() LOI NORMALE ET LOIS DERIVEES

Chapitre 5

LOI NORMALE ET LOIS DERIVEES

A-LA LOI NORMALE Présentation

La distribution normale, dite encore de Laplace-Gauss, est pour des raisons qui apparaîtront plus loin, la plus importante des distributions de probabilité. C’est une distribution définie sur R , dont la densité dépend des 2 paramètres μ et σ², qui sont sa moyenne et sa variance ; l’expression de cette densité, donnée à titre de simple curiosité, est la suivante :

f(x,μ,σ²)= 1

σ 2π ^{exp −} x −μ

( )

²

2σ²

⎛

⎝ ⎜

⎜

⎞

⎠ ⎟

⎟

(nous n’aurons jamais besoin dans la suite de cette expression, sauf dans le chapitre sur le maximum de vraisemblance).

Le graphe de la densité de la loi normale de moyenne nulle et d’écart-type 1, dite loi normale centrée réduite ou standard, f(x ; 0 ; 1) est représenté ci-dessous ; c’est la fameuse courbe en cloche ; de façon générale, la courbe est symétrique autour de la moyenne μ et d’autant plus étalée vers les basses et hautes valeurs de x que la variance σ² est plus grande.

Densité de la loi normale

0 0,05

0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

-4 -2 0 2 4

x

Un premier résultat concernant la distribution normale est que si X est N(μ;σ²) (ce symbole se comprend de lui-même), la variable Y=aX+b, où a et b sont des nombres est aussi normale, de moyenne aμ+b et de variance a²σ².

Ce résultat, toute fonction linéaire d’une variable normale est elle-même normale, est très utile, notamment pour les calculs, car il montre qu’on peut toujours se ramener à la variable normale centrée réduite. En effet, soit X=N(μ ;σ²) et cherchons la probabilité que X soit inférieure ou égale à un nombre donné x0 (c’est, rappelons-le, la fonction de répartition de X). Pr{X≤x0}= Pr{X−μ

σ ^≤

x₀−μ

σ ^{}. Mais Y=}

X −μ

σ a pour moyenne 0 et pour variance 1, c’est une normale centrée réduite ; la probabilité cherchée est donc Pr{Y<y0} où Y=N(0,1) ety₀ = x₀−μ

σ ^.

Calculs numériques sur les lois normales

On peut les effectuer soit à partir de tables numériques, soit, et de façon beaucoup plus commode, à partir de logiciels.

On trouvera deux tables en annexe : la première fait correspondre la valeur u et la probabilité π telles que Pr{X<u}=π. On y lit par exemple que Pr{X<1.96}=0.975 = 97.5 %, ou Pr{X<1}=84.13%, etc… . On a bien sûr, Pr{X> u}=1-π=α; on a coutume de désigner par le symbole zα la valeur telle que Pr{X>zα}=α. Ainsi, z0.05=1.645, z0.025 =1.96, etc… A cause de la symétrie de la densité de X autour de 0, la table ne considère que des z positifs.

Supposons que nous cherchions le z correspondant à α=80%. De Pr{X>z0.8}=0.8, on tire Pr{X<z0.8}=0.2 et on voit que z0.8=-z0.2=-0.841. .De façon générale, zα=-z1−α.

La deuxième table, qui se déduit de la précédente, associe les valeurs ε et α, telles que Pr{ X >ε_α}= α. Par exemple ε0.05=1.96. ε α est toujours positif. On vérifie immédiatement que, pour α ≤ 0.5, z_α=ε_2α. Ainsi si X est normale de moyenne μ et de variance σ², la probabilité qu’elle tombe dans l’intervalle [μ-1.96σ, μ+1.96σ] est 0.95. Très souvent, on remplace 1.96 par la valeur approchée 2, et on a alors la règle des 2 écarts-types : une variable N(μ,σ²) a une probabilité de 95% de tomber dans l’intervalle μ±2σ .

Pour ce qui est des logiciels, il existe dans EXCEL plusieurs fonctions permettant d’effectuer tous les calculs portant sur les lois normales.

La convergence vers la loi normale : le théorème limite central

C’est sans doute le théorème le plus étonnant et le plus utilisé du calcul des probabilités.

Soit X1, X2,…, Xn des variables aléatoires indépendantes de même loi, de moyenne μ et de variance σ². Comme la moyenne M des Xi M = X₁+...+X_n

n a pour moyenne μ et pour variance σ²

n , la variable M−μ

σ² a une moyenne nulle et une variance unité. Le théorème

limite central dit que quelle que soit la distribution des Xi, la variable M−μ σ²

n

peut être

approchée, pour n suffisamment grand, par une variable normale. En d’autres termes, si n est grand la moyenne (ou la somme) de n variables aléatoires indépendantes de même loi quelconque a une distribution normale.

