Nom :
Groupe : 1MATHS1 Te st n°3 Suites arithmétiques
le 09/11/2020
Note :
… / 10
Evaluation des capacités
Je sais : Non Oui
Les définitions et propriétés du cours.
Définir une suite arithmétique / Calculer ses premiers termes.
Justifier le sens de variations d'une suite arithmétique.
Justifier / Résoudre un système de deux équations à deux inconnues.
Calculer la somme des premiers termes d'une suite arithmétique.
Justifier si une suite est ou n'est pas arithmétique.
Cours : … / 2
1. Donner la relation de récurrence associée à une suite arithmétique ( ) de raison .
………
2. Donner la formule explicite associée à une suite arithmétique ( ) de 1er terme et de raison .
………
3. Compléter les formules suivantes :
◦ 1 + 2 + 3 + … + = … ◦ = …
Exercice 1 : Soit ( ) la suite arithmétique de premier terme = 5 et de raison -3. … / 1,5 1. a) Exprimer en fonction de .
………
b) En déduire les calculs de et .
………
………
2. Déterminer le sens de variations de la suite ( ). Justifier.
………
Exercice 2 : Soit ( ) la suite arithmétique telle que = et = . … / 3 1. Justifier que et sont solutions du système
………
………
………
………
2. Résoudre ce système.
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
r
r un
vn v0
n u0+u1+u2+...+un
u0
un
u1 u2
un
vn v2 11 v8 35
un+1 un
v0 r
½ v0+ 2r= 11 v0+ 8r= 35
Exercice 3 : … / 2 1. Calculer S = .
………
………
………
2. Soit la suite arithmétique de premier terme = 17 et de raison 3. On admet que = Calculer la somme .
………
………
………
Exercice 4 : La suite définie sur N par = est-elle arithmétique ? Justifier. … / 1,5
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
1 + 2 + 3 +...+ 100
wn w0
P20 k=0
wk
w20 77
un 2n2+ 3
Correction du Test n°3 Cours :
1. Donner la relation de récurrence associée à une suite arithmétique ( ) de raison . =
2. Donner la formule explicite associée à une suite arithmétique ( ) de 1er terme et de raison . =
3. Compléter les formules suivantes :
◦ 1 + 2 + 3 + … + = ◦ =
Exercice 1 : Soit ( ) la suite arithmétique de premier terme = 5 et de raison -3.
1. a) Exprimer en fonction de . = =
b) En déduire les calculs de et . = = =
= = =
2. Déterminer le sens de variations de la suite ( ). Justifier.
= -3 < donc la suite ( ) est décroissante sur N.
Exercice 2 : Soit ( ) la suite arithmétique telle que = et = . 1. Justifier que et sont solutions du système
( ) est une suite arithmétique donc = Or = donc =
Et = donc =
On en déduit que et sont solutions du système 2. Résoudre ce système.
⇔ ⇔ ⇔
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
Exercice 3 :
1. Calculer S =
S = = avec = Donc S = = = =
2. Soit la suite arithmétique de premier terme = 17 et de raison 3. On admet que = Calculer la somme .
= = avec =
Donc = =
un r
vn v0 r
n u0+u1+u2+...+un
un u0
un+1 un
u1 u2
un
vn v2 11 v8 35
v0 r
½ v0+ 2r= 11 v0+ 8r= 35
1 + 2 + 3 +...+ 100
wn w0 w20 77
P20 k=0
wk un+r
un+1
vn v0+r n
n(n+1)
2 (n+ 1)£
u0+un
2
un+1 un+r un¡3
u1 u0¡3 5¡3 2 u2 u1¡3 2¡3 -1
0
r un
vn v0+r n vn
v2 11 v8 35
v0+ 2r 11 v0+ 8r 35
v0 r
½ v0+ 2r= 11 v0+ 8r= 35
½ v0+ 2r= 11 v0+ 8r= 35
½ v0 = 11¡2r v0+ 8r = 35
½ v0 = 11¡2r 11¡2r+ 8r = 35
½ v0 = 11¡2r 6r= 35¡11
½ v0 = 11¡2r 6r= 24
( v0 = 11¡2r r = 24
6
½ v0 = 11¡2r r= 4
½ v0 = 11¡2£4 r = 4
½ v0 = 3 r = 4
1 + 2 + 3 +...+ 100 n(n+1) n 100 2
100(100+1) 2
100£101 2
10 100
2 5 050
n P20
k=0
wk w0+w1+w2+...+w20 (n+ 1)£ w0 +wn
2 20
P20 k=0
wk 21£ 17 + 77
2 987
Exercice 4 : La suite définie sur N par = est-elle arithmétique ? Justifier.
Pour montrer qu'une suite n'est pas arithmétique :
• 1 ère méthode : On justifie que la fonction associée à la formule explicite n'est pas affine.
= = où est la fonction, définie sur R, par =
Or, n'est pas une fonction affine (mais une fonction polynôme du 2nd degré) donc ( ) n'est pas une suite arithmétique.
• 2 ème méthode : On calcule les premiers termes pour montrer que l'évolution n'est pas régulière.
=
Donc = = = = = = = Or = = mais = = ≠
Donc ( ) n'est pas une suite arithmétique.
• 3 ème méthode : On démontre que l'écart entre deux termes consécutifs et n'est pas constant.
=
On en déduit = = =
Donc = = =
n'est pas constant donc, il n'existe pas de réel constant tel que = . Ainsi, ( ) n'est pas une suite arithmétique.
un 2n2+ 3
un 2n2+ 3 f(n) f f(x) 2x2+ 3
f un
un
un 2n2+ 3
u0 3 u1 2£12+ 3 2 + 3 5 u2 2£22+ 3 8 + 3 11 u1¡u0 5¡3 2 u2¡u1 11¡5 6 2
un un+1
un
un 2n2+ 3
un+1 2(n+ 1)2 + 3 2(n2+ 2n+ 1) + 3 2n2+ 4n+ 5
un+1¡un 2n2+ 4n+ 5¡(2n2+ 3) 2n2+ 4n+ 5¡2n2¡3 4n+ 2
4n+ 2 r un+1¡un r
