Fascinants nombres de Bernoulli

Fascinants nombres de Bernoulli

Laura Gay - Florian Lemonnier

Université de Rennes 1 - ENS Ker Lann

19 avril 2013

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Construction Preuve d'existence

Dénition

Sommes de Bernoulli Soient p∈N^∗, n∈N^∗.

S_p(n) =

n−1

X

k=0

k^p

S₁(n) =0¹+1¹+. . .+ (n−1)¹ = n(n−1) 2

S₂(n) =0²+1²+. . .+ (n−1)² = n(n−1)(2n−1) 6

S₃(n) = n(n−1)(2n−1)(3n−1)

4! ?

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Construction Preuve d'existence

Dénition

Sommes de Bernoulli Soient p∈N^∗, n∈N^∗.

S_p(n) =

n−1

X

k=0

k^p

S₁(n) =0¹+1¹+. . .+ (n−1)¹ = n(n−1) 2

S₃ n

4! ?

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Construction Preuve d'existence

Dénition

Sommes de Bernoulli Soient p∈N^∗, n∈N^∗.

S_p(n) =

n−1

X

k=0

k^p

S₁(n) =0¹+1¹+. . .+ (n−1)¹ = n(n−1) 2

S₂(n) =0²+1²+. . .+ (n−1)² = n(n−1)(2n−1) 6

S₃(n) = n(n−1)(2n−1)(3n−1)

4! ?

Dénition

Sommes de Bernoulli Soient p∈N^∗, n∈N^∗.

S_p(n) =

n−1

X

k=0

k^p

S₁(n) =0¹+1¹+. . .+ (n−1)¹ = n(n−1) 2

S₂(n) =0²+1²+. . .+ (n−1)² = n(n−1)(2n−1) 6

S₃(n) = n(n−1)(2n−1)(3n−1)

4! ?

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Construction Preuve d'existence

Calcul de S

( n ) par le binôme de Newton

(n−1)⁴− (n−2)⁴ = 4(n−1)³−6(n−1)²+4(n−1) −1

(n−2)⁴− (n−3)⁴ = 4(n−2)³−6(n−2)²+4(n−2) −1 ...

1⁴−0⁴ = 4×1³−6×1²+4×1−1

(n−1)⁴ = 4S₃(n) −6S₂(n) +4S₁(n) − (n−1) Donc S₃(n) = n²(n−1)²

4 , et non n(n−1)(2n−1)(3n−1)

4! .

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Construction Preuve d'existence

Calcul de S

( n ) par le binôme de Newton

(n−1)⁴− (n−2)⁴ = 4(n−1)³−6(n−1)²+4(n−1) −1 (n−2)⁴− (n−3)⁴ = 4(n−2)³−6(n−2)²+4(n−2) −1

Donc S₃(n) = n²(n−1)²

4 , et non n(n−1)(2n−1)(3n−1)

4! .

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Construction Preuve d'existence

Calcul de S

( n ) par le binôme de Newton

(n−1)⁴− (n−2)⁴ = 4(n−1)³−6(n−1)²+4(n−1) −1 (n−2)⁴− (n−3)⁴ = 4(n−2)³−6(n−2)²+4(n−2) −1

...

1⁴−0⁴ = 4×1³−6×1²+4×1−1

(n−1)⁴ = 4S₃(n) −6S₂(n) +4S₁(n) − (n−1) Donc S₃(n) = n²(n−1)²

4 , et non n(n−1)(2n−1)(3n−1)

4! .

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Construction Preuve d'existence

Calcul de S

( n ) par le binôme de Newton

(n−1)⁴− (n−2)⁴ = 4(n−1)³−6(n−1)²+4(n−1) −1 (n−2)⁴− (n−3)⁴ = 4(n−2)³−6(n−2)²+4(n−2) −1

...

