TD n°1 - Algorithmes Suites et sommes
Thème
Somme des termes d’une suite géométrique
Exercice 1. Suites définies par une relation de récurrence
Soit (un) la suite géométrique définie, pourn≥0, parun= 1
2n et (Sn) la somme des (n+1) premiers termes de cette suite géométrique :
Sn= Xn k=0
1 2k=1+1
2+ · · · + 1 2n 1. Calculer quelques termes de cette somme :
• S1=1+1
2= · · · ; S2=1+1 2+1
4= · · · ; S3=1+1 2+1
4+1
8= · · · ;S3=1+1 2+1
4+1 8+ 1
16= · · ·
2. Écrire une fonctionsomme(i ndi ce) qui renvoie le termeSn. N’oubliez pas ladocstringassociée et l’assertqui s’assu- rera que la variablei ndi ceest positive. Contrôler votre programme avec les valeurs calculées lors de la question (1.).
def somme(indice) :
’ ’ ’renvoie . . . ’ ’ ’ assert· · ·
...
Code Python
2nse note en Python 2∗ ∗n
Aide
3. Conjecturer la limite de la suite (Sn) en utilisant la fonction somme(indice) de la question (2.).
S10= · · · ;S20= · · · ;S30= · · · ;S100= · · · ;S200= · · · · Il semble que la suite tende vers : ...
4. Déterminer la limite de la suite (Sn) en appliquant le résultat de la remarque.
Dans le TD n°2 sur les suites nous avons prouvé que pourqun réel tel que 0<q<1 : 1+q+q2+q3+ · · · = 1
1−q
Remarque
TD n°1 - Algorithmes - Suites et sommes
5. On admet que la suite (Sn) tend vers 2 et est strictement croissante (cette dernière assertion est évidente ... non ?).
On cherche alors à déterminer à partir de quel rang, tous les termes de la suites sont compris entre 1,999 et 2 par exemple, ce qui revient dans ce cas à chercher le premier indicentel queSn>1.999 .
5. a. À l’aide de la fonction somme de la question (2.), déterminer le plus petit entierntel que :
• Sn>1,9⇐⇒n≥ · · ·.
• Sn>1,99⇐⇒n≥ · · ·.
• Sn>1,999⇐⇒ n≥ · · ·.
5. b. Ecrire une algorithme qui prend en entrée le seuil compris entre 1 et 2, et donne en sortie le plus petit entiern tel queSn>seui l:
def det(seuil) :
’ ’ ’renvoie le premier n tel que Sn>seui l ’ ’ ’ assertseui l>1 andseui l<2
...
Code Python
5. c. A l’aide de cet algorithme, vérifier les résultats de la question (5. a.) et résoudre les inéquations
• Sn>1,9999 ⇐⇒n≥ · · ·.
• Sn>1,99999 ⇐⇒n≥ · · ·. 6. Avec un écart avec la limite.
6. a. Chercher le premier indicentel queSn>1.999 revient à chercher le premier indicentel que 2−Sn<0.001.
On modifie donc le programme ci-dessus (en notantli mi te=2 la limite de la suite (Sn)).
def recherche(ecart) :
’ ’ ’renvoie le premier indice n tel que2−Sn<ecar t ’ ’ ’
assert· · · #permet de s’assurer que l′écar t est compris entre 0 et 1 (exlu) ...
Code Python
6. b. Vérifier votre programme sachant que le résultat obtenu avec la fonctiondetde la question (5. b.).
Par exemple que det(1,999) doit être égal à recherche(0.001) et det(1,9999) doit être égal à recherche(0.0001).
7. Généralisation
Soit maintenant (un) la suite géométrique définie, pourn≥0, parun=qnavec 0<q<1 et (Sn) la somme des (n+1) premiers termes de cette suite géométrique :
Sn=u0+ · · · +un=1+q+q2+ · · · +qn
Concevoir une fonctionr echer che(ecar t,q) qui renvoie le premier indicentel queℓ−Sn<ecar tainsi que la limite de la suiteSnsoitℓ= 1
1−q.
Attention à bien renseigner l’assert et la docstring.
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TD n°1 - Algorithmes - Suites et sommes
Objectif
Résolution d’un problème concret, d’après un problème de Bac.
Exercice 2. D’après Bac
Au 1erjanvier 2017, une association sportive compte 900 adhérents. On constate que chaque mois :
• 25 % des adhérents de l’association ne renouvellent pas leur adhésion ;
• 12 nouvelles personnes décident d’adhérer à l’association.
Partie A
On modélise le nombre d’adhérents de l’association par la suite (un) telle queu0=900 et, pour tout entier natureln, un+1=0,75un+12.
Le termeundonne ainsi une estimation du nombre d’adhérents de l’association au bout denmois.
1. Déterminer une estimation du nombre d’adhérents au 1ermars 2017.
2. Écrire un programme qui affiche tous les termes de la suite de rang 0 àN, avecN>0. Proposez un affichage du style (rang , terme).
def suite(N)
#À compléter.
Code Python
3. Utilisez le programme précédent pour répondre à la question suivante :
La présidente de l’association déclare qu’elle démissionnera si le nombre d’adhérents devient inférieur à 100. Si on fait l’hypothèse que l’évolution du nombre d’adhérents se poursuit de la même façon, faudra-t-il que la présidente démissionne ?
Si oui, au bout de combien de mois ?
Partie B
Chaque adhérent verse une cotisation de 10 euros par mois. Le trésorier de l’association souhaite prévoir le montant total des cotisations pour l’année 2017.
Le trésorier souhaite utiliser l’algorithme suivant dans lequel des lignes sont restées incomplètes (pointillés).
1. Recopier et compléter l’algorithme de façon qu’il affiche le montant total des cotisations de l’année 2017.
Fonction cotisations() S← · · · ·
U← · · · ·
Pourivariant de ... à ... Faire S← · · ·
U← · · · · Fin Pour envoyer· · · ·
Pseudo Code
2. Quelle est la somme totale des cotisations perçues par l’association pendant l’année 2017?
[ Fin du devoir \
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