chapitre3-Les applications linéaires(SMPC)

Cours d’alg `ebre 2

MOUANIS Hakima et MOUNIRH Karim

A

PPLICATIONS LIN

EAIRES

´

D ´efinition

Soient E et F deux espaces vectoriels sur K . Une application f : E −→ F est dite lin ´eaire si

f (a + b) = f (a) + f (b) (∀a, b ∈ E )

Exemples

1 _{L’application nulle est lin ´eaire.} 2 _{L’application identit ´e est lin ´eaire.}

3 _{f : R}3_{−→ R, (x, y, z) 7−→ x + y + 2z est lin ´eaire.} 4 _{f : R}2−→; R, (x, y) 7−→ xy n’est pas lin ´eaire. 5 _{f : R}

n[X ] −→ Rn[X ], P 7−→ P + (1 − X )P 0

Remarque

D ´efinitions et propri ´et ´es

Soient E et F deux espaces vectoriels sur K

1 _{L’ensemble des applications lin ´eaires de E vers F est not ´eL(E, F ).} 2 _{Lorsque E = F on dit que f est unendomorphismede E au lieu d’un}

homomorphisme de E dans E . Dans ce cas L(E , E ) est not ´e aussi L(E ).

3 _{Une application lin ´eaire bijective est appel ´eeun isomorphisme.}

4 S’il existe un isomorphisme de E vers F on dit queE est isomorphe `a F

et on ´ecris E ' F.

5 _{Si f est un isomorphisme et E = F on dit que f estun automorphisme de}

Proposition

Soient E et F deux espaces vectoriels sur K . Pour montrer qu’une application f de E vers F est lin ´eaire il suffit de montrer que

Exemple

Montrer que les applications suivantes sont lin ´eaires :

1 _{f : R}2_{−→ R}2_{, (x , y ) 7−→ (x − y , x + y ).} 2 _{f : R}2_{−→ R}3_{, (x , y ) 7−→ (x + y , x − y , 2y ).} 3 _{f : R}3_{−→ R}2_{, (x , y , z) 7−→ (x + y , x + y + z).} 4 _{f : R} n[X ] −→ Rn−1[X ], P 7−→ P 0 . 5 _{f : R} n[X ] −→ Rn+1[X ], P 7−→ X .P.

D ´efinition

Pour toute application lin ´eaire f d’un K -espace vectoriel E vers un K -espace vectoriel F on d ´efini le noyau de f par :

ker (f ) = {a ∈ E ; f (a) = 0}

Proposition

Exemple

D ´eterminer les noyaux des applications lin ´eaires suivantes :

1 _{f : R}2_{−→ R}2_{, (x , y ) 7−→ (x − y , x + y ).} 2 _{f : R}2_{−→ R}3_{, (x , y ) 7−→ (x + y , x − y , 2y ).} 3 _{f : R}3_{−→ R}2_{, (x , y , z) 7−→ (x + y , x + y + z).} 4 _{f : R} n[X ] −→ Rn−1[X ], P 7−→ P 0 . 5 _{f : R} n[X ] −→ Rn+1[X ], P 7−→ XP.

D ´efinition

Pour toute application lin ´eaire f d’un K -espace vectoriel E vers un K -espace vectoriel F on d ´efini l’image de f par :

Im(f ) = {f (a); a ∈ E }

Proposition

Exemple

D ´eterminer les images des applications lin ´eaires suivantes :

1 _{f : R}2_{−→ R}2_{, (x , y ) 7−→ (x − y , x + y ).} 2 _{f : R}2_{−→ R}3_{, (x , y ) 7−→ (x + y , x − y , 2y ).} 3 _{f : R}3_{−→ R}2_{, (x , y , z) 7−→ (x + y , x + y + z).} 4 _{f : R} n[X ] −→ Rn−1[X ], P 7−→ P 0 . 5 _{f : R} n[X ] −→ Rn+1[X ], P 7−→ XP.

Th ´eor `eme

Soit f une application lin ´eaire d’un K e.v E vers un K e.v. F .

1 _{f est injective si et seulement si son noyau est r ´eduit `a 0.}

C’est `a diref est injective si et seulement si Ker (f ) = {0}

Exercice

1 _{L’application : f : R}3−→ R2_{d ´efinie par}

f (x , y , z) = (x + y , x + y + z),

est-elle injective ?.

2 _{L’application : f : R}2−→ R3_{d ´efinie par}

f (x , y ) = (x + y , x − y , 2y ),

est-elle surjective ?

3 L’application f : R2−→ R2, (x , y , z) 7−→ (x + y , x − y ). est-elle injective ? 4 _{L’application f : R} n[X ] −→ Rn−1[X ], P 7−→ P 0 est-elle injective ?. 5 _{L’application f : R} n[X ] −→ Rn+1[X ], P 7−→ XP est-elle surjective ?.