1⁴−0⁴ = 4×1³−6×1²+4×1−1

(n−1)⁴ = 4S₃(n) −6S₂(n) +4S₁(n) − (n−1)

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Construction Preuve d'existence

Calcul de S

( n ) par le binôme de Newton

(n−1)⁴− (n−2)⁴ = 4(n−1)³−6(n−1)²+4(n−1) −1 (n−2)⁴− (n−3)⁴ = 4(n−2)³−6(n−2)²+4(n−2) −1

...

1⁴−0⁴ = 4×1³−6×1²+4×1−1

(n−1)⁴ = 4S₃(n) −6S₂(n) +4S₁(n) − (n−1) Donc S₃(n) = n²(n−1)²

4 , et non n(n−1)(2n−1)(3n−1)

4! .

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Construction Preuve d'existence

2S₁(n) = 1n² −1n 3S2(n) = 1n³ −3

2n² +1 2n 4S₃(n) = 1n⁴ −2n³ +1n² +0n 5S₄(n) = 1n⁵ −5

2n⁴ +5

3n³ +0n² −1 6n 6S₅(n) = 1n⁶ −3n⁵ +5

2n⁴ +0n³ −1

2n² +0n 7S6(n) = 1n⁷ −7

2n⁶ +7

2n⁵ +0n⁴ −7

6n³ +0n² +1 6n

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Construction Preuve d'existence

2S₁(n) = 1n² −1n 3S2(n) = 1n³ −3

2n² +1 2n 4S₃(n) = 1n⁴ −2n³ +1n² +0n 5S₄(n) = 1n⁵ −5

2n⁴ +5

3n³ +0n² −1 6n 6S₅(n) = 1n⁶ −3n⁵ +5

2n⁴ +0n³ −1

2n² +0n 7S6(n) = 1n⁷ −7

2n⁶ +7

2n⁵ +0n⁴ −7

6n³ +0n² +1 6n 1

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

3S2(n) = 1n³ −3

2n² +1 2n 4S₃(n) = 1n⁴ −2n³ +1n² +0n 5S₄(n) = 1n⁵ −5

2n⁴ +5

3n³ +0n² −1 6n 6S₅(n) = 1n⁶ −3n⁵ +5

2n⁴ +0n³ −1

2n² +0n 7S6(n) = 1n⁷ −7

2n⁶ +7

2n⁵ +0n⁴ −7

6n³ +0n² +1 6n 1

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

×−1 2

×1 6

×−1 30

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Construction Preuve d'existence

2S₁(n) = 1n² −1n 3S2(n) = 1n³ −3

2n² +1 2n 4S₃(n) = 1n⁴ −2n³ +1n² +0n 5S₄(n) = 1n⁵ −5

2n⁴ +5

3n³ +0n² −1 6n 6S₅(n) = 1n⁶ −3n⁵ +5

2n⁴ +0n³ −1

2n² +0n 7S6(n) = 1n⁷ −7

2n⁶ +7

2n⁵ +0n⁴ −7

6n³ +0n² +1 6n 1

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

×−1 2

×1 61

3S2(n) = 1n³ −3

2n² +1 2n 4S₃(n) = 1n⁴ −2n³ +1n² +0n 5S₄(n) = 1n⁵ −5

2n⁴ +5

3n³ +0n² −1 6n 6S₅(n) = 1n⁶ −3n⁵ +5

2n⁴ +0n³ −1

2n² +0n 7S6(n) = 1n⁷ −7

2n⁶ +7

2n⁵ +0n⁴ −7

6n³ +0n² +1 6n 1

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

×−1 2

×1 6

×−1 30

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Construction Preuve d'existence

Les premiers nombres de Bernoulli

B₀ = 1 B₁₁ = 0

B1 = ⁻₂¹ B12 = ⁻₂₇₃₀⁶⁹¹

B₂ = ¹₆ B₁₃ = 0

B₃ = 0 B₁₄ = ⁷₆

B4 = ⁻₃₀¹ B15 = 0

B₅ = 0 B₁₆ = ⁻₅₁₀³⁶¹⁷

B₆ = ₄₂¹ B₁₇ = 0

B7 = 0 B18 = ⁴³⁸⁶⁷₇₉₈

B₈ = ⁻₃₀¹ B₁₉ = 0

B 0 B ^−174611

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Construction Preuve d'existence

Théorème

Existence et dénition des nombres de Bernoulli

∀(p,n)∈(N^∗)² :

Sp(n) = 1 p+1

Xp k=0

p+1 k

B_kn^p+1−k Les nombres B_k sont indépendants de n et p.

