le seul corps en mouvement, son impulsion est ´egale ` a l’impulsion totale du syst`eme qui est donn´ee par

p _tot = m _P v (2.1)

et son ´energie cin´etique par

E _i = p ² _tot

2m _P . (2.2)

o` u m P = m c + m <sub>f</sub> est la masse du projectile. On n´eglige ici la faible ´energie de liaison du projectile devant la somme des masses de ses constituants. L’´energie et l’impulsion sont donc calcul´ees ici de mani`ere non relativiste. Cependant on montrera au paragraphe 4.6 comment apporter au mod`ele quelques corrections relativistes. Parmi les exp´eriences de ce type r´ealis´ees ` a ce jour (reprises ` a la table 2.1), on distingue trois gammes d’´energie inci- dente du projectile. On parlera dans la suite de ce travail de basses ´energies (inf´erieures ` a 20 MeV par nucl´eon), d’´energies moyennes (entre 20 et 100 MeV par nucl´eon) et d’´energies

´elev´ees (sup´erieures ` a 100 MeV par nucl´eon).

Apr`es la collision, plusieurs voies de sortie sont possibles. Le projectile peut ˆetre diffus´e

´elastiquement (elastic scattering) ou in´elastiquement (inelastic scattering) par la cible. Il

peut subir une r´eaction de dissociation pendant laquelle il se casse en ses deux constituants,

son coeur et son fragment. Si la cible reste dans son ´etat fondamental, on parle de dissocia-

tion ´elastique (elastic breakup ou diffraction breakup ). Si la cible est excit´ee en absorbant

un des deux constituant, g´en´eralement le fragment, on parle de dissociation in´elastique

T c

P f

R r

r _c

r _f

r _T r _P

R _cm

Fig. 2.1 – Syst`emes de coordonn´ees. Dans le r´ef´erentiel du laboratoire, r _c , r _f , r _P , r _T sont respectivement les coordonn´ees du coeur, du fragment, du projectile et de la cible.

La coordonn´ee du centre de masse du syst`eme ` a trois corps est R _cm . Dans le r´ef´erentiel du centre de masse, en coordonn´ees de Jacobi, r est la coordonn´ee interne du projectile et R la coordonn´ee entre la cible et le projectile.

(inelastic breakup ou stripping ). On peut aussi assister ` a d’autres types de r´eactions plus complexes comme la cassure de la cible, le transfert d’un ou plusieurs nucl´eons entre le projectile et la cible, etc. Les voies les plus probables sont d’abord la diffusion ´elastique et ensuite la dissociation ´elastique. Dans ce travail nous nous concentrons sur l’´etude de ces deux m´ecanismes de r´eaction.

2.1 Cin´ ematique de la r´ eaction de dissociation

Dans le r´ef´erentiel du laboratoire, les coordonn´ees du coeur, du fragment et de la cible sont donn´ees respectivement par r _c , r _f et r _T (voir la figure 2.1). Les impulsions correspondantes apr`es la collision sont not´ees p _c , p _f et p _T . La conservation de la quantit´e de mouvement s’´ecrit dans le r´ef´erentiel du laboratoire

p _tot = p _c + p _f + p _T , (2.3)

et la conservation de l’´energie

E _i + E ₀ = E _c + E _f + E _T (2.4)

o` u E <sub>c</sub> , E <sub>f</sub> et E <sub>T</sub> sont les ´energies cin´etiques respectivement du coeur, du fragment et de la cible apr`es la collision.

