II. Définition de probabilités

Probabilités

Introduction

¦ Pour modéliser une expérience aléatoire en probabilités, on doit définir trois objets ma- thématiques :

• Un ensembleΩappeléuniversqui représente tous les résultats possibles (on dit aussi lesissuesou lesréalisations) de l’expérience aléatoire ;

• Un ensembleT qui contient tous les évènements que l’on va considérer. Un évène- ment est une propriété qui peut être réalisée ou non une fois l’expérience aléatoire terminée. De manière équivalente, un évènement est une partie deΩ. Par conséquent, les éléments deT sont des parties deΩ;

• Une fonctionPqui associe à chaque évènementAsa probabilitéP(A).

SiA est un évènement etω∈Ωest le résultat de l’expérience, on dit queA est réalisé si ω∈Aet dans le cas contraire, on dit queAn’est pas réalisé. Notons qu’en général dans les exercices on ne précise pasΩ(et encore moinsT).

Exemple. Lancer d’une pièce qui amènepileavec la probabilitép: Ω={P,F}

T ={;, {P}, {F}, {P,F}}=P(Ω)

P(;)=0,P(Ω)=1,P({P})=p, P({F})=1−p

Si le résultat de l’expérience estP et si on considère l’évènementA={F}, alorsAn’est pas

réalisé.

Exemple. Lancer d’un dé équilibré à 6 faces.

Ω= ‚1, 6ƒ

T =P(Ω)

∀A∈T, P(A)=cardA cardΩ

Si le résultat de l’expérience est 5 et l’évènementAest « obtenir un résultat impair », alors

A={1, 3, 5} etAest réalisé.

1

Exemple. On lance indéfiniment une pièce équilibrée.

Ω=©

(u_n)nÊ1| ∀n∈N^{∗, u}n=P ouu_n=Fª

={P,F}^N∗ T =P(Ω)

Pouri∈N^∗, on a deux évènements particulièrement intéressants : P_i={(u_n)_nÊ1∈Ω|u_i=P}

F_i={(u_n)_nÊ1∈Ω|u_i=F}

Autrement dit,P_i est l’évènement « le résultat dui-ème lancer estpile» etF_iest l’évènement

« le résultat dui-ème lancer estface. » La pièce étant équilibrée, on considèrera queP(P_i)= P(Fi)=1/2. On peut alors considérer des évènements plus complexes, par exemple :

A=P₁∩F₂∩F₃

P(A)=P(P₁∩F₂∩F₃)= 1

2³

¦ Pour des raisons techniques, il n’est pas toujours possible de considérer que tout sous- ensemble deΩest un évènement. L’ensembleT n’est donc pas toujours égal àP(Ω) (en- semble de toutes les parties deΩ). Cependant,T doit vérifier certaines conditions et être en particulier stable par réunion, intersection et passage au complémentaire. Un ensembleT vérifiant ces conditions est appelé une tribu (voir définition ci-après).

I. Espaces probabilisés

Rappel 1 – Lois de de Morgan

Si A et B sont deux parties deΩ, alors A∩B=A∪B et A∪B =A∩B . Rappel 2 – Unions et intersections infinies

Si(A_n)nÊ0est un suite de parties deΩ, alors on note :

+∞[

n=0

A_n={x∈Ω| ∃n∈N^{, x}∈A_n}

+∞\

n=0

An={x∈Ω| ∀n∈N^{, x∈An}}

Intuitivement,

+∞[

n=0

An=A0∪A1∪A2∪ · · ·et

+∞\

n=0

An=A0∩A1∩A2∩ · · ·.

2

I. Espaces probabilisés

Définition 3 – Tribu sur un ensemble

Soit Ωun ensemble. On dit queT ⊂P(Ω)est une tribu surΩ lorsque les conditions suivantes sont satisfaites :

(1) Ω∈T ;

(2) ∀A∈T, A=Ω\A∈T ;

(3) Pour toute suite(A_n)_nÊ0d’éléments deT,

+∞[

n=0

A_i∈T.

L’ensembleΩest appelé univers, les éléments deT sont appelés évènements.