La suite(B_k)_k∈

Nest la suite des nombres de Bernoulli, dont les premiers termes sont 1, −1

2 , 1 6, 0 . . .

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Construction Preuve d'existence

Théorème

Existence et dénition des nombres de Bernoulli

∀(p,n)∈(N^∗)² :

Sp(n) = 1 p+1

Xp k=0

p+1 k

B_kn^p+1−k Les nombres B_k sont indépendants de n et p.

La suite(B_k)_k∈

Nest la suite des nombres de Bernoulli, dont les premiers termes sont 1, −1

2 , 1 6, 0 . . .

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Théorème

Relations de récurrence entre les nombres de Bernoulli

∀p ≥1, Xp k=0

p+1 k

B_k =0

Théorème

À partir de B₃, tous les nombres de Bernoulli de rang impair sont nuls.

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Théorème

Relations de récurrence entre les nombres de Bernoulli

∀p ≥1, Xp k=0

p+1 k

B_k =0

∀p ≥1,Bp= (−1)^p p+1 p+

p−1

X

k=1

p+1 k

(−1)^k+1B_k

! .

Théorème

À partir de B₃, tous les nombres de Bernoulli de rang impair sont nuls.

Théorème

Relations de récurrence entre les nombres de Bernoulli

∀p ≥1, Xp k=0

p+1 k

B_k =0

∀p ≥1,Bp= (−1)^p p+1 p+

p−1

X

k=1

p+1 k

(−1)^k+1B_k

! .

Théorème

À partir de B₃, tous les nombres de Bernoulli de rang impair sont nuls.

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

B0 =1

−B₁ = 1 2 B₂ = 1

2·3

−B₄ = 1 2·3·5 B₆ = 1

2·3·7

−B₈ = 1 2·3·5

B10= 5 2·3·11

−B12= 691 2·3·5·7·13 B14= 7

2·3

−B16= 3617 2·3·5·17 B18= 43867

2·3·7·19

−B20= 283·617 2·3·5·11

B0 =1

−B₁ = 1 2 B₂ = 1

2·3

−B₄ = 1 2·3·5 B₆ = 1

2·3·7

−B₈ = 1 2·3·5

B10= 5 2·3·11

−B12= 691 2·3·5·7·13 B14= 7

2·3

−B16= 3617 2·3·5·17 B18= 43867

2·3·7·19

−B20= 283·617 2·3·5·11

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

B0 =1

−B₁ = 1 2 B₂ = 1

2·3

−B₄ = 1 2·3·5 B₆ = 1

2·3·7

−B₈ = 1 2·3·5

B10= 5 2·3·11

−B12= 691 2·3·5·7·13 B14= 7

2·3

−B16= 3617 2·3·5·17 B18= 43867

2·3·7·19

−B20= 283·617 2·3·5·11

B0 =1

−B₁ = 1 2 B₂ = 1

2·3

−B₄ = 1 2·3·5 B₆ = 1

2·3·7

−B₈ = 1 2·3·5

B10= 5 2·3·11

−B12= 691 2·3·5·7·13 B14= 7

2·3

−B16= 3617 2·3·5·17 B18= 43867

2·3·7·19

−B20= 283·617 2·3·5·11

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

B0 =1

−B₁ = 1 2 B₂ = 1

2·3

−B₄ = 1 2·3·5 B₆ = 1

2·3·7

−B₈ = 1 2·3·5

B10= 5 2·3·11

−B12= 691 2·3·5·7·13 B14= 7

2·3

−B16= 3617 2·3·5·17 B18= 43867

2·3·7·19

−B20= 283·617 2·3·5·11

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Conjecture :

