Nom :
Classe : TS 5 Te st n°1
Raisonnements par récurrence
le 16/09/2019
Note :
… / 10
Evaluation des capacités
Je sais : Non Oui
Les définitions et les propriétés du cours.
Refaire des exercices corrigés en classe.
Faire un exercice donné à préparer à la maison
Cours : Compléter les définitions et les propriétés suivantes : … / 3,5 Définitions :
• Une suite ( ) converge vers un réel L si tout intervalle ouvert contenant L ………
……… On note alors : = L
• Une suite ( ) diverge vers +∞ si tout intervalle ouvert du type ……… contient ………
………
Propriétés :
• Les suites de terme général , et ……… vers …
• Les suites de terme général , et ……… vers …
• Si < 0 alors les suites de terme général , et ………
• La suite de terme général ………
………
Exercice 1 : … / 2
On considère la suite définie par = et pour tout entier naturel : = . Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel on a : ≤ .
………
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………
u0 -1 n un+1 0,2un+ 0,6 n un 1
un
n!lim+1un
1 n
1 n2
p1 n n n2 p
n un
k kn kn2 kp
n (-1)n
Exercice 2 : Soit ( ) la suite définie sur N par = . … / 2 Soit A ∈ ] 2 ; + ∞ [. Démontrer qu'à partir d'un certain rang tous les termes de la suite sont dans ] A ; + ∞ [.
………
………
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………
………
………
………
………
………
………
………
………
Exercice 3 : … / 2,5
On considère la suite ( ) définie pour tout entier naturel ≥ par = et = . 1. Calculer les quatre premiers termes de la suite.
………
………
………
………
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul on a : =
………
………
………
………
………
………
………
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………
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………
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………
………
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………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
un un 3n2+ 2
un n 1 u1 1 un+1 2un+ 1
2n¡1 un
n
Correction du Test n°1 Cours : Se référer au cours.
Exercice 1 : Voir la correction de l'exercice du livre p 13 n° 3.
Exercice 2 : Voir la correction de la question 1 de l'exercice n°4 du cours sur les suites.
Exercice 3 : On considère la suite ( ) définie pour tout entier naturel ≥ par = et = . 1. Calculer les quatre premiers termes de la suite.
=
= = = = = = = = =
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul on a : =
∀ ∈ N*, on pose p( ) : =
Démontrons par récurrence que p( ) est vraie pour tout entier naturel non nul.
• Initialisation : Si = On a, d'une part : =
Et, d'autre part : = =
Donc = et ainsi p( ) est vraie.
• Hérédité :
Soit un entier naturel non nul. ≥ .
Supposons que p( ) soit vraie. Alors : = . On en déduit successivement : =
= = = Or, par définition de la suite ( ) : =
Donc : = et ainsi p( ) est vraie.
• Conclusion :
p( ) est vraie et la propriété p( ) est héréditaire donc : ∀ ∈ N*, =
un n 1 u1 1 un+1 2un+ 1
n un 2n¡1 u1 1
u2 2u1+ 1 2£1 + 1 3 u3
u4
2u2+ 1 2£3 + 1 7 2u3+ 1 2£7 + 1 15
n n
n n un
n n
k k
k uk
uk+1
uk+1 k+ 1
2n¡1
u1 1 n 1
21¡1 2¡1 1 u1 21¡1 1
1
2k¡1
2uk+ 1 2uk 2 (2k¡1)
2uk 2k+1¡2
2uk+ 1 2k+1¡2 + 1 2uk+ 1 2k+1¡1 un
2k+1¡1
1 un 2n¡1
