Dans tous les exercices suivants, on justifiera toutes les réponses par un raisonnement.

GEOMETRIE PLANE (3) : Théorème de Thales.

Dans tous les exercices suivants, on justifiera toutes les réponses par un raisonnement.

Exercice 1 (d’après exercice 3, question 1, CRPE du groupement 5, 2008)

ABCD

est un quadrilatère quelconque,

I

,

J

,

K

,

L

sont les milieux respectifs des segments

[AB]

,

[BC]

,

[CD]

,

[DA]

. 1. Quelle est la nature du quadrilatère

IJKL

?

2. On suppose de plus que le quadrilatère

ABCD

a ses diagonales perpendiculaires.

a ; Construire une figure correspondant à cette question.

b. Quelle est la nature du quadrilatère

IJKL

? c.

IJKL

peut-il être un carré ? A quelle condition ?

Exercice 2 (d’après CRPE de la Réunion, 2004)

On veut mesurer la hauteur d’un arbre d’extrémités

A

et

S

. L'arbre est vertical et le sol

(OA)

est horizontal. On donne :

OA = 35 m

,

BP = 2 m

,

OB = 5 m

.

On se propose de trouver

SA

en utilisant l'ombre de l'arbre et celle du bâton vertical

[BP]

.

On suppose que les points

O

,

P

,

S

sont alignés, ainsi que les points

O

,

B

,

A

.

1. Justifier que

(PB)

est parallèle à

(SA)

. 2. Calculer

SA

en précisant la propriété utilisée.

Exercice 3

Dans la figure ci-contre, les points

L

,

E

et

G

sont alignés, tout comme les points

F

,

E

et

K

. Les mesures de longueur sont indiquées sur le dessin ci-contre, qui n'est pas réalisé à l'échelle.

1. Réaliser la figure en

cm

à l’aide de la règle graduée et du compas.

2. Démontrer que les droites

(LK)

et

(FG)

sont parallèles. En déduire la longueur

LK

.

2. Soit

I

le point de la demi-droite

[EG)

tel que

EI = 10,2

et

J

le point de la demi-droite

[EF)

tel que

EJ = 9,6

. Les droites

(IJ)

et

(FG)

sont-elles parallèles ?

Exercice 4 (d’après CRPE Créteil)

Une station de sports d'hiver est équipée d'un téléphérique pour permettre aux skieurs d'atteindre un plateau en altitude.

Des pylônes sont placés en

A

,

E

,

C

et

B

pour soutenir le câble que l'on considérera rectiligne. Le câble mesure

2,48 km

. L'altitude au point

A

est de

2 100 m

, l'altitude au point

B

est de

2 620 m

.

Remarque : sur ce schéma, les mesures ne sont pas respectées.

1. On définit la pente comme étant le rapport entre la hauteur du dénivelé (

BB'

sur le dessin) et la distance parcourue à l'horizontale (

AB'

sur le dessin). Calculer la pente de ce câble et l'exprimer en pourcentage.

2. Entre

B

et

C

, le câble mesure

480 m

. Calculer

CC'

, en déduire l'altitude au point

C

, arrondie au mètre.

3.

E

est le milieu du segment

[AC]

et entre

E

et

C

, la cabine progresse à la vitesse constante de

5 m/s

. Combien de temps met-elle à parcourir la distance

EC

? Vous donnerez le résultat en minutes et secondes.

Exercice 5

Je plante trois bâtons verticaux suivant le schéma ci-contre, sachant que

AB = 32 cm

,

CD = 20 cm

,

EF = 12 cm

,

BD = 20 cm, DF = 12 cm

.

1. Faire un dessin à l’échelle

2. Les points

A

,

C

et

E

sont-ils alignés ?

Exercice 6

ABCD

est un carré.

ABE

est un triangle extérieur à

ABCD

. On trace les droites

(EC)

et

(ED)

qui coupent le segment

[AB]

en

M

et N.

Des points

M

et

N

on mène les perpendiculaires à

(AB)

. Elles recoupent

(EA)

et

(EB)

en

P

et

Q

.

1. Remettre les lettres sur le dessin.

2. Que peut-on dire du quadrilatère

MNPQ

?

3. On suppose que

AB = 2

et que

ABE

est un triangle équilatéral.

a. Faire une figure en

cm

à l’échelle

5

à la règle graduée et au compas (on laissera apparents les traits de construction)

b. Le but de cette question est de calculer

PQ

. Pour cela, on utilise la hauteur de sommet

E

du triangle

ABE

qui coupe

[AB]

en

H

et

[CD]

en

K

.

i. Calculer

EH

, puis

EK

.

ii. En déduire la valeur exacte de

PQ

, puis une valeur approchée à

0,1

près ; vérifier ce résultat sur la construction de la question a.

Exercice 7

LAST

est un parallélogramme.

U

est un point de la diagonale

[LS]

, plus proche de

L

que de

S

. La droite

(TU)

coupe le segment

[LA]

en

C

et la demi-droite

[SA)

en

E

.

Voici ci-dessous la figure correspondante (les proportions ne sont pas respectées) :

1. Si l'on vous dit que

TU

mesure

12 cm

et que

UC

en mesure

9

, quelle est la longueur de

CE

?

2. Tracer une figure correspondant au problème posé, à l’échelle ½, en utilisant une règle graduée et un compas.