Proposition

Soient E et F deux espaces vectoriels sur K de dimensions finis tels que

dim E = dim F, et f : E −→ F une application lin ´eaire. Les trois propri ´et ´es suivantes sont ´equivalentes :

1 _{f est un isomorphisme} 2 _{f injective}

Exercice

1 _{Montrer que l’application : f : R}2−→ R2_{d ´efinie par}

f (x , y ) = (x + y , x − y ),

D ´efinition

Soit f : E −→ F une application lin ´eaire d’un K -espace vectoriel E , de dimension finie, vers un K -espace vectoriel F . La dimension de Imf est appel ´eele rangde f et on le note rg(f ) (ou bien rgf ).

Exercice

D ´eterminer le rang de chacune des applications suivantes :

1 f : R 2 _−→ R3 (x , y ) 7−→ (x , x + y , x − y ) 2 g : R 3 _−→ R3 (x , y , z) 7−→ (x , x + y , x − y ) 3 h : R 3 _−→ R2 (x , y , z) 7−→ (x + y , x + y + z) .

Th ´eor `eme du rang

Soient E et F deux K -espaces vectoriels de dimensions finies et f une application lin ´eaire de E vers F . On a alors

Exercice

Calculer le rang des applications lin ´eaires suivantes :

1 f : R 2 _−→ R3 (x , y ) 7−→ (x , x + y , x − y ) 2 g : R 3 _−→ R3 (x , y , z) 7−→ (x , x + y , x − y ) 3 f : R 3 _−→ R2 (x , y , z) 7−→ (x + y , x + y + z) . 4 f : Rn[X ] −→ Rn−1[X ] P 7−→ P0 . 5 f : Rn[X ] −→ Rn+1[X ] P 7−→ XP .

Addition :Soient f et g deux applications lin ´eaires d’un K -espace vectoriel E vers un K espace vectoriel F . L’application

f + g : E −→ F ; x 7−→ f (x ) + g(x )

est lin ´eaire. On l’appelle somme de f et g.

2 _{Multiplication par un scalaire :Soient f : E −→ F une application d’un}

K -espace vectoriel E vers un K espace vectoriel F et α un ´el ´ement de K . L’application

αf : E −→ F ; x 7−→ αf (x ) est lin ´eaire.

Compos ´ees des applications lin ´eaires

Soient E , F et G trois K -espaces vectoriels ; f : E −→ F et g : F −→ G deux applications lin ´eaires. L’application gof d ´efinie par :

gof : E −→ G

x 7−→ g(f (x ))

B = {e1,e2...,en} une base de E.

Soit a = a1e1+a2e2+ ... +anenun vecteur de E (c’est `a dire (a1, ...,an)sont

les composantes de a dans la base B). On note par

I] (a)B le vecteur (a1,a2, ..,an) ∈ Kn

II] [a]B la matrice colonne

     a1 a2 .. . an      Exemple : Soit E = R [X ] et B = (1 + X , X + X2_{,2 + X}2₎

D ´efinition

Soient f une application lin ´eaire d’un K -espace vectoriel E dans un K -espace vectoriel F ,tous deux de dimensions finies;

B = {e1, . . . ,en} une base de F et S = {ε1, . . . , εm} une base de E.

On appellematrice de f relativement aux bases B,et S, la matrice de colonnes [f (ε1)]B, [f (ε2)]B, ..., [f (εm)]B. c’est `a dire :

M(f , B, S) =    [f (ε1)]B . . . [f (εi)]B . . . [f (εm)]B a11 . . . a1i . . . a1m .. . ... ... ... ... an1 . . . ami . . . anm   

avec f (εi) =a1ie1+ · · · +anien. Autrement dit [f (εi)]B=

   a1i a2i ..   

Exercice 1 _Soit

f : _R3[X ] −→ R2[X ]

P 7−→ P0

On consid `ere la base canonique S = (1, X , X2_,X3_{)de R}

3[X ] et la base

B = (1 + X , X + X2_{,2 + X}2_{)de R} 2[X ].

D ´eterminer la matrice de f par rapport aux bases S et B.

2 _{Soit f : R}3 //

R2 d ´efinie par f (x , y , z) = (x + y , x + y + z). D ´eterminer la matrice de f par rapport aux bases canoniques.

Exercice

Soit f un endomorphisme de R3_{dont la matrice par rapport aux bases}

canoniques est   1 2 1 2 3 1 1 1 0  

Remarque

La matrice d’une application lin ´eaire n’est pas unique. Elle d ´epend du choix des bases.

D ´efinition

Soient E et F deux espaces vectoriels sur K de bases respectives S et B. Soit

u ∈ E tel que [u]S =

     u1 u2 .. . un      Alors [f (u)]B=M(f , B, S)      u1 u2 .. . un     

Exercice

Soit f : R3_{−→ R}2_{l’application lin ´eaire dont la matrice par rapport aux base}

canonique est M(f , B, S) =  1 1 1 1 1 0 

1 _{Soit u = (x , y , z) ∈ R}3_{. Calculer [f (u)]} B. 2 _{D ´eterminer Ker (f ).}

Exercice

Soit f : R3_{−→ R}2_{l’application lin ´eaire d ´efinie par :}

f (e1) = (1, 2)

f (e2) = (3, 4)

f (e3) = (5, −1)