D’un point de vue th´eorique, nous verrons au paragraphe suivant qu’il est plus int´eres-

sant de se placer dans le r´ef´erentiel du centre de masse du syst`eme ` a trois corps (coeur,

2.1. Cin´ ematique de la r´ eaction de dissociation 17 fragment et cible), et d’adopter le syst`eme de coordonn´ees de Jacobi repr´esent´e ` a la figure 2.1. Dans ce syst`eme r est la coordonn´ee relative entre le fragment et le coeur

r = r _f − r _c , (2.5)

et R la coordonn´ee relative entre le centre de masse du projectile et la cible

R = r _P − r _T , (2.6)

o` u la coordonn´ee du centre de masse du projectile est d´efinie par r _P = m _c r _c + m _f r _f

m _P . (2.7)

Le centre de masse du syst`eme ` a trois corps a pour coordonn´ee R _cm = m P r _P + m T r _T

m _P + m _T . (2.8)

L’impulsion relative entre le fragment et le coeur est d´efinie par p = µ _cf

p _f m _f − p _c

m _c

, (2.9)

o` u µ _cf est la masse r´eduite du projectile,

µ _cf = m _c m _f

m _P , (2.10)

alors que l’impulsion relative entre le projectile et la cible est donn´ee par P = µ

p _c + p _f m _P − p _T

m _T

, (2.11)

o` u µ est la masse r´eduite entre le projectile et la cible, µ = m _P m _T

m _P + m _T . (2.12)

L’´etude th´eorique de la r´eaction se fait donc dans le r´ef´erentiel du centre de masse. Il est cependant parfois n´ecessaire pour se comparer ` a certaines donn´ees exp´erimentales de calculer des sections efficaces dans le r´ef´erentiel du laboratoire. A partir des formules (2.3) et (2.11), on ´etablit la relation

P = p _c + p _f − m _P

m _P + m _T p _tot , (2.13)

qui permet, avec la relation (2.9), de calculer les impulsions P et p dans le r´ef´erentiel

du centre de masse ` a partir des impulsions du coeur et du fragment dans le r´ef´erentiel

du laboratoire. Les expressions d´etaill´ees en coordonn´ees sph´eriques d’un changement de

r´ef´erentiel sont donn´ees ` a l’annexe A.

2.2 Traitement quantique de la r´ eaction

2.2.1 Structure ` a deux corps du projectile

La premi`ere ´etape dans l’´etude de la collision consiste ` a adopter un mod`ele de structure pour le projectile. Celui-ci doit ˆetre d’une part assez r´ealiste pour reproduire au mieux la structure du noyau `a halo et d’autre part suffisamment simple pour ˆetre utilis´e dans des mod`eles de r´eaction relativement complexes.

Nous avons vu au chapitre 1 que la structure tr`es particuli`ere des noyaux ` a halo permet de faire l’approximation d’une structure en deux amas : un coeur qui a les propri´et´es d’un noyau normal entour´e par un nucl´eon. L’interaction entre le coeur et le fragment est simul´ee par le potentiel V _cf . Malgr´e le fait que l’on suppose que les amas sont ponctuels, ce potentiel prend en consid´eration l’extension spatiale finie du coeur. De plus, bien que nous n´egligeons la structure interne du coeur, il simule le principe de Pauli en faisant apparaˆıtre des ´etats interdits au nucl´eon du halo.

Pour des raisons de lisibilit´e nous consid´erons dans ce chapitre que le fragment a un spin nul et qu’il n’est pas charg´e. Nous reviendrons au paragraphe 3.1 sur la repr´esentation d´etaill´ee du potentiel d’interaction avec la prise en consid´eration du spin et de la charge du fragment. Ainsi mod´elis´ee, la structure du projectile est d´ecrite par son hamiltonien interne

H ₀ = p ²

2µ _cf + V _cf (r). (2.14)

Celui-ci contient le terme d’´energie cin´etique du mouvement relatif entre le coeur et le fragment ainsi que le potentiel d’interaction.

Les ´etats li´es φ _n du projectile sont les ´etats propres de l’hamiltonien interne,

H ₀ φ _n (E _n , r) = E _n φ _n (E _n , r), (2.15) qui ont une valeur propre E _n n´egative. Ils sont norm´es et ont une ´energie de liaison | E _n | . L’indice entier n rappelle la nature discr`ete des ´etats li´es. L’´etat fondamental du projectile est not´e φ ₀ (E ₀ , r).

