II. Définition et intervalle

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Chapitre1 : Notion de fonction

I. Intervalles

Activité :

exo introductif : résoudre 2x – 1 ≥ 3 et représenter les solutions sur une droite.

faire de même avec x - 1 > 3 ; 2x + 1< 7 ; et 0 ≤ 2x-3 ≤ 1.

a) Définition

a et b sont deux réels tels que a < b

L'intervalle fermé [a ; b] est l'ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b

L'intervalle ouvert ]a ; b[ est l'ensemble des réels x tels que a < x < b

Un intervalle peut être semi-ouvert ou semi-fermé : ]a ; b] ou [ a ; b[

b) intervalles illimités

Considérons l'ensemble des réels x tels que x > 1 Cet ensemble est illimité "à droite"

On le note [1 ; +∞[

remarque : se note ] - ∞ ; + ∞ [

c) Exemples x ∈ [1 ; 5[ ⇔

⇔ x < 10 x ∈ ]0 ; 1[ ⇔

⇔ ⇔ x ∈ 3⁺

⇔ x ≠ 0 ⇔

d) Ou / Et

Un exemple d’étude.

Un campeur dispose d'une bâche carrée de 3 m de côté qu'il utilise comme toile de tente. On pose x = AH et on considère que le triangle ABC est isocèle.

Le but du problème est de déterminer quelle hauteur x de piquet choisir pour que le volume de la tente soit maximum.

•À quel intervalle x appartient-il ?

•Déterminer AB puis BH, en déduire l'aire de ABC en fonction de x

•Déterminer le volume de la tente en fonction de x. On notera ce volume f (x)

•BA + AC = 3 et BA = AC donc BA = 3

2 0  AH  AB donc x ∈ [0 ; 3/2]

•Or d'après Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H, on a : AB² = BH² + AH² donc BH² = AB² − AH² = 9/4 − x² donc BH = (BH est une longueur positive donc BH ≠ − )

Comme (AH) ⊥ (BC), on a donc : Aire(ABC) = = AH × BH = x

•Pour obtenir le volume de la tente, multiplions l'aire de ABC par sa longueur : [ ]

a b

] [ a b

"plus l'infini"

ex 28, 29, 30 .1 et .2 ; 31 sauf 2.c 34 page 48

B H C A

f (x) = 3 x



⁹⁴^{– x}²

(2)

II. Définition et intervalle

a) Définition

Définir une fonction sur D, c’est associer à chaque réel x de D, un réel et un seul, appelé l’image de x.

D est appelé l’ensemble (ou domaine) de définition de la fonction, on le nomme en général D f.

Notations et compléments :

• Une fonction est généralement désignée par l’une des lettres f, g, h, …

• f(x) se lit : « f de x ».

• Au lieu d’écrire « f est la fonction qui à x associe f(x) », on peut écrire « f : x f(x) ».

b) Exemples : Retour à l’exemple :

•Pour une hauteur du piquet donnée, il n’y a qu’un seul volume.

•Dans le langage mathématique : f est la fonction définie par f(x) = 3 x



⁹⁴^{– x}²

on peut aussi écrire f : x  3 x



⁹⁴^{– x}²

D f = [ 0 ; 1,5 ].

Lorsque l'intervalle d'étude n'est pas précisé :

• on convient de prendre ℝ sauf les valeurs de x pour lesquelles le dénominateur s'annule

• on prend toutes les valeur de x pour lesquelles le radicande est positif Ex : Soit f définie par f(x) = _x1¹ et soit g la fonction définie par g ( x ) =



x3 La fonction f est définie pour tout réel x sauf si x+1 = 0 soit x = -1 donc Df = 3 –{-1}

La fonction g est définie pour les réel x tels que x+3 ≥ 0 soit x ≥ -3 donc Dg = [-3 ; + ∞ [

Lorsque l’on représente une fonction, on le fait sur son ensemble de définition, dans le cadre du repère.

III. Images et antécédents

a) Définitions

• Image : f (x) n'est pas une fonction mais un nombre ! C'est l'image du nombre x par la fonction f.

Chaque x de D f a une image et une seule par f.

• Antécédents : Les antécédents du nombre k sont les nombres qui ont k pour image.

Chaque réel a zéro, un ou plusieurs antécédents par f b) Retour à l’exemple :

•l’image de 1 par la fonction est f(1) = 3x1 x = 3 ≈ 3,4

•image de 0 par la fonction f :

•un antécédent de 0 est :

•un antécédent de 3 est : Tableau de valeurs :

x 0 1 1.5 antécédents

f (x) 0 3.35 0 images

II. Courbe représentative d’une fonction

a) définition

f est une fonction définie sur D f.

Dans un repère, la courbe représentative Cf de la fonction f, est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) telles que : x∈Df . On dit que la courbe Cf a pour équation y = f(x) dans ce repère.

Exercices 2, 5, 3 page 127, … Ex

Ex 10, 11, 13 page 128

Ex feuille 2, 3

images

(3)

b) Exemple

Ex : Ici, on voit graphiquement que 1,5 a deux antécédents. Appelons les a et b : a ≈ 0,34 b ≈ 1,46

Remarque : Ce graphique permet de conclure que le volume de la tente sera maximum pour une valeur de x proche de 1

Application:

Le point A( 0,5 ; 2 appartient-il à Cf ?

Méthode :calculer f( 0,5). Si f(0,5) = 2, A ∈ Cf sinon f ( 0,5) ≠ 2 , A ∉ Cf . f ( 0,5) = ... = 3



2 /2 ≠ 2 donc A ∉ Cf .

! Ne jamais oublier :

•repère avec axes gradués, nommés, orientés

•nom ou équation de la courbe : Cf ou y = f (x) ou y = 3 x

Ex 20 , 21page 128 + 17, 22,..

antécédent

i O 1

j

x y

1,5

Cf