Nom :
Classe : TMATHS2 Te st n°2
Calculs de limites Le : 06/10/2020 Note : … / 15
Avis du professeur
Capacités évaluées : Non acquis Acquis
Calculer des limites Justifier une inégalité
Déterminer la limite d'une suite par comparaison avec d'autres.
Exercice 1 : Déterminer la limite des suites définies ci-dessous : … / 8
= =
=
= vn
un 3n2¡2n+ 1
wn
n3¡2n2+ 4n+ 1 4¡2n xn
(3n2+ 4n¡5)( 1 pn ¡6)
2 + 1 n 3 +n
Exercice 2 : … / 3 Soit ( ) la suite définie sur N par :
=
1. Justifier que, pour tout entier , ≥ . 2. En déduire la limite de la suite ( ).
Exercice 3 : … / 3 Soit ( ) la suite définie sur N* par
=
Déterminer la limite de la suite ( ).
un un
un 3n¡4sin(n)
n un 3n¡4
un
un -5 + cos(n) n2
un
Correction du Test n°2 Exercice 1 : Déterminer la limite des suites définies ci-dessous :
=
Remarque : Un calcul direct mènerait à la forme indéterminée ∞ – ∞
= =
On sait que = =
On en déduit, par somme : =
De plus = + ∞
Donc, par produit : = + ∞
=
= + ∞ et = + ∞
On en déduit, par somme : = + ∞
De plus, =
On en déduit =
Finalement, par produit : = - ∞
=
On sait que =
et que = + ∞
On en déduit, par quotient : =
=
Remarque : Un calcul direct mènerait à la forme indéterminée
= =
On sait que = = =
On en déduit, par somme : =
De plus = + ∞
Donc, par produit : = + ∞
D'autre part =
Finalement, par quotient : = - ∞
Exercice 2 : Soit ( ) la suite définie sur N par :
=
1. Justifier que, pour tout entier , ≥ .
∀ ∈ N, ≤ ≤
< donc ≥ ≥
On en déduit successivement :
≥ ≥
≥ ≥
Ainsi :
≥
2. En déduire la limite de la suite ( ).
∀ ∈ N, ≥
Or = + ∞
Donc, d'après le théorème de comparaison, la suite ( ) diverge vers + ∞.
Exercice 3 : Soit ( ) la suite définie sur N* par
=
Déterminer la limite de la suite ( ).
∀ ∈ N*, ≤ ≤ et >
On en déduit successivement :
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
Or =
On en déduit = =
Finalement, d'après le théorème des gendarmes, la suite ( ) converge vers .
un 3n2¡2n+ 1 vn (3n2+ 4n¡5)( 1 pn ¡6)
wn
xn n3¡2n2+ 4n+ 1 4¡2n
un
un 3n¡4sin(n)
n un 3n¡4
un
un
un -5 + cos(n) n2
un
un n2(3¡ 2n n2 + 1
n2) n2(3¡ 2 n + 1
n2) 1
n2 0 2
n
3¡ 2 n+ 1
n2 3 n2
un
3n2 4n¡5
3n2+ 4n¡5 p1
n 0 p1
n ¡6 -6 vn
3 +n
wn
1 1 xn
n3(1¡2n2 n3 + 4n
n3 + 1 n3) n(4
n¡2)
n(1¡ 2 n + 4
n2 + 1 n3) 4
n¡2 2
n 4 0
n2
1 n3 1¡ 2
n + 4 n2 + 1
n3 1 n
n(1¡ 2 n+ 4
n2 + 1 n3)
n!lim+1 n!lim+1
n!lim+1 n!lim+1
n!lim+1
n!lim+1 n!lim+1
n!lim+1
n!lim+1 n!lim+1
n!lim+1 n!lim+1
n!lim+1 lim
n!+1
n!lim+1 n!lim+1
n!lim+1 n!lim+1 n!lim+1
n!lim+1
4
n ¡2 -2
n!lim+1xn 2 + 1
n 3 +n
n!lim+12 + 1 n 2
0
n -1 sin(n) 1
-4 0 -1£(-4) -4sin(n) -4sin(n)
1£(-4)
4 -4
3n+ 4 3n¡4sin(n) 3n¡4 un 3n¡4
n un 3n¡4
n!lim+13n¡4 un
n -1 cos(n) 1 n2 0 cos(n)
n2 -1
n2
1 n2 -5 + cos(n)
n2
1 n2 ¡5 -1
n2 ¡5 -1
n2 ¡5 1 n2 ¡5 un
n!lim+1
1 n2 0
n!lim+1
-1
n2 ¡5 lim
n!+1
1
n2 ¡5 -5
un -5
