- Les 5 exercices sont indépendants -

École des Mines d'Albi-Carmaux Formation Initiale 3ième année

Décembre 2003

AUTOMATIQUE

ANALYSE ET COMMANDE DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS OU ÉCHANTILLONNÉS

(Notes de cours et TD autorisées)

-

Les 5 exercices sont indépendants - Les calculs doivent être détaillés au maximum.

Exercice 1 :

On considère un processus continu de fonction de transfert:

G(p)

=

1

On réalise une commande numérique de ce système suivant le schéma de la figure 1.

u(t) ^{1 1} y(t)

1 . Proce~UB ¹

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ORDINATEUR

FIG. 1 - Processus continu dans une boucle numérique d'asservissement On choisit un correcteur numérique de fonction de transfert:

C(z)

= z-0,2 z-l

1

On choisit une fréquence d'échantillonnage de 2, 5 Hz.

\

1.1) Calculer la fonction de transfert numérique ~~:~ en boucle fermée (FTBF).

Donner son gain statique (justifier le résultat).

1.2) Après avoir remarqué que la FTBF correspond à un deuxième ordre numérique, utiliser les abaques fournies en annexe1 pour déterminer:

a) le dépassement en réponse à un échelon, b) l'instant du premier dépassement.

Exerc~ 2 : /

On considère le schéma de la figure 2.

CALCULATEUR

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1 1

1

e(kT) + E(kT)

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T:J

1

Gc(z)

¹

:l

1 lu(kT)

1 1

1

1 1

1---

BOZ

H ^G(p) ~~S(t)

s(kT) 1 T

FIG. 2 -

Un calcul de correcteur numérique a conduit à l'équation récurrente suivante:

u(k) = u(k - 1) - e(k + 1) + €(k)

2.1) Calculer la fonction de transfert Gc(z) du correcteur numérique correspondant.

2.2) Expliquer pourquoi ce correcteur n'est pas utilisable.

1Les abaques utilisées devront être jointes à la copie.

2

Exercice 3 :

On considère le circuit électrique de la figure 3.

i(t) R

--

u(t) ¹

c

FIG.3

- _....

u(t) désigne la tension d'excitation du circuit.

vc(t) désigne la tension aux bornes du condensateur.

i(t) désigne le courant parcourant le circuit. Il sera considéré comme la sortie du système.

C

..J.À -

On choisit comme vecteur d'état: x(t)

=

vc(t).

..

u(. =-

3.1) Donner la représentation d'état du système correspondant au vecteur d'état choisi.

3.2) En déduire la fonction de transfert du système

~~.

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Exercice 4 :

1J

On considèrele systèmeldiscr~dont une représentation d'état est donnée par : x(k + 1)

= Fx(k) + Gu(k)

avec:

F = [ -o~ 16

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1A

Calculer les pôles du système. Commentaire.

4.2) Calculer la commande par retour d'état qui permet d'obtenir un système en boucle fermée présentant 2 pôles égaux à Zl,2

=

0,5 :f:j 0, 5.

4.3) Calculer la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) correspondante. - 3

"

'\

'\

Exercilé 5 :

,

On considère le système continu dont une représentation d'état est donnée par : [ ~: ]

=

^[ - ~ ~] [ ~: ]

+

[ ~ ] u

y = [1 0]

^{[ ~~ ]}

5.1) Ce système est-il commandable? Est-il observable?

On échantillonne ce système avec une période T.

5.2) Calculer la représentation d'état du système échantillonné correspondant.

\0 5.3) Quelle condition doit vérifier la période T pour garantir la commandabilité et l'observabilité du système échantillonné?

\

D(%) Dépassement indiciel D(%) =/("(,/;)

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6

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=

(Z-Zl)(Z-Zt)

Temps du premier maximum na =f (Y.ç)

100"

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