Exemple B₁₀

Diviseurs de 10 +1 : 2, 3, 6, 11

Nombres premiers de cette liste : 2, 3, 11. Dénominateur de B₁₀ : 2·3·11

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Conjecture :

q premier divise les dénominateurs de Bq−1, B₂(q−1), B₃(q−1)

. . . et seulement ceux-là ! Exemple

B₁₀

Diviseurs de 10 +1 : 2, 3, 6, 11

Nombres premiers de cette liste : 2, 3, 11. Dénominateur de B₁₀ : 2·3·11

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Conjecture :

q premier divise les dénominateurs de Bq−1, B₂(q−1), B₃(q−1)

. . . et seulement ceux-là !

Nombres premiers de cette liste : 2, 3, 11. Dénominateur de B₁₀ : 2·3·11

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Conjecture :

q premier divise les dénominateurs de Bq−1, B₂(q−1), B₃(q−1)

. . . et seulement ceux-là ! Exemple

B₁₀

Diviseurs de 10 +1 : 2, 3, 6, 11

Nombres premiers de cette liste : 2, 3, 11. Dénominateur de B₁₀ : 2·3·11

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Conjecture :

q premier divise les dénominateurs de Bq−1, B₂(q−1), B₃(q−1)

. . . et seulement ceux-là ! Exemple

B₁₀

Diviseurs de 10 +1 : 2, 3, 6, 11

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Conjecture :

q premier divise les dénominateurs de Bq−1, B₂(q−1), B₃(q−1)

. . . et seulement ceux-là ! Exemple

B₁₀

Diviseurs de 10 +1 : 2, 3, 6, 11

Nombres premiers de cette liste : 2, 3, 11.

Dénominateur de B₁₀ : 2·3·11

Conjecture :

q premier divise les dénominateurs de Bq−1, B₂(q−1), B₃(q−1)

. . . et seulement ceux-là ! Exemple

B₁₀

Diviseurs de 10 +1 : 2, 3, 6, 11

Nombres premiers de cette liste : 2, 3, 11.

Dénominateur de B₁₀ : 2·3·11

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Théorème

Von Staudt-Clausen La somme B_p+ X

q premier, q−1|p

1

q est un nombre entier.

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Idées pour la preuve

Dénition

Un nombre rationnel est q-entier s'il ne contient pas q au dénominateur.

w w

m w ≡ m⁰

w⁰ [q] ⇔ m w = m⁰

w⁰ +qm⁰⁰ w⁰⁰ où m⁰⁰,w⁰⁰ ∈Zet m⁰⁰

w⁰⁰ est irréductible avec q-w⁰⁰.

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Idées pour la preuve

Dénition

Un nombre rationnel est q-entier s'il ne contient pas q au dénominateur.

Dénition

Dans l'anneauZ_q : Congruence modulo q pour les rationnels Soient m,w,m⁰,w⁰ ∈Ztels que m

w et m⁰

w⁰ irréductibles

m w ≡ m⁰

w⁰ [q] ⇔ m w = m⁰

w⁰ +qm⁰⁰ w⁰⁰ où m⁰⁰,w⁰⁰ ∈Zet m⁰⁰

w⁰⁰ est irréductible avec q-w⁰⁰.

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Idées pour la preuve

Dénition

Un nombre rationnel est q-entier s'il ne contient pas q au dénominateur.

Dénition

Dans l'anneauZ_q : Congruence modulo q pour les rationnels Soient m,w,m⁰,w⁰ ∈Ztels que m

w et m⁰

w⁰ irréductibles m

w ≡ m⁰

w⁰ [q] ⇔ m w = m⁰

w⁰ +qm⁰⁰ w⁰⁰

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Idées pour la preuve

Dénition

Un nombre rationnel est q-entier s'il ne contient pas q au dénominateur.