On comprend dès lors l’importance annoncée de cette distribution. On travaille souvent sur des moyennes (ou des quantités qui s’y ramènent) et si n est suffisamment grand on va pouvoir utiliser la distribution normale pour traiter ces quantités. Ainsi, la moyenne de variables aléatoires indépendantes, ayant la même distribution, a une probabilité .95 de tomber dans l’intervalle μ±1.96 σ

n , quelle que soit la distribution des Xi.

Une application

Soit p la proportion de sujets d’une population qui possèdent un certain caractère. Un échantillon de taille n est extrait de cette population, sur lequel n0 possèdent le caractère, conduisant à un pourcentage observé p0. n0 est une variable aléatoire binomiale, p0 est la moyenne de n variables de Bernoulli. Le théorème central limite dit que si n est grand, la variable p₀ − p

pq n

est N(0,1) c’est-à-dire que, par exemple, p0 a une probabilité 95% de tomber

dans l’intervallep±2 pq

n . Cette approximation de la loi binomiale par la loi normale simplifie beaucoup les calculs numériques. On voit bien que ce n’est qu’une approximation : p0 ne peut prendre qu’une suite discontinue de valeurs 0, 1

n, 2

n,..., n−1

n , 1, alors qu’une variable normale est continue. Toutefois, le nombre de valeurs possibles de p0 augmente avec n et devient “presque“ continu.

Conditions d’utilisation

La vitesse de convergence de la distribution de M vers la distribution normale dépend bien évidemment de la distribution des Xi et de sa « distance » à la normalité. Si les Xi sont normaux, alors le théorème est vrai pour n=1. Il n’est pas possible de donner des règles universelles d’utilisation. Si les Xi sont des Bernoulli, distribution très éloignée de la distribution normale, et si on se contente d’une approximation modérée (mais suffisante dans la plupart des applications), on peut utiliser l’approximation normale si les produits np et nq sont tous deux égaux ou supérieurs à 5.

Pour des distributions continues, telles que celles rencontrées en médecine et en biologie, on admet qu’un effectif de n=30, suffit pour assurer la normalité de la distribution de la moyenne.

Les lois « naturelles »

Il est souvent dit que nombre de distributions naturelles (taille des sujets d’une population homogène, variables biologiques diverses) sont normales ou proches de la normalité. On explique ce fait par le théorème limite central (et ses extensions) : si on admet qu’un phénomène est la résultante d’un très grand nombre d’effets aléatoires indépendants agissant additivement, et dont aucun n’a un effet prépondérant, alors la résultante doit être à peu près normale.

De même, si l’on admet que les effets ne sont pas additifs, mais multiplicatifs, c’est le logarithme de l’effet mesuré X qui doit avoir une distribution à peu près normale. X a alors une distribution dite lognormale, qui se caractérise par sa dissymétrie. Cette distribution se rencontre également fréquemment en médecine et biologie.

Toutefois pour être tout à fait complet, on doit dire que la normalité ou la lognormalité ne doivent pas être considérées comme la règle générale ; on rencontre de nombreuses exceptions.

B- DISTRIBUTION DU χ² Définition

Soit X une variable aléatoire distribuée suivant une loi normale centrée réduite (μ=0, σ²=1). Son carré Y=X² est une variable aléatoire dont la loi s’appelle distribution du χ² à 1 degré de liberté (en abrégé d.d.l.).

Soit maintenant n variables normales centrées réduites indépendantes X1, X2,…, Xn. La variable aléatoire Z=X₁² +X₂²+...+X_n²suit une loi qui s’appelle distribution du χ² à n d.d.l.

Cette loi est tabulée. On lit par exemple dans la table que Pr{χ₃² ≥4.642}=0.20 ou que Pr{χ₁₂² ≥21.03}=0.05 , et on pourrait trouver que

Pr{4.878≤χ₄² ≤11.668}=0.30−0.02 =0.28.

Le lecteur pourra vérifier que les valeurs correspondant à d.d.l.=1 sont les carrés des valeurs lues dans la table normale (ε) pour les mêmes probabilités : ainsi pour α=0.05, 3.84=1.96² ; ceci correspond évidemment à la définition du χ² à 1 degré de liberté.

De nombreux logiciels, Excel en particulier, permettent le calcul de la fonction de répartition et de la fonction inverse de la distribution du χ².

Propriétés

1) On a le théorème d’additivité suivant, évident à partir de la définition : si Z1 et Z2

suivent indépendamment des lois du χ² à n1 et n2 d.d.l., leur somme Z=Z1+Z2 suit une loi du χ² à n1+n2 d.d.l.

2) Quelle que soit la variable aléatoire X, on a par définition même de la variance E(X²)=var(X)+{E(X)}² ; si X est normale centrée réduite, E(X)=0, var(X)=1, donc E(X²)=1.

Comme par définition, X² suit une loi de χ² à 1 d.d.l., on en déduit que l’espérance d’un χ² à 1 d.d.l. est 1. Il en résulte que l’espérance d’un χ² à n d.d.l. est n. On peut montrer que sa variance est 2n.