Proposition 4 – Avec les mêmes notations, on a également

(1) ; ∈T ;

(2) Pour tout suite(A_n)_nÊ0d’éléments deT,

+∞\

n=0

A_i∈T ;

(3) Quels que soient A et B éléments deT, A∪B , A∩B et A\B sont des éléments deT. Remarque. On dit que;est l’évènement impossible et queΩest l’évènement certain.

Définition 5 – Probabilité

SoientΩun ensemble etT une tribu surΩ. On appelle probabilité sur(Ω,T)(ou simple- ment surΩ) toute applicationP:T →[0, 1]telle que :

(1) P(Ω)=1;

(2) Si(A_n)n∈N∈T^N et, quels que soit i,j ∈N^{avec i} 6= j , A_i∩A_j = ;, alors la série P

nÊ0P(A_n)converge et :

P µ_+∞

[

n=0

A_n

¶

=

+∞X

n=0

P(A_n)

On appelle espace probabilisé tout triplet(Ω,T,P)oùΩest un ensemble non vide,T est une tribu surΩetPest une probabilité sur(Ω,T).

Proposition 6 – Avec les mêmes notations, on a également (1) P(;)=0;

(2) Quels que soient A et B éléments deT : P(A)=1−P(A)

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

P(A∪B)=P(A)+P(B) si A∩B = ; (évènements incompatibles) (3) Quels que soient A et B éléments deT avec B ⊂A :

P(A\B)=P(A)−P(B) P(B)ÉP(A)

3

¦ Dans la suite, (Ω,T,P) est un espace probabilisé et le terme évènement ne désigne plus que les éléments deT.

Théorème 7 – Limites monotones

Soit(A_n)nÊ0une suite d’évènements. On a les résultats suivants : (1) Continuité croissante (ou limite croissante).

Si pour tout n∈N^{, A}n⊂A_n+1(la suite(A_n)est croissante), alors : P

µ_+∞

[

n=0

An

¶

= lim

n→+∞P(An) (2) Continuité décroissante (ou limite décroissante).

Si pour tout n∈N^{, A}n+1⊂A_n(la suite(A_n)est décroissante), alors : P

µ_+∞

\

n=0

An

¶

= lim

n→+∞P(An) (3) Sous-additivité. Dans le cas général :

P µ_+∞

[

n=0

An

¶ É

+∞X

n=0

P(An)

II. Définition de probabilités

Définition 8 – Ensemble dénombrable

Un ensemble E est dit dénombrable lorsqu’il existe une bijectionϕ:N→E . Remarques.

• SiEest un ensemble fini, on peut écrireEsous la forme : E={x₁, . . . ,xn}

avecn=cardEetx₁, . . . ,xnnécessairement distincts ; c’est l’écriture en extension de E.

• SiEest dénombrable, alorsEest infini et on peut l’écrire sous la forme : E={x_n|n∈N^}={x₀,x₁,x₂, . . .}

On imposera dans ce type d’écriture que les x_i soient deux à deux distincts ; c’est l’écriture en extension deE.

• Si un ensembleEpeut s’écrire :

E={x_n|n∈N^}

alorsEest fini ou dénombrable (on dit parfois queE est au plus dénombrable).

4

III. Conditionnement et indépendance

• Voir plus loin pour plus de résultats sur les ensembles dénombrables.

Théorème 9 – Définition d’une probabilité pour _Ω fini ou dénombrable Pour un univers finiΩ={ω1, . . . ,ωn}, on a les résultats suivants :

(1) SiPest une probabilité sur(Ω,P(Ω))et si on pose, pour i∈ ‚1,nƒ, pi=P({ωi}), alors les réels p₁, . . . ,p_nsont positifs et de plus :

p₁+ · · · +p_n=1

(2) Réciproquement, si p₁, . . . ,pnsont des réels positifs et p₁+ · · · +pn=1, alors il existe une unique probabilitéPsur(Ω,P(Ω))telle que :∀i∈ ‚1,nƒ,P({x_i})=p_i.

Pour un univers infini et dénombrableΩ={ωi|i∈N}, on a les résultats suivants : (1) SiPest une probabilité sur(Ω,P(Ω))et si on pose, pour i∈N^{, pi =P({ωi}), alors}

les réels p_i sont positifs, la sérieP

p_i converge et :

+∞X

i=0

pi=1 (2) Réciproquement, siP

iÊ0p_i est une série à termes positifs, convergente et dont la somme est égale à1, alors il existe une unique probabilitéPsur(Ω,P(Ω))telle que :

∀i∈N^,P({xi})=p_i.