Dénition

Dans l'anneauZ_q : Congruence modulo q pour les rationnels Soient m,w,m⁰,w⁰ ∈Ztels que m

w et m⁰

w⁰ irréductibles m

w ≡ m⁰

w [q] ⇔ m

w = m⁰

w +qm⁰⁰ w

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Idées pour la preuve

Théorème

Soit p≥2 et q un nombre premier. On a les congruences suivantes :

Théorème

Soit p≥2 et q un nombre premier.

Si(q−1)-p, alors B_p est q-entier (et qB_p est également q-entier). Si(q−1)|p, alors qBp est q-entier et qBp ≡−1 [q].

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Idées pour la preuve

Théorème

Soit p≥2 et q un nombre premier. On a les congruences suivantes :

Si (q−1)-p alors Sp(q)≡0[q]

Si (q−1)|p alors S_p(q)≡−1 [q] Théorème

Soit p≥2 et q un nombre premier.

Si(q−1)-p, alors B_p est q-entier (et qB_p est également q-entier). Si(q−1)|p, alors qBp est q-entier et qBp ≡−1 [q].

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Idées pour la preuve

Théorème

Soit p≥2 et q un nombre premier. On a les congruences suivantes :

Si (q−1)-p alors Sp(q)≡0[q] Si (q−1)|p alors Sp(q)≡−1 [q]

Si(q−1)|p, alors qBp est q-entier et qBp ≡−1 [q].

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Idées pour la preuve

Théorème

Soit p≥2 et q un nombre premier. On a les congruences suivantes :

Si (q−1)-p alors Sp(q)≡0[q] Si (q−1)|p alors Sp(q)≡−1 [q] Théorème

Soit p≥2 et q un nombre premier.

Si(q−1)-p, alors B_p est q-entier (et qB_p est également q-entier). Si(q−1)|p, alors qBp est q-entier et qBp ≡−1 [q].

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Idées pour la preuve

Théorème

Soit p≥2 et q un nombre premier. On a les congruences suivantes :

Si (q−1)-p alors Sp(q)≡0[q] Si (q−1)|p alors Sp(q)≡−1 [q] Théorème

Soit p≥2 et q un nombre premier.

Si(q−1)-p, alors B_p est q-entier (et qB_p est également q-entier).

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Idées pour la preuve

Théorème

Soit p≥2 et q un nombre premier. On a les congruences suivantes :

Si (q−1)-p alors Sp(q)≡0[q] Si (q−1)|p alors Sp(q)≡−1 [q] Théorème

Soit p≥2 et q un nombre premier.

Si(q−1) p, alors B est q-entier (et qB est également q-entier).

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Théorème

Von Staudt-Clausen La somme Bp+ X

q premier, q−1|p

1

q est un nombre entier.

Si q 1 |p, à part _q , tous les termes de la somme sont q⁰-entiers.

Or, q⁰Bp≡−1[q⁰], ie Bp= ⁻_q¹0 +^m_w où q⁰ -w

donc m

w q⁰-entier . Donc B_p+_q¹0 = ^m_w est q⁰-entier.

B_p+ P

q premier, q−1|p

1q est donc q⁰-entière pour tout q⁰ premier.

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Théorème

Von Staudt-Clausen La somme Bp+ X

q premier, q−1|p

1

q est un nombre entier.

Cette quantité est q⁰-entière pour tout q⁰ premier.

Si(q⁰−1)-p, B_p est q⁰-entier et tous les termes de la somme sont q⁰-entiers.

Si(q⁰−1)|p, à part _q¹⁰, tous les termes de la somme sont q⁰-entiers.

Or, q⁰Bp≡−1[q⁰], ie Bp= ⁻_q¹0 +^m_w où q⁰ -w

donc m

w q⁰-entier . Donc B_p+_q¹0 = ^m_w est q⁰-entier.