On appelle ´etat de diffusion du projectile φ ^(±) k un ´etat propre de H ₀ ,

H ₀ φ ^(±) k (r) = Eφ ^(±) k (r), (2.16) qui admet pour comportement asymptotique

φ ^(±) k (r) _r→∞ −→ e ⁱ k · r + f _k ^(±) (Ω _r ) e ^±ikr

r , (2.17)

o` u la coordonn´ee relative entre le fragment et le coeur r = (r, Ω _r ) est repr´esent´ee en coordonn´ees sph´eriques. Les ´etats de diffusion sont born´es et sont normalis´es suivant (2.17).

La valeur propre E associ´ee ` a un ´etat de diffusion est positive et correspond ` a l’´energie du mouvement relatif entre le coeur et le fragment. Celle-ci est reli´ee au vecteur d’onde k du mouvement relatif par

E = ~ ² k ²

2µ _cf . (2.18)

2.2. Traitement quantique de la r´ eaction 19 L’amplitude de diffusion f _k ^(±) (Ω r ) d´epend du potentiel d’interaction V _cf et contient toute l’information sur la diffusion entre le coeur et le fragment. Le signe (+) indique que l’onde diffus´ee est sortante et le signe ( − ) qu’elle est entrante. Les ´etats de diffusion entrant et sortant v´erifient la relation

φ ⁽⁻⁾ k (r) = h φ ⁽⁺⁾

− k (r) i ∗

. (2.19)

2.2.2 Equation de Schr¨ odinger ` a trois corps

L’´etudie th´eorique de la r´eaction se fait dans le r´ef´erentiel du centre de masse du syst`eme ` a trois corps. On passe donc du syst`eme de coordonn´ees r <sub>c</sub> , r <sub>f</sub> et r <sub>T</sub> d´ecrivant respectivement le coeur, le fragment et la cible dans le r´ef´erentiel du laboratoire au syst`eme de coordonn´ees de Jacobi R _cm , R et r d´efinies dans le r´ef´erentiel du centre de masse (voir la figure 2.1). L’avantage de ce choix est que toute la d´ependance de l’hamiltonien du syst`eme

`

a trois corps en la variable R _cm est contenue dans un terme d’´energie cin´etique. La fonction d’onde du syst`eme peut alors se factoriser en une onde plane qui d´ecrit le mouvement du centre de masse et une fonction Ψ(R, r) qui ne d´epend que de la coordonn´ee relative entre le projectile et la cible R et de la coordonn´ee interne du projectile r. Une telle factorisation permet donc d’´eliminer la variable du mouvement du centre de masse. La fonction Ψ(R, r) satisfait alors ` a l’´equation de Schr¨ odinger stationnaire

P ²

2µ + H 0 + V cT

R − m _f m _P r

+ V _{f T}

R + m c

m _P r

Ψ(R, r) = E tot Ψ(R, r), (2.20) o` u E _tot est l’´energie totale disponible pour la collision dans le r´ef´erentiel du centre de masse.

Cette ´energie correspond ` a la diff´erence entre l’´energie totale de la r´eaction et l’´energie emport´ee par le mouvement du centre de masse. Les potentiels V _cT et V _{f T} simulent les interactions coulombiennes et nucl´eaires entre le coeur ou le fragment et la cible.

