LES DERIVEES

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LES DERIVEES 1

DERIVEES DE FONCTIONS : - LOGARITHME

- EXPONENTIELLE - RACINE CARREE

Exercice

Calculer les dérivées des fonctions suivantes après avoir déterminé leur ensemble de définition.

= ln3 + = ln1 + ℎ = ln+ = ²ln 1 + 1

² = ln + + 1

=3+ 2 −

=

² − 1 = ^!"

= − ln

# = ^$

% = &² − 1

² + 1 ' = ² + + 1

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2 CORRECTION

() = *+, + )^-

existe ssi 3 + > 0, ce qui est toujours vrai.

0 = ℝ

est de la forme ln ; , donc ^> = ;^>

avec ; = 3 + ⇒ ;^> = 4 ;

^> = 4 3 +

B) = *+C + )^D

existe ssi 1 + ² > 0, ce qui est toujours vrai.

0 = ℝ

est de la forme ln ; , donc ^> = ;^>

avec ; = 1 + ² ⇒ ;^> = 2 ;

^> = 2 1 + ²

E) = *+F⁾+ F⁾

ℎ existe ssi + > 0 ⇔ + 1

> 0 ⇔ ² + 1

> 0 ⇒ toujours vrai 0ℎ = ℝ

ℎest de la forme ln ; , donc ℎ^> = ;^>

avec ; = + ⇒ ;^> = − ;

www.famillefutee.com ℎ^> = −

3

+ LM N;O P^>QQêOQ

= − 1 + 1

=

− 1

+ 1 =

− 1 + 1

= − 1

× + 1

^> = − 1 + 1

T) = )² *+ C + C )² existe ssi C + 1

² > 0 ⇒ toujours vrai 0 = ℝ

est de la forme ; × U, donc ^> = ;^>U + U′;

avec ; = ⇒ ;^> = 2 et U = ln 1 + 1

² ⇒ U^> =

−2 1 + 1²

=

−2

² + 1

²

= −2

× ²

² + 1 =

−2

²+ 1

D^>où ^> = 2 × ln Y1 + 1²^Z+ −2

²²+ 1 × ² ⁼ 2 × ln Y1 + 1²^Z+ −2²+ 1

′ = 2 [ln1 + 1

− 1 + 1\

]) = *+ ) + )^D+ C existe ssi

+ + 1 > 0 ⇔ + + 1 > 0 ⇔ + + 1 > 0 ⇔ 2² + 1 > 0

⇒ toujours vrai 0 = ℝ

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est de la forme ln ; , donc ^> = ;^>

4

;

avec ; = + + 1 ⇒ ;^> = 1 + 2

2√+ 1 = 1 +

√+ 1 _M O, ' éQUé √a PO a′

2√a D^>où

^> = 1 +

√ + 1 + √ + 1 =

1 × √+ 1

√+ 1 +

√+ 1 + √+ 1 =

√+ 1 +

√+ 1 + √+ 1

= √+ 1 +

√+ 1 × 1

+ √+ 1 = 1

√ + 1

D^>où ^> = 1

√+ 1

b) =,F^,)+ DF⁾ F − F⁾

existe ssi − ≠ 0 ⇔ ≠ ⇔ ≠ ln ⇔ ≠ 1 0 = ℝ \ e1f

est de la forme ;

U , donc ′ = ;^>U − U′;

U² avec ; = 3+ 2 ⇒ ;^> = 9+ 2 et U = − ⇒ U^> = −

D^>où

^> = 9+ 2 − − −3+ 2

− ²

= 9× − 9× + 2× − 2× − −× 3− × 2 − ²

= 9^!"− 9+ 2^!"− 2 − −3− 2 − ²

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= 9^!"− 9+ 2^!"− 2+ 3+ 2

5

− ²

′ =9^!"− 6+ 2^!"

− ² i jklFm F = F^C

n) = F^D) )² − C existe ssi

− 1 ≠ 0 ⇔ − 1 + 1 ≠ 0 ⇔ − 1 ≠ 0 ou + 1 ≠ 0 ⇔ ≠ 1 ou ≠ −1 0 = ℝ \ e−1; 1f

est de la forme ;

U , donc ′ = ;^>U − U′;

U²

avec ; = ⇒ ;^> = 2 et U = ² − 1 ⇒ U^> = 2 D^>où

^> = 2² − 1 − 2

² − 1²

= 2 × ² − 2 − 2 ×

² − 1² = ²2 − 2− 2

² − 1²

′ =2 ² − 2 − 1

² − 1²

p) = F^)!C)

0 = ℝ^∗ car doit être ≠ 0

est de la forme ^r, donc ′ = ;^>r avec ; = +1

⇒ ;^> = 1 − 1

² D^>où

> = 1 − 1

× ^!"

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F) = F^D)− *+ )

6

existe ssi − ln > 0 ⇔ > 0 0 = ℝ^!

est de la forme √;, donc ^> = ;^>

2√;

avec ; = − ln ⇒ ;^> = 2−1 D^>où

^> = 2− 1 2√− ln =

2− 1

2√− ln = 2− 1

× 1

2√− ln

′ = 2− 1 2√− ln

s) = F^-),,) 0# = ℝ

#est de la forme ^r, donc #^> = ;′ ^r avec ; = 4− 3 ⇒ ;^> = 12− 3 D^>où

#^> = 12 − 3^t$u = #^> = 3 4− 1 × ^t$u

v) = &)² − C )² + C

% existe ssi

² − 1

² + 1 ≥ 0 ⇔ − 1 + 1

² + 1 ≥ 0

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−∞ −1 1 +∞

7

− 1 − − +

+ 1 − + +

² + 1 + + + − 1 + 1

² + 1 + − + yLOLMP z; ² + 1 PO OL;#L;QP ≠ 0

Donc 0% = {−∞; −1{ ∪ }1; +∞}

%est de la forme √;, donc %^> = ;^>

2√;

avec ; =− 1 + 1

⇒ ;^> = 2+ 1 − 2− 1

+ 1² = 2+ 2 − 2+ 2

+ 1² = 4

+ 1² D^>où

%^> =

4+ 1

2~− 1 + 1

= 4

+ 1 × 1 2~ − 1

+ 1

%′ = 2

+ 1× ~² − 1² + 1

) = )² + ) + C ' existe ssi

² + + 1 ≥ 0

Calcul du discriminant ∆

∆= ² − 4 = 1− 4 × 1 × 1 = 1 − 4 = −3

∆ < 0 donc ² + + 1 ne s^>annule jamais et est toujours positif . Donc 0' = ℝ

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'est de la forme √;, donc %^> = ;^>

8

avec ; = ² + + 1 2√;

⇒ ;^> = 2 + 1 D^>où

'^> = 2 + 1 2² + + 1