III. Conditionnement et indépendance

Définition 10 – Probabilité conditionnelle

Soient A et B deux évènements avecP(B)>0. On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B le réel notéPB(A)ouP(A|B)défini par :

PB(A)=P(B∩A) P(B)

L’applicationPB est une probabilité sur(Ω,T)appelée probabilité conditionnelle relati- vement à B .

Remarque. On utilise très souvent la relationP(B∩A)=P_B(A)P(B). On convient même qu’elle reste vraie siP(B)=0 puisque dans ce casP(B∩A)=0.

Remarque. On rencontre aussi les notationsP^B(A),P(A|B) etP(A/B) pourPB(A). La no- tationP_B(A) traduit le fait queP_Best une nouvelle loi de probabilités. La notationP(A|B) correspond à la formulation « probabilité de A sachantB. » Attention : A|B n’a pas de

signification propre (ce n’est pas un évènement).

5

Théorème 11 – Formule des probabilités composées

Si A₁, . . . ,A_ndont des évènements etP(A₁),P(A₁∩A₂), . . . ,P(A₁∩· · ·∩A_n−1)sont non nuls, alors :

P(A₁∩ · · · ∩A_n)=P(A₁)P_A1(A₂)P_A1∩A2(A₃)· · ·PA1∩A2∩···∩An−1(A_n)

Remarque. Sachant queP(A1)ÊP(A1∩A2)Ê · · · ÊP(A1∩ · · · ∩An−1), il suffit en fait que

cette dernière probabilité soit non nulle.

Définition 12 – Système complet d’évènements

• On dit qu’une famille finie(A₁, . . . ,A_n)est un système complet (fini) d’évènements lorsque les A_i sont deux à deux incompatibles et

A₁∪ · · · ∪A_n=Ω

• On dit qu’une suite(An)nÊ0d’évènements est un système complet (dénombrable) d’évènements lorsque les A_isont deux à deux incompatibles et

+∞[

n=0

A_i=Ω

Théorème 13 – Formule des probabilités totales

• Si B est un évènement et(A₁, . . . ,A_n)est un système complet (fini) d’évènements alors :

P(B)=

n

X

k=1

P(B∩A_k)=

n

X

k=1

P(A_k)PA_k(B)

• Si B est un évènement et(An)nÊ0est un système complet (dénombrable) d’évène- ments alors :

P(B)=

+∞X

n=0

P(B∩A_n)=

+∞X

n=0

P(A_n)P_An(B) (Dans les deux cas, on convient queP(A_k)P_Ak(B)=0lorsqueP(A_k)=0.)

Théorème 14 – Formules de Bayes

Si A et B sont deux évènements tels queP(A)>0etP(B)>0, alors : PB(A)=PA(B)P(A)

P(B)

Remarque. En pratique, le dénominateurP(B) est souvent obtenu à l’aide de probabilités conditionnelles par la formule des probabilités totales, par exemple :

P(B)=P(A)P_A(B)+P(A)P_A(B) 6

ou si on dispose d’un système complet d’évènements (A₁, . . . ,A_n) : P(B)=

Xn i=1

P(Ai)PA_i(B)

Définition 15 – Indépendance

Deux évènements A et B sont dits indépendants (en probabilité, relativement àP) lorsque P(A∩B)=P(A)P(B).

"Remarque. La notion d’indépendance de deux évènements dépend de la probabilité

choisie (contrairement à la propriété d’être incompatibles).

Proposition 16 – Caractérisation de l’indépendance

Si A et B sont deux évènements etP(A)6=0, on a équivalence entre : (i) A et B sont indépendants ;

(ii) P_A(B)=P(B).

Définition 17 – Indépendance pour n évènements Soient A₁, . . . ,A_ndes évènements. On dit que A₁, . . . ,A_nsont :

• Indépendants deux à deux lorsque, pour i,j ∈ ‚1,nƒavec i6=j , on aP(Ai∩Aj)= P(A_i)P(A_j);

• Mutuellement indépendants lorsque, pour I ⊂ ‚1,nƒ, on a : P

Ã

\

i∈I

Ai

!