La solution de l’´equation (2.20) qui d´ecrit la r´eaction ` a laquelle nous nous int´eressons doit avoir comme comportement asymptotique

Ψ(R, r) −→

Z→−∞ e ^i[K

^{Z+η ln K}

^(R−Z)] φ ₀ (E ₀ , r) (2.21) o` u Z est la composante de R dans la direction du faisceau incident et le nombre d’onde K <sub>0</sub> est reli´e ` a la vitesse initiale par

~ K ₀ = µv. (2.22)

Le param`etre de Sommerfeld de la collision η est d´efini par η = Z _P Z _T e ²

4πǫ 0 ~ v . (2.23)

o` u Z P = Z c + Z _f . La condition (2.21) exprime qu’initialement le projectile est dans son

´etat fondamental et que son mouvement relatif par rapport ` a la cible est d´ecrit par une onde dont le nombre d’onde K <sub>0</sub> est reli´e ` a l’´energie totale du syst`eme par

E _tot = ~ ² K ₀ ²

2µ + E ₀ . (2.24)

Cette onde n’est pas tout ` a fait plane comme l’atteste la pr´esence du terme logarith-

mique dans la condition (2.21). Cette distortion provient de la port´ee infinie du potentiel

coulombien.

2.2.3 Sections efficaces

Les sections efficaces de r´eaction sont calcul´ees ` a partir de la solution de l’´equation de Schr¨ odinger (2.20) ayant pour condition asymptotique (2.21) en utilisant le formalisme de la matrice de transition [47]. Pour la diffusion ´elastique du projectile dans la direction K ₀ = (K ₀ , Ω) = (K ₀ , θ, ϕ), l’´el´ement de matrice de transition est donn´e par

T _{f i} (Ω) = h e ⁱ K

· R φ ₀ (E ₀ , r) | V _cT + V _{f T} | Ψ(R, r) i . (2.25) Dans cette expression, la voie de sortie d´ecrit une situation pour laquelle le projectile est dans son ´etat fondamental et le nombre d’onde de son mouvement relatif par rapport

`

a la cible est ´egal au nombre d’onde initial. La section efficace de diffusion ´elastique correspondante vaut

dσ dΩ

(´ el.)

= 1

(2π) ² µ

~ ² 2

| T _{f i} (Ω) | ² . (2.26)

L’´el´ement de matrice de transition pour la dissociation ´elastique du noyau ` a halo est donn´e par

T _{f i} (K, k) = h e ⁱ K · R φ ⁽⁻⁾ k (r) | V _cT + V _{f T} | Ψ(R, r) i , (2.27) o` u K = (K, Ω) est le vecteur d’onde final du mouvement relatif projectile-cible et φ ⁽⁻⁾ k est un ´etat de diffusion entrant du projectile se propageant dans la direction du vecteur d’onde k. La conservation de l’´energie dans le r´ef´erentiel du centre de masse impose

~ ² K ₀ ²

2µ + E ₀ = ~ ² K ²

2µ + ~ ² k ²

2µ _cf . (2.28)

La section efficace de dissociation vaut dσ

dp _c dp _f dp _T = 1 (2π) ⁵

1

~ v | T _{f i} (K, k) | ² ~ ⁻⁶ δ p _c + p _f + p _T − p _tot

× δ (E _i + E ₀ − E _c − E _f − E _T ) . (2.29) Cette section efficace d´epend de neuf variables qui ne sont pas toutes ind´ependantes comme l’atteste de la pr´esence des deux distributions de Dirac qui assurent la conservation de l’´energie et de la quantit´e de mouvement. L’expression (2.29) peut ˆetre int´egr´ee quatre fois, ce qui r´eduit le nombre de variables ind´ependantes ` a cinq. Le choix des cinq va- riables d´epend principalement de l’exp´erience ` a laquelle on veut se comparer. Il est souvent int´eressant d’exprimer la section efficace dans le r´ef´erentiel du centre de masse en fonction du vecteur d’onde k du mouvement relatif entre le coeur et le fragment et de l’angle de diffusion Ω. On obtient alors

dσ

dkdΩ = 1 (2π) ⁵

µK

~ ³ v | T _{f i} | ² . (2.30)

Un autre choix de variables dans le r´ef´erentiel du laboratoire est pr´esent´e ` a l’annexe A.

