Cours d algèbre 2. MOUANIS Hakima et MOUNIRH Karim. UNIVERSITÉ SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULTÉ DES SCIENCES Dhar El Mehraz

(1)

Cours d’alg `ebre 2

MOUANIS Hakima et MOUNIRH Karim

D ´epartement de Math ´ematiques

(2)

A PPLICATIONS LIN EAIRES ´

Dans ce chapitreKd ´esigneRouC.

(3)

D ´efinition

SoientE etF deux espaces vectoriels surK. Une applicationf :E −→F est dite lin ´eaire si

f(a+b) =f(a) +f(b) (∀a, b ∈E) f(λa) =λf(a) (∀λ ∈K, ∀a ∈E )

(4)

Exemples

1 L’application nulle est lin ´eaire.

2 L’application identit ´e est lin ´eaire.

3 f :R³−→R,(x,y,z)7−→x +y +2z est lin ´eaire.

4 f :R²−→;R,(x,y)7−→xyn’est pas lin ´eaire.

5 f :Rn[X]−→Rn[X],P 7−→P+ (1−X)P⁰ est lin ´eaire.

(5)

Remarque

Sif :E −→F est une application lin ´eaire, alorsf(0E) =0F.

(6)

D éfinitions et propri ét és

SoientE etF deux espaces vectoriels surK

1 L’ensemble des applications lin ´eaires deEversF est not ´eL(E,F).

2 LorsqueE =F on dit quef est unendomorphismedeE au lieu d’un homomorphisme deE dansE. Dans ce casL(E,E)est not ´e aussiL(E).

3 Une application lin ´eaire bijective est appel ´eeun isomorphisme.

4 S’il existe un isomorphisme deEversF on dit queE est isomorphe `aF et on ´ecris E 'F.

5 Sif est un isomorphisme etE=F on dit quef estun automorphisme de E.

(7)

Proposition

SoientE etF deux espaces vectoriels surK. Pour montrer qu’une application f deE versF est lin ´eaire il suffit de montrer que

∀α∈K∀a, b∈E, f(αa+b) =αf(a) +f(b)

(8)

Exemple

Montrer que les applications suivantes sont lin ´eaires :

1 f :R²−→R²,(x,y)7−→(x−y,x+y).

2 f :R²−→R³,(x,y)7−→(x+y,x−y,2y).

3 f :R³−→R²,(x,y,z)7−→(x+y,x +y+z).

4 f :Rn[X]−→Rn−1[X],P7−→P⁰.

5 f :Rn[X]−→Rn+1[X],P7−→X.P.

(9)

D ´efinition

Pour toute application lin ´eairef d’unK-espace vectorielE vers unK-espace vectorielF on d ´efini le noyau def par :

ker(f) ={a∈E;f(a) =0}

Proposition

Ker(f)est un sous-espace vectoriel deE.

(10)

Exemple

D ´eterminer les noyaux des applications lin ´eaires suivantes :

1 f :R²−→R²,(x,y)7−→(x−y,x+y).

2 f :R²−→R³,(x,y)7−→(x+y,x−y,2y).

3 f :R³−→R²,(x,y,z)7−→(x+y,x +y+z).

4 f :Rn[X]−→Rn−1[X],P7−→P⁰.

5 f :Rn[X]−→Rn+1[X],P7−→XP.

(11)

D ´efinition

Pour toute application lin ´eairef d’unK-espace vectorielE vers unK-espace vectorielF on d ´efini l’image def par :

Im(f) ={f(a);a∈E}

Proposition

Im(f)est un sous-espace vectoriel deF.

(12)

Exemple

D ´eterminer les images des applications lin ´eaires suivantes :

1 f :R²−→R²,(x,y)7−→(x−y,x+y).

2 f :R²−→R³,(x,y)7−→(x+y,x−y,2y).

3 f :R³−→R²,(x,y,z)7−→(x+y,x +y+z).

4 f :Rn[X]−→Rn−1[X],P7−→P⁰.

5 f :Rn[X]−→Rn+1[X],P7−→XP.

(13)

Th ´eor `eme

Soit f une application lin ´eaire d’unK e.vEvers unK e.v.F.

1 f est injective si et seulement si son noyau est r ´eduit `a 0.

C’est `a diref est injective si et seulement si Ker(f) ={0}

2 f est surjective si et seulement siIm(f) =F.