B_p+ P

q premier, q−1|p

1q est donc q⁰-entière pour tout q⁰ premier.

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Théorème

Von Staudt-Clausen La somme Bp+ X

q premier, q−1|p

1

q est un nombre entier.

Cette quantité est q⁰-entière pour tout q⁰ premier.

Si(q⁰−1)-p, B_p est q⁰-entier et tous les termes de la somme sont q⁰-entiers.

Donc B_p+_q¹0 = ^m_w est q⁰-entier. B_p+ P

q premier, q−1|p

1q est donc q⁰-entière pour tout q⁰ premier.

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Théorème

Von Staudt-Clausen La somme Bp+ X

q premier, q−1|p

1

q est un nombre entier.

Cette quantité est q⁰-entière pour tout q⁰ premier.

Si(q⁰−1)-p, B_p est q⁰-entier et tous les termes de la somme sont q⁰-entiers.

Si(q⁰−1)|p, à part _q¹⁰, tous les termes de la somme sont q⁰-entiers.

Or, q⁰Bp≡−1[q⁰], ie Bp= ⁻_q¹0 +^m_w où q⁰ -w

donc m

w q⁰-entier . Donc B_p+_q¹0 = ^m_w est q⁰-entier.

B_p+ P

q premier, q−1|p

1q est donc q⁰-entière pour tout q⁰ premier.

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Théorème

Von Staudt-Clausen La somme Bp+ X

q premier, q−1|p

1

q est un nombre entier.

Cette quantité est q⁰-entière pour tout q⁰ premier.

Si(q⁰−1)-p, B_p est q⁰-entier et tous les termes de la somme sont q⁰-entiers.

Si(q⁰−1)|p, à part _q¹⁰, tous les termes de la somme sont q⁰-entiers.

Or, q⁰Bp≡−1[q⁰], ie Bp= ⁻_q¹0 +^m_w où q⁰ -w

donc m

w q⁰-entier .

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Théorème

Von Staudt-Clausen La somme Bp+ X

q premier, q−1|p

1

q est un nombre entier.

Cette quantité est q⁰-entière pour tout q⁰ premier.

Si(q⁰−1)-p, B_p est q⁰-entier et tous les termes de la somme sont q⁰-entiers.

Si(q⁰−1)|p, à part _q¹⁰, tous les termes de la somme sont q⁰-entiers.

Or, q⁰Bp≡−1[q⁰], ie Bp= ⁻_q¹0 +^m_w où q⁰ -w

donc m

w q⁰-entier . Donc B + ¹ = ^m est q⁰-entier.

B_p+ P

q premier, q−1|p

1q est donc q⁰-entière pour tout q⁰ premier.

Théorème

Von Staudt-Clausen La somme Bp+ X

q premier, q−1|p

1

q est un nombre entier.

Cette quantité est q⁰-entière pour tout q⁰ premier.

Si(q⁰−1)-p, B_p est q⁰-entier et tous les termes de la somme sont q⁰-entiers.

Si(q⁰−1)|p, à part _q¹⁰, tous les termes de la somme sont q⁰-entiers.

Or, q⁰Bp≡−1[q⁰], ie Bp= ⁻_q¹0 +^m_w où q⁰ -w

donc m

w q⁰-entier . Donc Bp+_q¹0 = ^m_w est q⁰-entier.

B_p+ P ₁

q est donc q⁰-entière pour tout q⁰ premier.

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Théorème

Fonction génératrice X

n≥0

B_n

n!xⁿ converge vers g :x 7→ x e^x −1

Rayon de convergence : R>0.

Théorème

Fonction génératrice X

n≥0

B_n

n!xⁿ converge vers g :x 7→ x e^x −1 Rayon de convergence : R>0.

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Idée de preuve

Soit x∈] −R,R[. On a : (e^x−1)

+∞

X

n=0

B_n n!xⁿ

!