=Y

i∈I

P(Ai)

"Remarque. Des évènement mutuellement indépendants sont indépendants deux à

deux. La réciproque est fausse.

IV. Ensembles dénombrables

Proposition 18 – Ensembles dénombrables On a les résultats suivants :

(1) Les ensemblesN^etZsont dénombrables ;

(2) Si E₁et E₂sont des ensembles dénombrables, alors E₁×E₂est dénombrable.

Les résultats suivants sont intéressants dans ce cas, mais n’apparaissent pas explicitement dans le programme :

(3) (L’ensembleQest dénombrable) ;

(4) (Si E₁et E₂sont des ensembles dénombrables, alors E₁∪E₂est dénombrable).

Les résultats à connaitre

• Tribu sur un ensemble.

• Opérations sur les évènements.

• Probabilité.

• Opérations avec les probabilités ; cas des limites de suites monotones d’évènements.

• Probabilité conditionnelle.

• Formule des probabilités composées.

• Système complet d’évènements.

• Formule des probabilités totales.

• Formules de Bayes (savoir redémontrer la formule).

• Indépendance de deux évènements.

• Caractérisation avec la probabilité conditionnelle.

• Indépendance 2 à 2 et indépendance mutuelle pournévènements (lien entre ces deux notions).

Quelques objectifs du chapitre

• Savoir faire le lien entre le vocabulaire probabiliste et le vocabulaire ensembliste (en particulier, savoir décrire des évènements au moyen des opérations ensemblistes et réciproquement).

• Savoir proposer une modélisation pour un problème probabiliste.

• Savoir manipuler les probabilités conditionnelles.

En pratique

Ï

Comment utiliser les opérations ensemblistes ?

Avant tout, il est intéressant de mettre en évidence des évènements simples ou élémentaires dont on peut déterminer la probabilité et qui permettront d’écrire les autres évènements en utilisant les opérations :

• ∩correspond à la conjonction (et) ;

• ∪correspond à la disjonction (ou) ;

• Le complémentaire correspond à la négation.

On a également des intersections et des réunions infinies :

• \

nÊp

Ansignifie que pour toutnÊp, l’évènementAnest vrai ;

• [

nÊp

A_nsignifie qu’il existenÊptel que l’évènementA_nest vrai.

Ï

Quelles opérations peut-on effectuer avec les probabilités ?

Pour deux évènementsAetB :

• Les résultats suivants sont toujours vrais : P(A)=1−P(A)

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

et aussiP(A\B)=P(A)−P(A∩B) ;

• SiAetB sont incompatibles (A∩B= ;), alorsP(A∪B)=P(A)+P(B) ;

• SiAetB sont indépendants, alorsP(A∩B)=P(A)P(B) ;

• SiB⊂A, alorsP(A\B)=P(A)−P(B).

Pour l’intersection d’une famille finie (A₁, . . . ,A_n) d’évènements :

• On a toujours la formule des probablités composées :

P(A₁∩ · · · ∩A_n)=P(A₁)P_A1(A₂)P_A1∩A2(A₃)· · ·P_{A1∩A2∩···∩An−1}(A_n) (siP(A₁),P(A₁∩A₂), . . . ,P(A₁∩ · · · ∩An−1) sont non nuls) ;

• SiA₁, . . . ,A_nsont mutuellements indépendants, alorsP(A₁∩ · · · ∩A_n)=P(A₁)· · ·P(A_n).

Pour une suite (A_n)_nÊ0d’évènements :

• Si lesA_nsont deux à deux disjoints, alorsP µ_+∞

[

n=0

A_n

¶

=

+∞X

n=0

P(A_n) ;

• Si la suite (An) est croissante (pour toutn,An⊂An+1), alorsP µ_+∞

[

n=0

An

¶

= lim

n→+∞P(An) ;

• Si la suite (A_n) est décroissante (pour toutn,A_n+1⊂A_n), alorsP µ_+∞

\

n=0

A_n

¶

= lim

n→+∞P(A_n).

