Université Claude Bernard Lyon 1 - 2006/2007
Licence Sciences et Technologies - UE Mathématiques III, Algèbre
Partiel - durée 1h30
6 avril 2007
Les calculatrices et les documents ne sont pas autorisés. Les questions de cours et les deux exercices sont indépendants.
Questions générales
Barème : les points indiqués pour chaque question seront attribués pour une preuve à la fois correcte et rédigée avec soin.
Démontrer les assertions suivantes dans lesquelles E désigne un K-espace vectoriel de dimension nie n>1 et uun endomorphisme de E.
1. (2 points) L'endomorphisme u est diagonalisable sur K si et seulement si il existe un polynôme deK[X] annulateur de uscindé et ne possédant que des racines simples.
2. (1,5 points) Si u est de rang 1, alors u est diagonalisable si et seulement si tr(u)6= 0. 3. (1,5 points) Soit v un endomorphisme deE tel queu◦v =v◦u. Les endomorphismes u etv sont diagonalisables si et seulement si il existe une base commune de diagonalisation.
Barème : Pour les deux exercices suivants, un point pour chaque question, qui sera accordé aux réponses à la fois correctes et argumentées de façon convaincante. Il est demandé de citer clairement les résultats du cours que vous utiliseriez.
Exercice 1
Soient E l'espace vectoriel réel R4 et u un endomorphisme de E déni dans la base canonique par la matrice
1 a2 a2 a
1 1 a 1
1 a 1 1
a a2 a2 1
.
1. Déterminer le rang de l'endomorphismeu−(1−a)idE. En déduire que 1−a est valeur propre de u.
2. Si a = 0, l'endomorphismeu est-il diagonalisable ? Dans toute la suite, on suppose que le réel a est non nul.
3. Déterminer toutes les valeurs propres de u. L'endomorphisme u est-il diagonalisable ? 4. Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de u.
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15. Notons E1 = Ker (u−(1−a)idE)et E2 = Ker (u−(1 + 3a)idE). Montrer que E =E1⊕E2.
6. Exprimer en fonction de u les projections de E sur les sous-espaces E1 etE2.
7. Exprimer les endomorphimes uk, k > 1, et eu en fonction de ces projections et en déduire leur matrice dans la base canonique.
Exercice 2
Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie n > 1. Un endomorphisme u de E est dit cyclique s'il existe un vecteurx0 deE tel que la famille(x0, u(x0), . . . , un−1(x0))soit une base de E.
1. Montrer que si u est un endomorphisme cyclique de E, il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est une matrice compagnon de la forme
C =
0 · · · 0 a0
1 0 · · · 0 a1 0 1 ... ... ...
... ... ... 0 an−2
0 · · · 0 1 an−1
.
2. Montrer qu'un endomorphisme de E ayant une matrice de la forme C dans une base deE est cyclique.
3. Déterminer le polynôme caractéristique de C.
4. Montrer qu'un endomorphisme cyclique possède une unique matrice compagnon.
Dans la suite, on suppose que u est un endomorphisme cyclique et que la famille (x0, u(x0), . . . , un−1(x0))forme une base deE, oùx0 est un vecteur deE. On notea0,. . .,an−1
lesn scalaires tels que
un(x0) =an−1un−1(x0) +. . .+a1u(x0) +a0x0.
5. Montrer que le polynôme Q=Xn−an−1Xn−1−. . .−a1X−a0 est annulateur de u. 6. Montrer que si0est valeur propre deualorsa0 = 0. Calculer, dans ce cas, le rang deu. 7. Calculer, pour toute valeur propre non nulle λ de u, le rang de l'endomorphisme u−λidE.
8. Montrer qu'un endomorphisme cyclique de E est diagonalisable si et seulement si il possède n valeurs propres distinctes.
