II) CONVEXITE ET DERIVEES Définition :

II) CONVEXITE ET DERIVEES

Définition :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I

On dit que f est deux fois dérivable sur I si f ' est elle même dérivable sur I La dérivée de f ' s'appelle alors la dérivée seconde de f sur I et se note f '' Exemples :

f(x)=e^x−7 x²+3 alors f '(x)=e^x−14 x donc f ' '(x)=e^x−14

faire activité 2 p 113 : deécouvrir la propriété suivante.

Propriété admise:

Soit f une fonction dérivable sur I.

^l f est convexe sur I ⇔ f ' est croissante sur I.

l f est concave sur I ⇔ f ' est décroissante sur I Exemples :

1)si fx=e^x alors f 'x=e^x donc f ' est croissante sur ℝ donc f est convexe sur ℝ.

2) si gx=x³ alors g 'x=3 x² or g' est décroissante sur ℝ^- et croissante sur ℝ⁺ donc g est convexe sur ℝ⁺ et concave sur ℝ^-.

Propriété :

Soit f une fonction deux fois dérivable sur I.

^l f est convexe sur I ⇔ f ''(x)  0 pour tout x de I.

l f est concave sur I ⇔ f ''(x)  0 pour tout x de I.

Exercices : 11 -12 – 13 p 117 22 p 120 42 - 43 – 44 - 45 p 123

Propriété admise:

Soit f une fonction deux fois dérivable sur I , C sa courbe représentative et a ∈I .

Le point A ( a;f(a)) est un point d'inflexion de C ⇔ f '' s'annule en a en changeant de signe.

Exercices : 58 p 125 - 39 p 123 - 56 p 124