Ï

Comment utiliser les probabilités conditionnelles ?

• Parfois l’énoncé permet d’obtenir plus naturellementP_A(B) queP(B) (on peut alors obtenirP(B) avecP(B)=P(B|A)P(A)).

• Si on connait lesP(B|A_i) etA₁, . . . ,A_nest un système complet d’évènements, alors on peut retrouverP(B) par la formule des probabilités totales.

• On peut utiliser la formule des probabilités composées pour obtenir la probabilité d’une intersection (cf. opérations sur les probabilités).

• La formule de Bayes permet d’inverser le conditionnement (i.e.obtenir des probabili- tés de la formeP(Ai|Bj) à partir de probabilités du typeP(Bj|Ai)).

Ï

Comment utiliser l’indépendance ?

On l’utilise souvent pour calculer la probabilité d’une intersection (il faut avoir l’indépen- dance mutuelle des évènements, c’est souvent implicite dans l’énoncé des exercices).

Illustrations du cours

Exercice 1Vocabulaire sur les évènements. On lance indéfiniment une pièce. Pourn∈N^, on noteP_nl’évènement « len-ième tirage a amené pile. » Exprimer à l’aide des opérations ensemblistes les évènements :

(a) A: « les deux premiers lancers ont donné le même résultat, mais pas le troisième » ; (b) B : « on n’a jamais obtenu pile durant les cinq premiers tirages » ;

(c) C: « on n’a jamais obtenu face » ;

(d) D: « à partir du tirage numéro 10, on n’a plus obtenu que pile ».

Quelle est la signification des évènements : E=

+∞[

n=0

Pn; F=

+∞\

n=0

Pn; G=

+∞[

p=0

Ã+∞

\

n=p

Pn

!

; H=

+∞\

p=0

Ã+∞

[

n=p

Pn

!

Exercice 2Définition d’une probabilité. Montrer que l’on peut définir une probabilité sur (N^,P(N)) telle que :

∀n∈N^{, P({n})}=e⁻¹ n!

Déterminer alors la probabilité de l’évènement {2p|p∈N^}.

Exercice 3Probabilités et opérations (1). Soitn un entier strictement supérieur à 3 ;n personnes jouent à pile ou face avec une pièce équilibrée et de façon indépendante. L’ex- périence est modélisée par un espace probabilisé (Ω,A,P) que l’on précisera. Quelle est la probabilité qu’une personne exactement obtienne un résultat différent desn−1 autres personnes (évènement notéA) ?

Exercice 4Formule des probabilités totales (1), formule de Bayes. Une urneU₁(respecti- vementU₂) contientn₁(respectivementn₂) boules noires etb₁(respectivementb₂) boules blanches.

(a) On choisit au hasard l’une des deux urnes puis l’on tire une boule dans cette urne.

Quelle est la probabilité d’obtenir une boule noire ?

(b) On réalise la même expérience et on a obtenu une boule noire. Quelle est la probabilité que le tirage ait été effectué dans l’urne 1 ?

Exercice 5Formule des probabilités totales (2). On consdère une pièce qui amènepileavec la probabilitép∈]0, 1[. On lance cette pièce. Sipileapparait pour la première fois aun-ième lancer, on tire aléatoirement un nombrexentier compris entre 1 etn. On considère :

• pourn∈N^∗l’évènementA_n: «pileapparait pour la première fois aun-ième lancer ; »

• pourk∈N^∗l’évènementX_k: « le nombre aléatoirextiré est égal àk; »

• l’évènementB : «pilen’apparait jamais. »

Pourn∈N^∗, déterminerP(A_n) puis démontrer queP(B)=0. Pourk∈N^∗, déterminer une expression deP(X_k) puis comparerP(X_k) etP(X_k+1).

Exercice 6Formule des probabilités composées, formule de Bayes. Une urne contientn boules noires etbboules blanches. On réalisektirages en remettant dans l’urne la boule tirée si elle est noire et en ne la remettant pas si elle est blanche.

(a) Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit blanche et toutes les autres noires ?

(b) Quelle est la probabilité que la deuxième boule tirée soit blanche et toutes les autres noires ?

