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Chap.6 :
FONCTIONS DERIVEES & APPLICATIONS
Partie 1 : fonctions dérivées
a) Définition d’une fonction dérivée Définition : fonction dérivée
On dit qu’une fonction f est dérivable sur un intervalle I (I ⊂ 𝒟$) si pour tout x appartenant à I, le nombre dérivé de f en x existe.
La fonction dérivée de f sur I est la fonction, notée 𝒇′, qui, à tout x de I, associe le réel 𝑓((𝑥).
Cette définition s’étend à une réunion d’intervalles disjoints.
Exemple : la fonction 𝑓: 𝑥 ⟼ 𝑥. est définie et dérivable sur ℝ et sa fonction dérivée est 𝑓(: 𝑥 ⟼ 2𝑥.
En effet, .
Et lorsque h tend vers zéro, le taux de variation tend vers 2a.
Définition : ensemble de dérivabilité
On appelle ensemble de dérivabilité de la fonction f, l’ensemble sur lequel la fonction dérivée 𝑓′ est définie.
Cet ensemble est toujours inclus dans 𝒟$ (voire égal à 𝒟$).
b) Tableau des dérivées des fonctions usuelles
Fonction Fonction dérivée : Ensemble de dérivabilité :
𝑓1: 𝑥 ⟼ 𝑘 𝑓.: 𝑥 ⟼ 𝑚𝑥 + 𝑝
𝑓6: 𝑥 ⟼ 𝑥. 𝑓7: 𝑥 ⟼1
𝑥 𝑓9: 𝑥 ⟼ √𝑥
𝑓;: 𝑥 ⟼ 𝑥6
𝑓<: 𝑥 ⟼ 𝑥= (𝑛 ∈ ℕ∗)
[Démonstrations]
Démonstrations à connaître : fonction carrée et fonction inverse.
c) Propriétés
Soient u et v deux fonctions numériques, définies et dérivables sur un intervalle I et soit k une constante réelle.
Théorème : produit par un réel
La fonction 𝑓: 𝑥⟼ 𝑘 × 𝑢(𝑥) est dérivable sur I et pour tout 𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓((𝑥) = 𝑘 × 𝑢((𝑥).
On écrira : (𝑘𝑢)( = 𝑘𝑢′
Exemple 1 : soit 𝑓1 la fonction définie sur ℝ par 𝑓1(𝑥) = 2𝑥9. Déterminer 𝑓1′.
2 2 2 2
( ) ( ) 2 2 (2 )
f a h f a a ah h a ah h h a h 2
h h h h a h
+ - = + + - = + = + = +
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Théorème : somme
La fonction 𝑓: 𝑥 ⟼ 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥) est dérivable sur 𝐼 et pour tout 𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓((𝑥)= 𝑢((𝑥)+ 𝑣′(𝑥).
On écrira : (𝑢+ 𝑣)(= 𝑢(+ 𝑣
Exemple 2 : dérivation des fonctions polynômes Soit 𝑓. la fonction définie sur ℝ par 𝑓.(𝑥) = 3𝑥6−<
.𝑥.+ √12 − 12. Déterminer 𝑓.′.
Partie 2 : Applications
a) Dérivation et sens de variation
Théorème : lien entre dérivation et variations
On considère une fonction 𝑓 dérivable sur un intervalle 𝐼 :
• 𝑓 est croissante sur 𝐼 si et seulement si 𝑓((𝑥) ≥ 0 pour tout 𝑥 ∈ 𝐼.
• 𝑓 est décroissante sur 𝐼 si et seulement si 𝑓((𝑥) ≤ 0 pour tout 𝑥 ∈ 𝐼.
• 𝑓 est constante sur 𝐼 si et seulement si 𝑓((𝑥) = 0 pour tout 𝑥 ∈ 𝐼.
Propriété : conséquence
• Si 𝑓((𝑥) > 0 pour tout 𝑥 ∈ 𝐼, alors 𝑓 est strictement croissante sur 𝐼.