3) Un χ² à n d.d.l. étant la somme de n variables aléatoires indépendantes, si n est grand, il est, en vertu du théorème central limite de convergence vers la loi normale, voisin d’une variable normale de moyenne n et de variance 2n. On peut vérifier ce fait sur la table du χ² ; ainsi si n=30, E(χ²)=30 et var(χ²)=60 ; la valeur a telle que Pr{χ²>a}=0.05 s’obtient, si on fait l’approximation par la loi normale, par a=30+1.645 60 = 42.74, valeur voisine de la valeur exacte 43.77 donnée par la table. L’approximation est donc très bonne. Une autre, meilleure, est indiquée au bas de la table : 2χ_n² est distribuée normalement avec une moyenne 2n−1 . On pourra vérifier que la valeur fournie par cette approximation est 43.49 très près de 43.77.

Cependant ces approximations n’ont plus qu’un intérêt historique, les logiciels permettant l’obtention immédiate de résultats exacts.

4) Si X1, X2,…., Xn sont des N(μ ;σ²) indépendantes, la variable aléatoire V = X_i −μ

σ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ²

i

∑

^{est un χ2} à n d.d.l. ; c’est évident, puisque chacune des variables X_i −μ σ ^est normale centrée réduite.

5) Considérons maintenant deux variables X1 et X2 indépendantes, normales de moyenne μ et de variance σ² et définissons la variable aléatoire M, moyenne arithmétique de X1 et X2, M=X₁ +X₂

2 . Cherchons la loi de la variable aléatoire V = X₁−M σ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

+ X₂−M σ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

. Comme X₁−M = X₁ −X₂

2 et X₂ −M = X₂ −X₁

2 , on trouve que V = X₁ −X₂ σ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

. Mais X1-X2

est une normale de moyenne nulle et de variance 2 σ². Alors, ^X1−X2

σ 2 est une normale centrée réduite et V suit un χ² à 1 d.d.l. Ce résultat peut se généraliser : si X1, X2,…., Xn sont des N(μ ;σ²) indépendantes, et si M est la variable moyenne arithmétique M=X₁ +X₂ +....+X_n

n ,

la variable aléatoire V = X_i −M σ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

i

∑

²a une distribution du χ² à n-1 d.d.l. La démonstration n’est pas immédiate, car si les variables Xi-M sont bien normales de moyenne nulle, leur variance n’est pas 1 et elles ne sont pas indépendantes.

C- LA DISTRIBUTION t DE STUDENT Définition

Soit X une variable normale centrée réduite et Y une variable, indépendante de X, qui suit une distribution du χ² à n d.d.l.

La distribution de la variable aléatoire T = X Y n

est appelée distribution de t à n d.d.l.

La raison de l’introduction de cette variable aléatoire plutôt bizarre, apparaîtra plus loin.

Cette distribution est symétrique autour de 0 . Elle est tabulée : on lit par exemple dans la table que Pr{t₆ >1.943}=0.10, Pr{t₄ >2.776}=0.05…

On remarquera que quand n croit, la distribution se rapproche de la distribution normale standard (pour n infini, les valeurs sont celles de la table de la loi normale).

Bien entendu, les logiciels permettent les calculs sur la distribution de t.

Deux résultats

1) Si X1, X2, …, Xn sont n variables normales de moyenne μ et de variance σ² et indépendantes, les variables aléatoires M =

X_i

i

∑

n et

(

X_i −M

)

i

∑

²sont indépendantes. Nous admettrons ce résultat. M et S² =

X_i−M

( )

²

i

∑

n−1 = Vσ²

n−1 sont donc évidemment indépendants.

2) M est normale de moyenne μ et de variance σ²

n ; M−μ σ

n

est donc centrée réduite ;

d’autre part V=(n−1) S²

σ² suit une loi du χ² à n-1 d.d.l. et est indépendante de M. D’après la définition même de la distribution du t de Student, le rapport

M−μ σ n n−1

( ) S² n−1

( ) σ²

= M−μ S²

n

suit une

loi de t à n-1 degrés de liberté. Le sens concret de ce résultat apparaîtra un peu plus loin.

A SAVOIR Loi normale :

α

z_α

α

2 α

2

εα

Règle des 2 écarts-types : Si X est N(μ;σ²), X a une probabilité de 95 % d’être compris entreμ±2σ.

Théorème central limite : M = X_i

i

∑

n est N(μ;σ²

n ) pour n suffisamment grand, quelle que soit la distribution des X.

V =

∑ (

X_i −M

)

²

σ^{2 est un χ}

2 à n-1 degrés de liberté.

Si S² =

X_i−M

( )

²

i

∑

n−1 , M−μ S²

n

est un t de Student à n-1 degrés de liberté.

Annexe - chapitre 5