(c) Quelle est la probabilité d’obtenir exactement une boule blanche durant lesktirages ? (d) On suppose que la deuxième boule tirée est noire. Quelle est la probabilité que la

première ait été blanche ?

Exercice 7Indépendance. On considère 2 urnes : l’urne 1 contient deux boules blanches et une boule noire, l’urne 2 contient une boule blanche et deux noires. On choisit une urne au hasard et on tire deux boules, successivement et avec remise. On noteB₁(respectivement B₂) la probabilité d’obtenir une boule blanche au premier (respectivement second) tirage.

Déterminer les probabilités des évènementsB₁,B₂etB₁∩B₂. Commenter.

Exercice 8Probabilités et opérations (2). On considère une suite (A_n)_nÊ0d’évènements.

On suppose que pour toutn∈N, les évènementsA₀,A₁, . . . ,A_nsont mutuellement indépen- dants. Démontrer que :

P µ

\

nÊ0

A_n

¶

= lim

n→+∞P(A₀)P(A₁)· · ·P(A_n)

Vrai/Faux

On considère des évènementsA,B,Cet une suite d’évènements (A_n)_nÊ1. (1) SiC est l’évènement «Aest réalisé etB est réalisé », alorsC=A∪B. (2) SiC est l’évènement «Aest réalisé etB n’est pas réalisé », alorsC=A∩B. (3) SiC est l’évènement « niAniB n’est réalisé », alorsC=A∪B.

(4) SiC est l’évènement «Aest réalisé ouBest réalisé », alorsC=A∪B. (5) SiC est l’évènement « l’un desA_n,nÊ1, est réalisé », alorsC= [

nÊ1

A_n. (6) Si la réalisation de Aentraine celle deB, alorsB⊂A.

(7) Si pour toutnÊ1 la réalisation deA_nentraine celle deA_n+1, alors la suite (A_n)_nÊ1est croissante.

(8) n

A,A,Ω,; o

est une tribu.

(9) Le complémentaire de A∪B estB∩A.

(10) Le complémentaire deA∩B estA∪B. (11) Le complémentaire de [

nÊ1

Anest [

nÊ1

An.

(12) Les évènementsA∩(B∪C) et (A∩B)∪(A∩C) sont identiques.

(13) Les évènementsA∪(B∩C) et (A∪B)∩(A∪C) sont identiques.

On suppose que l’on dispose d’une probabilitéP.

(14) SiAetB sont indépendants (pourP), alorsP(A∪B)=P(A)+P(B).

(15) SiAetB sont incompatibles, alorsP(A∪B)=1−P(A)−P(B).

(16) SiA etB sont incompatibles etP(A)+P(B)=1, alors (A,B) est un système complet d’événements.

(17) SiP(A)>0,P(B)>0 etAetBsont incompatibles, alorsAetBne sont pas indépendants (pourP).

(18) SiP(A∪B)=P(A)+P(B), alorsAetBsont incompatibles.

(19) Si, pour toutnÊ1,A_netA_n+1sont incompatibles, alorsP µ

[

nÊ1

A_n

¶

=

+∞X

n=1

P(A_n).

(20) La sérieP

nÊ1P(An) est convergente.

(21) La suite (P(A_n))_nÊ1converge vers 0.

(22) La suite (P(A_n))_nÊ1est bornée.

(23) La suite (P(An))nÊ1est croissante.

(24) Si la suite (A_n)_nÊ1est une suite décroissante d’évènements, alorsP(A_n)−−−−−→

n→+∞ 0.

On considère un réelaet une loi de probabilitéPsur (N^,P(N)) telle que :

∀n∈N^{, P({n})}= a 2ⁿ

On noteAl’ensemble des entiers naturels pairs etBl’ensemble des entiers naturels impairs.

(25) On aa=1.

(26) On a l’égalitéP(A)=P(B).

(27) On a l’égalitéP(A)+P(B)=1.

(28) On a l’inégalitéP({0})ÉP(A).

(29) On a l’inégalitéP({0})ÉP(B).

(30) On a l’inégalitéP(A)>P(B).

1F2V3F 4F5V6F 7V8V9V10V11

F12V13V1 4F15V1

6F17V18 F19F 20F21 F22V23 F24F2

5F26 F27V28V2 9F30V

12