2.3. M´ ethodes d’approximation 21

2.3 M´ ethodes d’approximation

Dans l’´etat actuel de nos connaissances et de nos capacit´es de calcul num´erique, l’´equation de Schr¨ odinger (2.20) ne peut ˆetre r´esolue ni analytiquement, ni num´eriquement en des temps raisonnables ¹ . On doit obligatoirement avoir recours ` a des techniques d’ap- proximation. Ces techniques consistent, moyennant certaines hypoth`eses plus ou moins fortes, ` a ramener le probl`eme ` a la r´esolution d’´equations plus simples que l’´equation de Schr¨ odinger ` a trois corps. On pr´esentera dans ce paragraphe les m´ethodes les plus utilis´ees dans la litt´erature, leurs domaines de validit´e et leurs limitations. On montrera ensuite o` u vient s’ins´erer l’approximation eikonale dynamique. Plusieurs articles de synth`ese passent en revue les diff´erentes m´ethodes d’approximation [4, 5].

2.3.1 Approximation semi-classique

L’approximation semi-classique appliqu´ee ` a la dissociation de noyaux ` a halo tire son origine de la th´eorie de l’excitation coulombienne [50,51]. Cette th´eorie, d´evelopp´ee dans les ann´ees cinquante, a permis d’expliquer de mani`ere tr`es pr´ecise les exp´eriences d’excitation de noyaux stables ou proches de la stabilit´e envoy´es sur des cibles compos´ees d’ions lourds.

Grˆ ace ` a cette technique les ´etats excit´es de nombreux noyaux ont pu ˆetre d´ecouverts et les transitions vers ces ´etats ´etudi´ees pr´ecisement. Le champ ´electromagn´etique de la cible a pour effet d’exciter le noyau que l’on souhaite ´etudier au cours de la collision.

Avec l’av`enement de faisceaux d’ions radioactifs dans les ann´ees quatre-vingts, ce type d’exp´eriences est devenu r´ealisable avec des noyaux plus ´eloign´es de la stabilit´e comme les noyaux ` a halo. Etant tr`es faiblement li´e, un noyau ` a halo aura plutˆ ot tendance `a se dissocier, c’est-` a-dire ` a s’exciter vers un ´etat de son spectre continu, plutˆ ot qu’`a s’exciter vers un autre ´etat li´e (s’il en a).

L’´el´ement de base de l’approximation semi-classique r´eside dans le fait que le mouve- ment relatif entre le projectile et la cible est trait´e classiquement alors que l’excitation du projectile est trait´ee quantiquement. En se pla¸cant dans le r´ef´erentiel du centre de masse du projectile, on adopte un syst`eme de coordonn´ees o` u l’axe Z pointe dans la direction du faisceau incident. Le projectile voit alors la cible parcourir une trajectoire classique d´efinie par la fonction R(t). Cette trajectoire est souvent approch´ee par une hyperbole, voire par une droite et est caract´eris´ee par un param`etre d’impact b. Celui-ci correspond

`

a la distance entre la direction incidente du projectile sur la trajectoire en question et la direction de l’axe Z . La notion de trajectoire classique sera d´etaill´ee au paragraphe 3.8.

Pour que l’approximation soit valable, deux conditions doivent ˆetre remplies. D’une part pour que la notion de trajectoire ait un sens, la longueur d’onde r´eduite λ ¯ = 1/K ₀ associ´ee au mouvement du projectile par rapport ` a la cible doit ˆetre petite devant le param`etre d’impact, soit

K 0 b ≫ 1. (2.31)

D’autre part l’approximation semi-classique ne respecte pas la conservation de l’´energie

´etant donn´e que le transfert d’´energie ∆E = E − E ₀ entre la cible et le projectile ne peut ˆetre pris en compte lorsque le projectile parcourt une trajectoire classique. On s’attend

1

Notons tout de mˆeme que, pour de tr`es faibles ´energies incidentes, Yabana et al. [48, 49] ont propos´e

une technique pour r´esoudre num´eriquement l’´equation de Schr¨ odinger ` a trois corps.

donc ` a ce que la quantit´e d’´energie transf´er´ee soit petite devant l’´energie de la collision et la seconde condition s’´ecrit

∆E ≪ ~ ² K ₀ ²

2µ . (2.32)

Au regard de ces deux conditions, on d´eduit que l’approximation semi-classique n’est valable que lorsque l’´energie incidente du projectile n’est pas trop faible.

