Sup PCSI2 — Contrˆole 2003/01
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie. Qu’on se le dise.
Exercice 1
◮Notons f : z∈ C7→z4−4iz3+ (3−12i)z2−(24 + 14i)z+ 12−36i. Nous nous int´eressons `a l’´equation f(z) = 0, que nous noterons (E).
Q1 Montrez que (E) poss`ede deux solutions imaginaires pures, que vous calculerez.
Q2 D´eterminez les autres solutions de (E).
Q3 Repr´esentez, dans le plan complexe, les images des solutions de (E).
Q4 Que pouvez-vous dire du polygone dont les sommets sont les images des solutions de (E) ?
Exercice 2 : quelques calculs en vrac
Q1 Calculez les racines carr´ees complexes deU = 112−66i.
Q2 Notons u = exp³7iπ 11
´, v = √
3 +i et w = exp³3iπ 8
´. Mettez sous forme trigonom´etrique le complexe V = u9v8
w17.
Q3 Mettez sous forme alg´ebrique le complexe W =(1−i√ 3)999 (−1 +i)2004.
Exercice 3
Q1 Question de cours. Soient u∈Cetn∈N; ´enoncez et d´emontrez la formule donnant une expression simple
de X
06k6n
uk.
Q2 Soit ϕ∈]0,2π[. R´esolvez l’´equation u+i u−i =eiϕ.
◮Soitn>2. Nous noterons (En) l’´equation X
06k<n
³z+i z−i
´k
= 0, dans laquelle l’inconnue estz, bien entendu !
Q3 Montrez que le complexe z est solution de (En) si et seulement si z+i
z−i est une racinen-i`eme de 1 autre que 1.
Q4 Montrez alors que (En) poss`ede exactementn−1 solutions, que vous noterez z1, . . . , zn−1; vous donnerez une expressiontr`es simpledezk.
Q5 Soit α /∈πZ. Quelle relation simple existe-t-il entre cotan(α) et cotan(π−α) ? Q6 Calculez la somme des solutions de (En).
Exercice 4
Q1 ´Enoncez et d´emontrez les formules qui expriment sin(a+b), sin(a−b), cos(a+b) et cos(a−b) en fonction de sin(a), sin(b), cos(a) et cos(b).
Q2 Utilisez ces formules pour d´eterminer sin π
12 et cos π 12. Q3 Exprimez cos(2a), cos(3a) et cos(5a) en fonction de cos(a).
Q4 En r´esolvant de deux fa¸cons diff´erentes l’´equation cos(5a) = 0, d´eterminez la valeur de cos π 10. Q5 En d´eduire les valeurs de sin π
10, cosπ
5 et sinπ 5.
[Contr^ole 2003/01] Compos´e le 11 juin 2008