=

+∞

X

m=0

Xm k=0

m+1 k

B_k x^m+1 (m+1)!.

Regardons Xm k=0

m+1 k

B_k : pour m=0, X0 k=0

1 k

B_k =B0 =1

pour m6=0, Xm k=0

m+1 k

B_k =0.

Donc(e^x−1)

+∞

X

n=0

B_n n!xⁿ

!

=x+0=x. Donc sur] −R,R[, g(x) = x

e^x−1 =

+∞

X

n=0

B_n n!xⁿ.

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Idée de preuve

Soit x∈] −R,R[. On a : (e^x−1)

+∞

X

n=0

B_n n!xⁿ

!

=

+∞

X

m=0

Xm k=0

m+1 k

B_k x^m+1 (m+1)!. Regardons

Xm k=0

m+1 k

B_k :

pour m6=0,

k=0 k B_k =0. Donc(e^x−1)

+∞

X

n=0

B_n n!xⁿ

!

=x+0=x. Donc sur] −R,R[, g(x) = x

e^x−1 =

+∞

X

n=0

B_n n!xⁿ.

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Idée de preuve

Soit x∈] −R,R[. On a : (e^x−1)

+∞

X

n=0

B_n n!xⁿ

!

=

+∞

X

m=0

Xm k=0

m+1 k

B_k x^m+1 (m+1)!. Regardons

Xm k=0

m+1 k

B_k : pour m=0, X0 k=0

1 k

B_k =B0 =1

pour m6=0, Xm k=0

m+1 k

B_k =0.

Donc(e^x−1)

+∞

X

n=0

B_n n!xⁿ

!

=x+0=x. Donc sur] −R,R[, g(x) = x

e^x−1 =

+∞

X

n=0

B_n n!xⁿ.

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Idée de preuve

Soit x∈] −R,R[. On a : (e^x−1)

+∞

X

n=0

B_n n!xⁿ

!

=

+∞

X

m=0

Xm k=0

m+1 k

B_k x^m+1 (m+1)!. Regardons

Xm k=0

m+1 k

B_k : pour m=0, X0 k=0

1 k

B_k =B0 =1

pour m6=0, Xm k=0

m+1 k

B_k =0.

Donc sur] −R,R[, g(x) =

e^x−1 =

n=0 n!x .

Introduction D'où viennent-ils ? Comment les étudie-t-on ? Quelles sont leurs propriétés ? À quoi servent-ils ? Conclusion

Premières propriétés

Théorème de Von Staudt-Clausen Fonction génératrice

Polynômes de Bernoulli

Idée de preuve

Soit x∈] −R,R[. On a : (e^x−1)

+∞

X

n=0

B_n n!xⁿ

!

=

+∞

X

m=0

Xm k=0

m+1 k

B_k x^m+1 (m+1)!. Regardons

Xm k=0

m+1 k

B_k : pour m=0, X0 k=0

1 k

B_k =B0 =1

pour m6=0, Xm k=0

m+1 k

B_k =0.

Donc(e^x−1)

+∞

X

n=0

B_n n!xⁿ

!

=x+0=x.

Donc sur] −R,R[, g(x) = x e^x−1 =

+∞

X

n=0

B_n n!xⁿ.

Idée de preuve

Soit x∈] −R,R[. On a : (e^x−1)

+∞

X

n=0

B_n n!xⁿ

!

=

+∞

X

m=0

Xm k=0

m+1 k

B_k x^m+1 (m+1)!. Regardons

Xm k=0

m+1 k

B_k : pour m=0, X0 k=0

1 k

B_k =B0 =1

pour m6=0, Xm k=0

m+1 k

B_k =0.

Donc(e^x−1)

+∞

X

n=0

B_n n!xⁿ

!

=x+0=x.

Donc sur] −R,R[, g(x) = x e^x−1 =

+∞

XB_n n!xⁿ.