En parcourant la trajectoire classique, la cible affecte le mouvement interne du projec- tile par l’interm´ediaire d’un potentiel d´ependant du temps. La r´eaction est alors d´ecrite par une ´equation de Schr¨ odinger d´ependant du temps

i ~ ∂

∂t Ψ ^SC (r, t) = [H 0 + V (r, t)] Ψ ^SC (r, t) (2.33) avec comme condition initiale

t→−∞ lim Ψ ^SC (r, t) = φ 0 (E 0 , r). (2.34) La probabilit´e ´elastique et la probabilit´e de dissociation sont calcul´ees en projetant la solution Ψ ^SC (r, + ∞ ) de l’´equation de Schr¨ odinger d´ependant du temps respectivement sur les ´etats li´es et les ´etats de diffusion du projectile.

La section efficace de diffusion ´elastique est donn´ee par le produit entre la section efficace de Rutherford (voir la r´ef´erence [52, Chapitre XI]) et la probabilit´e que le noyau

`

a halo reste dans son ´etat fondamental apr`es la collision [51, Chapitre 2], soit dσ

dΩ

(´ el.)

= dσ _R dΩ

h φ ₀ (E ₀ , r) | Ψ ^SC (r, + ∞ ) i

2 , (2.35)

o` u la fonction d’onde Ψ <sup>SC</sup> est calcul´ee pour un param`etre d’impact reli´e ` a l’angle de dif- fusion par la th´eorie classique de la diffusion coulombienne (voir la r´ef´erence [53, Chapitre 3]). Elle ne peut donc pas ˆetre utilis´ee pour une r´eaction sur cible l´eg`ere o` u l’interaction nucl´eaire joue un rˆ ole important. Notons ´egalement que dans le calcul semi-classique de la section efficace ´elastique, les interf´erences quantiques entre les diff´erentes trajectoires ne sont pas prises en compte. Nous verrons que celles-ci jouent pourtant un rˆ ole important dans la diffusion ´elastique.

La section efficace de dissociation ´elastique est donn´ee par dσ

dkdΩ = 1 (2π) ³

dσ _R dΩ

h φ ⁽⁻⁾ k (r) | Ψ ^SC (r, + ∞ ) i

2 , (2.36)

o` u la probabilit´e de dissociation multiplie la section efficace de Rutherford. La facteur (2π) <sup>−3</sup> provient du choix de la normalisation des ´etats de diffusion effectu´ee ` a la relation (2.17). A nouveau on ne tient pas compte ici des interf´erences entre trajectoires. Bien qu’elles soient moins importantes que pour la diffusion ´elastique, cette lacune rend tout de mˆeme moins pr´ecis le calcul des sections efficaces angulaires. Les formules d´etaill´ees des sections efficaces semi-classiques ´elastique et de dissociation sont donn´ees au paragraphe 3.8.

La r´esolution de l’´equation de Schr¨ odinger d´ependant du temps constitue le point

central de l’approximation semi-classique. Sous certaines conditions, une bonne approxi-

mation consiste ` a utiliser la th´eorie des perturbations. Une autre approche consiste ` a

r´esoudre l’´equation de Schr¨ odinger d´ependant du temps `a l’aide de techniques num´eriques

diverses et vari´ees. On parle alors de m´ethodes d´ependant du temps.