1 _{D ´eterminer la matrice de f par rapport aux bases canoniques.} 2 _{Calculer [f (u)]}

Proposition

Soient f une application lin ´eaire d’un K -espace vectoriel E dans un K -espace vectoriel F ,tous deux de dimensions finies;

B = {e1, ..,en} une base de F et S = {ε1, .., εm} une base de E et M(f , B, S)

la matrice de f dans les bases B, S. Alors,

Exercice

Soit f : R3 //

R3 d ´efinie par f (x , y , z) = (x − z, 2x + y − 3z, −y + 2z)

1 _{V ´erifier que f est une application lin ´eaire}

2 _{D ´eterminer la matrice de f par rapport aux bases canoniques.} 3 _{calculer rg(f ).}

D ´efinition

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1, B = {e1, ..,en} et B

0

= {e0₁, ..,e_n0} deux base de E.

La matrice de passage de la base B = {e1, ..,en} `a la base B 0

= {e0₁, ..,e0_n} est la matrice carr ´ee d’ordre n de colonnes [e₁0]_B, .., [e0_n]_B, not ´ee par M(B, B0_),

c’est `a dire : M(B, B0) =   [e₁0]B [e 0 2]B . . . [e 0 n]B . . . . . . . . . . . .  

Exemple

I]

1 _{V ´erifier que S = {ε}

1= (1, 0, 1), ε2= (1, 1, 0), ε3= (0, 0, 1)} est une base

de R3_.

2 _{Donner la matrice P, de passage de la base canonique de R}3 _{`a la base}

S.

3 _{Calculer la matrice Q de passage de la base S `a la base canonique}

B = {e1= (1, 0, 0), e2= (0, 1, 0), e3= (0, 0, 1)}. 4 Calculer le produit PQ. Conclure.

II]Soit B = {1, X } la base canonique de R1[X ] et B 0

= (2X + 1, X + 1) une famille de polyn ˆome de R1[X ].

1 _{Montrer que B}0 _{est une base de R} 1[X ]. 2 _{Calculer M(B, B}0_{)et M(B}0_,B).

Proposition

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1, B et B0 deux bases de E et M(B, B0)la matrice de passage de B `a B0.

M(B, B0)est une matrice inversible et son inverse est la matrice M(B0,B) de passage de B0 `a B.

Soient E un K -espace vectoriel de dimension fini n , B et B0 deux bases de E .

Soient v un vecteur de E tel que [v ]B=

     x1 x2 .. . xn      et [v ]0 B =      x₁0 x₂0 .. . x_n0     

et M(B, B0) = (aij)la matrice de passage de B `a B0. Alors,

   x1 .. . xn    | {z }

coordonn´ees de v dans B =    a11 . . . ann .. . ... ... an1 . . . ann    | {z } matrice de passage ·    x₁0 .. . x_n0    | {z } 0

Exemple

Consid ´erons R1[X ] comme espace vectoriel sur R. On consid `ere la base

canonique B = (1, X ) et la base B0 = (_{2X + 1, X + 1) de R}1[X ].

T ´eo `eme(Formule de changement de base)

Soient E et F deux K -espaces vectoriels de dimenions finies, B, B0 deux bases de F , S, S0 deux bases de E , f une application lin ´eaire de E dans F , M(f , B0,S0)la matrice de f dans les bases B0 et S0,

M(f , B, S) la matrice de f dans les bases B et S,

Q = M(B, B0)la matrice de passage de B `a B0et P = M(S, S0)la matrice de passage de S `a S0. On a alors

M(f , B0,S0) =M(B, B0)−1M(f , B, S) M(S, S0) =Q−1M(f , B, S) P

(E , S) →f (F , B)

P ↓ ↓ Q

Cas particulier

Lorsque E = F , B = S et B0 =S0on a M(S, S0) =M(B, B0) =P et

Exemple

Soit

f : _R1[X ] −→ R2[X ]

P 7−→ XP

On consid `ere la base S0 = (_{2 + X , X + 1) de R1}[X ] et la base B0 = (1 + X , X + X2_{,2 + X}2_{)de R}

2[X ].

1 _{D ´eterminer la matrice A de f par rapport aux bases canoniques.} 2 _{D ´eterminer la matrice P de passage de la base B `a la base B}0 _{et Q la}

matrice de passage de la base S `a la base S0.

3 _{D ´eterminer P}−1_{et Q}−1_.

4 _{Donner la formule de changement de bases et calculer la matrice}

(x , y , z) 7−→ (x + y , x + y + z)

Soient u1= (1, 1, 0), u2= (0, −1, 0) et u3= (3, 2, −1)

ξ1= (1, 1) et ξ2= (2, 1). Notons par S et B les bases canoniques de R3et R2

respectivement.

1 _{V ´erifier que S}0 _{= (u}

1,u2,u3)est une base de R3. 2 _{V ´erifier que B}0 _{= (ξ}

1, ξ2)est une base de R2.

3 _{D ´eterminer A la matrice de f par rapport aux bases canoniques S et B.} 4 _{D ´eterminer P la matrice de passage de la base B `a la base B}0 _{et Q la}

matrice de passage de la base S `a la base S0.