• Si 𝑓((𝑥) < 0 pour tout 𝑥 ∈ 𝐼, alors 𝑓 est strictement décroissante sur 𝐼.
Remarques :
• Attention, dans la propriété précédente, les réciproques sont fausses : on peut prendre le contre-exemple de la fonction cube, strictement croissante sur ℝ dont la dérivée s’annule en 0. Les réciproques sont vraies seulement dans le cas où la fonction dérivée s’annule pour quelques valeurs isolées.
• On peut étudier le sens de variation d’une fonction 𝑓 à partir du signe de sa fonction dérivée.
Méthode : pour étudier les variations d’une fonction f :
- On déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité de la fonction 𝑓.
- On détermine la fonction dérivée de la fonction 𝑓.
- On étudie le signe de cette fonction dérivée.
- On utilise les théorèmes précédents pour déterminer les variations de la fonction 𝑓.
- On résume les résultats dans un tableau de variations (on y fait apparaître une ligne pour le signe de la dérivée).
Exemple 1 : déterminer le sens de variation de la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 2𝑥.− 8𝑥 + 5.
• La fonction f est dérivable sur ℝ et, pour tout nombre réel 𝑥, on a : ………
Étude du signe de 𝑓′(𝑥) sur ℝ : ………
………
• On en déduit le tableau de variations de la fonction 𝑓 sur ℝ :
[Méthode]
• Conclusion : ………
𝑥 Signe de 𝑓′(𝑥)
Variations de la fonction 𝑓
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Exemple 2 : déterminer le sens de variation de 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 2𝑥6− 3𝑥.− 12𝑥 − 1.
• La fonction f est dérivable sur ℝ et, pour tout nombre réel 𝑥, on a : ……….……
• Étude du signe de 𝑓′(𝑥) sur ℝ : ...
………
• On en déduit le tableau de variations de la fonction 𝑓 sur ℝ :
• Conclusion : ………
b) Extremum local d’une Fonction Théorème : extremum local
On considère une fonction 𝑓 dérivable sur un intervalle 𝐼 et 𝑎 un nombre réel appartenant à 𝐼.
On note 𝑓′ la fonction dérivée de la fonction 𝑓 sur l’intervalle 𝐼.
Si 𝑓 admet un extremum local au point d’abscisse 𝑎 distinct des extrémités de 𝐼, alors 𝑓((𝑎) = 0.
Remarques :
• La tangente à la courbe représentative de la fonction 𝑓 est alors parallèle à l’axe des abscisses.
• Il est important que 𝑎 soit distinct des extrémités de 𝐼, en effet, la fonction 𝑓 définie sur [2; 10] par 𝑓(𝑥) = 𝑥. admet un extremum en 10 mais pourtant 𝑓((10) = 20.
• Attention, la réciproque est fausse, si 𝑓((𝑎) = 0 alors la fonction f n’admet pas nécessairement un extremum local au point d’abscisse 𝑎.
Exemple : on considère la fonction f définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥6. La fonction 𝑓 est dérivable sur ℝ et on a 𝑓((𝑥) = 3𝑥..
On en déduit que 𝑓((0) = 0 mais 𝑓 n’admet ni minimum, ni maximum au point d’abscisse 0.
Théorème : recherche d’extremum
On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I et a un nombre réel appartenant à I.
On note f ’ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle I.
Si 𝑓′ s’annule en a en changeant de signe, alors f admet un extremum local au point d’abscisse a.
Exemple : on considère la fonction f définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥6− 3𝑥 dont le tableau de variations est donné ci- dessous. Déterminer les extremums locaux éventuels de la fonction f sur ℝ.
………
𝑥 Signe de 𝑓′(𝑥)
Variations de la fonction f
𝑥 −1 1 Signe de 𝑓′(𝑥) + 0 – 0 +
Variations de la fonction f
2
−2