2.3. M´ ethodes d’approximation 23 Th´ eorie des perturbations

Cette m´ethode consiste ` a calculer la solution de l’´equation (2.33) en utilisant la th´eorie des perturbations [54, Chapitre XIII]. Cette derni`ere n’est valable que si le potentiel V (r, t) peut ˆetre consid´er´e comme petit. C’est pourquoi on ne peut l’utiliser qu’`a de grands param`etres d’impact, lorsque l’intensit´e de l’interaction diminue et que le potentiel est purement coulombien. Avec la th´eorie des perturbations, la projection de la fonction d’onde sur un ´etat de diffusion est donn´ee par un d´eveloppement en s´erie o` u l’importance relative des termes successifs diminue.

Si l’on ne retient que le premier terme de cette s´erie, on dit qu’on utilise le premier ordre de la th´eorie des perturbations et la probabilit´e de dissociation est approch´ee par

h φ ⁽⁻⁾ k (r) | Ψ ^SC (r, + ∞ ) i

2 ≈

1 i ~

Z +∞

−∞

dte ^iωt h φ ⁽⁻⁾ k (r) | V (r, t) | φ 0 (E 0 , r) i

2

, (2.37) o` u ω = (E − E 0 )/ ~ est la pulsation de Bohr. On ne prend en compte au premier ordre que des transitions en une ´etape entre l’´etat initial d’´energie E ₀ et l’´etat final d’´energie E =

~ ² k ² /2µ _cf . Dans certains cas, la probabilit´e de transition au premier ordre est calculable analytiquement. Nous verrons au paragraphe 3.8.5 l’exemple du potentiel V (r, t) purement coulombien d´evelopp´e en multipˆ oles.

En consid´erant les deux premiers termes du d´eveloppement en s´erie, on obtient la probabilit´e de dissociation au deuxi`eme ordre des perturbations,

h φ ⁽⁻⁾ k (r) | Ψ ^SC (r, + ∞ ) i

2 ≈

1 i ~

Z _+∞

−∞

dte ^iωt h φ ⁽⁻⁾ k (r) | V (r, t) | φ ₀ (E ₀ , r) i +

1 i ~

2 Z dk ^′

Z _+∞

−∞

dt ^′ e ^iω

^t

h φ ⁽⁻⁾ k (r) | V (r, t ^′ ) | φ ⁽⁻⁾ k ^′ (r) i

× Z t

−∞

dt ^′′ e ^iω

^t

h φ ⁽⁻⁾

k ^′ (r) | V (r, t ^′′ ) | φ 0 (E 0 , r) i

2

. (2.38) Pour ´etablir cette relation, on a fait l’hypoth`ese que le projectile ne poss´edait aucun

´etat li´e excit´e. Le terme suppl´ementaire par rapport ` a (2.37) correspond aux transitions r´ealis´es en deux ´etapes. La transition entre l’´etat initial d’´energie E <sub>0</sub> ` a l’´etat final d’´energie E se fait alors par le passage via un ´etat interm´ediaire d’´energie E ^′ = ~ ² k ^′2 /2µ _cf . En int´egrant sur le vecteur d’onde k ^′ , on prend en compte toutes les possibilit´es d’´etats interm´ediaires. Les pulsations correspondant ` a la premi`ere et ` a la deuxi`eme ´etape sont donn´ees respectivement par ω _k

₀ = (E ^′ − E 0 )/ ~ et ω _kk

= (E − E ^′ )/ ~ . La deuxi`eme ´etape de ce processus, appel´ee couplage dans le continu, co¨ıncide ` a une transition entre deux

´etats du continu. Ce ph´enom`ene qui n’est pas pris en compte au premier ordre peut dans certains cas jouer un rˆ ole important dans la r´eaction de dissociation.

