TD n°2 - Algorithmes Suites (et limites)
Objectif
Limites de suites définies par une relation de récurrence
Exercice 1. Avec une boucle Tant Que
On considère la suite (un) définie par :
(u0= −1
un+1=0,9×un+10 1. Calculer les 5 premiers termes de la suites.
u0= −1 ;u1= · · · ;u2= · · · ;u3= · · · ;u4= · · ·
2. En utilisant une boucle « Tant Que », écrire un programme permettant de calculer le terme d’indiceNde la suite (un).
def suite(N) assertN>=0 u= · · · n= · · ·
while· · · ·: n= · · · u= · · · returnu
Code Python
Fonction suite(N)assertN>=0 u← · · · n← · · ·
Tant que· · · Faire n← · · ·
u← · · · Fin Tant que envoyeru
Pseudo Code
3. Vérifier votre programme avec les calculs des premiers termes effectués lors de la question (1.).
4. En calculant des termes de rang élevé, conjecturer la limite de la suite (un).
u10= · · · ;u20= · · · ;u30= · · · ;u40= · · · ;u100= · · ·
Donc il semble que la suite (un) tende vers ....
5. On admet que si la suite (un) admet une limitex, alors cette limite vérifie l’équation : x=0,9×x+10
Résoudre cette équation et comparer le résultat avec votre conjecture.
x=0,9x+10 ⇐⇒ · · ·
A compléter sur cette feuille
6. Modifier le premier terme de cette suite et vérifier que la limite est bien inchangée.
TD n°2 - Algorithmes - Suites (et limites)
Exercice 2. Avec une boucle for i in
On considère la suite (vn) définie par :
v0=2 vn+1= vn−2
3vn−4 1. Calculer les 5 premiers termes de la suites.
v0= · · · ;v1= · · · ;v2= · · · ;v3= · · · ;v4= · · ·
2. En utilisant une boucle « pour i de ... à ... », écrire un programme permettant de calculer le terme d’indiceNde la suite (vn) de premier termev0. Le premier terme sera aussi en paramètre.
def suite2(N ,v0) assertN>=0 v=v0
for i in range( .... ) :
· · · returnv
Code Python
Fonction suite2(N ,v0)assertN>=0 v←v0
Pourivariant de ... à ... Faire
· · · Fin Pour envoyerv
Pseudo Code
3. Vérifier votre programme avec les calculs des premiers termes effectués lors de la question (1.).
4. En calculant des termes de rang élevé, conjecturer la limite de la suite (vn).
v30= · · · ;v50= · · · ;v100= · · · ;v200= · · · ;v300= · · ·
Donc il semble que la suite (vn) tende versx1= · · ·.
5. On admet que si la suite (vn) admet une limitex, alors cette limite vérifie l’équation :
x= x−2 3x−4
Résoudre cette équation et vérifier qu’elle admet deux solutionsx1etx2.
Résolution équation
C= A B ⇐⇒
(B6=0 C×B=A
Aide
x= x−2
3x−4 ⇐⇒ · · ·
A compléter sur cette feuille
6. Que se passe-t-il si le premier terme de la suite est égale à 1?
7. Que se passe-t-il si le premier terme de la suite est égale à2 3?
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TD n°2 - Algorithmes - Suites (et limites)
Exercice 3. D’après Bac
Les suites (un) et (vn) sont définies pour tout entiernpar :
(un) :
( u1 =150
un+1 =0.8×un+ 45
¯
¯
¯
¯
¯ (vn) :
( v1
vn =un−225
1. Calculer les trois premiers termes des deux suites.
2. Écrire un programme qui renvoie le terme des suites de rangn, avecn≥0.
1 def f(n):
2 '''In : indice n, entier naturel
3 Out : (n , u_n , v_n)'''
4 assert n>=0
5 ...
6 ...
7 return(n,u,v)
3. Conjecturer alors la limite des suites (un) et (vn) .
4. Montrer que (vn) est géométrique puis que pour toutn≥1 :
un= −93,75×0,8n+225
5. En déduire la limiteℓde la suite (un).
6. Montrer que (un) est croissante.
7. Voici deux propositions d’algorithmes :
Fonction ex1() U←150 N←0
Tant queU≥220 Faire U←0,8×U+45 N←N+1 Fin Tant que envoyerN
Pseudo Code
Fonction ex2() U←150 N←0
Tant queU<220 Faire U←0,8×U+45 N←N+1 Fin Tant que envoyerN
Pseudo Code
Un seul de ces algorithmes permet de calculer le plus petit entier naturelntel queunÊ220.
7. a. Préciser pourquoi l’un des deux algorithmes ne le permet pas.
7. b. Justifier que l’algorithme choisi se termine, c’est à dire qu’il ne boucle pas ou ne diverge pas à l’infini . 8. Quelle est la valeur numérique affichée par l’algorithme choisi à la question précédente ?
La valeur affichée est :N= · · · ·.
9. Écrire une fonctione x3() sans argument qui détermine puis renvoie le rangnà partir duquel
|ℓ−un| <0,001
10. Écrire une fonctione x4(p) qui prend en entrée un entierp≥0, et qui détermine puis renvoie le rangnà partir duquel
|ℓ−un| <10−p
[ Fin du devoir \
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