M´ ethodes d´ ependant du temps

Contrairement ` a la m´ethode perturbative, les m´ethodes d´ependant du temps ont

pour but de r´esoudre exactement l’´equation de Schr¨ odinger d´ependant du temps. Cette

r´esolution ne peut se faire qu’`a l’aide de techniques num´eriques. Il en existe dans la

litt´erature une grande vari´et´e [9–12,55]. Parmis les techniques num´eriques les plus pr´ecises,

citons celle d´evelopp´ee par Melezhik, Baye et Capel [12,56,57] qui consiste ` a repr´esenter la

fonction d’onde sur un r´eseau de Lagrange ` a trois dimensions en coordonn´ees sph´eriques et ` a lui appliquer une approximation de l’op´erateur d’´evolution,

Ψ ^SC (r, t) ≈ U (t, t ₀ )Ψ ^SC (r, t ₀ ). (2.39) Les grandes lignes de cette technique sont expos´ees au paragraphe 4.1. L’avantage par rapport aux m´ethodes perturbatives est double. Premi`erement le couplage dans le continu est pris en compte ` a tous les ordres et deuxi`emement il n’est pas n´ecessaire de tronquer le d´eveloppement du potentiel en multipˆ oles.

2.3.2 Approximation adiabatique

L’approximation adiabatique, ou approximation soudaine, a ´et´e utilis´ee pour ´etudier la diffusion ´elastique [18] et la dissociation [19, 58] de noyaux ` a halo. Celle-ci ne s’applique que sous les contraintes suivantes : le fragment ne peut pas ˆetre charg´e et l’interaction nucl´eaire fragment-cible est n´eglig´ee. Autrement dit, les r´eactions impliquant un noyau ` a halo ` a un proton sont exclues.

L’hypoth`ese de base de l’approximation adiabatique consiste ` a geler le mouvement interne du projectile en rempla¸cant son hamiltonien interne H ₀ par la constante E ₀ dans l’´equation de Schr¨ odinger (2.20). Cette hypoth`ese n’est valable que si le mouvement du fragment ` a l’int´erieur du projectile est beaucoup plus lent que le mouvement relatif entre le projectile et la cible. On d´efinit le param`etre d’adiabaticit´e par

ξ = τ _col

τ _exc (2.40)

o` u le temps de collision τ <sub>col</sub> peut ˆetre approch´ee par τ <sub>col</sub> ≈ R <sub>moy</sub> /v et le temps d’excitation τ <sub>exc</sub> est donn´e par τ <sub>exc</sub> = ~ /(E − E <sub>0</sub> ). La distance R <sub>moy</sub> correspond ` a une estimation de la distance moyenne entre le projectile et la cible pendant la collision. Le param`etre d’adiabaticit´e est alors donn´e par

ξ = ωR _moy

v (2.41)

et la condition de validit´e de la m´ethode adiabatique s’´ecrit

ξ ≤ 1. (2.42)

L’approximation est donc d’autant meilleure que l’´energie incidente du projectile, donc sa vitesse, est ´elev´ee. L’´equation de Schr¨ odinger se r´eduit alors ` a

P ² 2µ + V cT

R − m _f m _P r

− E tot + E 0

Ψ ^AD (R, r) = 0, (2.43) o` u l’on observe que r n’est plus qu’un param`etre. Sous ces hypoth`eses, l’´equation (2.43) avec la condition (2.21) peut ˆetre r´esolue exactement [19] et admet pour solution

Ψ ^AD (R, r) = e ⁱ

mf mP

K

· R

χ ⁽⁺⁾ K

R − m _f m _P r

φ ₀ (E ₀ , r), (2.44) o` u χ ⁽⁺⁾ K

est un ´etat de diffusion du syst`eme coeur-cible [l’´equivalent de (2.17) avec pour potentiel d’interaction V _cT ].

L’approximation adiabatique s’applique donc aux collisions de noyaux ` a halo compor-

tant un neutron. Elle est valable pour des ´energies incidentes moyennes ou ´elev´ees. Elle a

pour principal avantage de pouvoir ˆetre r´esolue en grande partie analytiquement.