(14)

Exercice

1 L’application :f :R³−→R²d ´efinie par

f(x,y,z) = (x+y,x+y+z),

est-elle injective ?.

2 L’application :f :R²−→R³d ´efinie par

f(x,y) = (x+y,x −y,2y),

est-elle surjective ?

3 L’applicationf :R²−→R²,(x,y,z)7−→(x+y,x−y). est-elle injective ?

4 L’applicationf :Rn[X]−→Rn−1[X],P 7−→P⁰ est-elle injective ?.

5 L’applicationf :Rn[X]−→Rn+1[X],P7−→XPest-elle surjective ?.

(15)

Proposition

SoientE etF deux espaces vectoriels surK de dimensions finis tels que dim E =dim F, etf :E −→F une application lin éaire. Les trois propri ét és suivantes sont équivalentes :

1 f est un isomorphisme

2 f injective

3 f surjective

(16)

Exercice

1 Montrer que l’application :f :R²−→R²d ´efinie par f(x,y) = (x+y,x −y), est un isomorphisme.

(17)

D ´efinition

Soitf :E−→F une application lin ´eaire d’unK-espace vectorielE, de dimension finie, vers unK-espace vectoriel F . La dimension deImf est appel ´eele rangdef et on le noterg(f)(ou bienrgf).

(18)

Exercice

D ´eterminer le rang de chacune des applications suivantes :

1 f : R² −→ R³

(x,y) 7−→ (x,x+y,x−y)

2 g : R³ −→ R³

(x,y,z) 7−→ (x,x+y,x−y)

3 h : R³ −→ R²

(x,y,z) 7−→ (x+y,x+y+z) .

(19)

Th ´eor `eme du rang

SoientE etF deuxK-espaces vectoriels de dimensions finies etf une application lin ´eaire deEversF. On a alors

dim E = rg(f) +dim ker(f).

(20)

Exercice

Calculer le rang des applications lin ´eaires suivantes :

1 f : R² −→ R³

(x,y) 7−→ (x,x+y,x−y)

2 g : R³ −→ R³

(x,y,z) 7−→ (x,x+y,x−y)

3 f : R³ −→ R²

(x,y,z) 7−→ (x+y,x +y+z) .

4 f : Rn[X] −→ Rn−1[X]

P 7−→ P⁰ .

5 f : Rn[X] −→ Rn+1[X]

P 7−→ XP .

(21)

Addition :Soientf etgdeux applications lin ´eaires d’unK-espace vectorielE vers unK espace vectorielF. L’application

f +g:E −→F;x 7−→f(x) +g(x)

est lin ´eaire. On l’appelle somme def etg.

2 Multiplication par un scalaire :Soientf :E −→F une application d’un K-espace vectorielEvers unK espace vectorielF etαun ´el ´ement deK. L’application

αf :E−→F;x 7−→αf(x) est lin ´eaire.

(22)

Compos ´ees des applications lin ´eaires

SoientE,F etGtroisK-espaces vectoriels ;f :E−→F etg :F −→Gdeux applications lin ´eaires. L’applicationgof d ´efinie par :

gof : E−→G

x 7−→ g(f(x)) est appel ée la compos ée degetf et elle est lin éaire.

(23)

B={e₁,e2...,en}une base deE.

Soita=a1e1+a2e2+...+anenun vecteur deE (c’est `a dire(a1, ...,an)sont les composantes deadans la baseB). On note par

I](a)B le vecteur(a1,a2, ..,an)∈Kⁿ

II][a]_B la matrice colonne





 a1

a2

... an







Exemple :

SoitE=R [X]etB= (1+X,X+X²,2+X²)

(24)

D ´efinition

Soientf une application lin ´eaire d’unK-espace vectorielE dans unK-espace vectorielF,tous deux de dimensions finies;

B={e₁, . . . ,en}une base deF etS={ε₁, . . . , ε_m}une base deE. On appellematrice def relativement aux basesB,etS, la matrice de colonnes[f(ε₁)]_B,[f(ε₂)]_B, ...,[f(ε_m)]_B. c’est `a dire :

M(f,B,S) =







[f(ε₁)]_B . . . [f(ε_i)]_B . . . [f(ε_m)]_B

a₁₁ . . . a_1i . . . a_1m

... ... ... ... ...

an1 . . . ami . . . anm







avec f(ε_i) =a1ie1+· · ·+anien. Autrement dit [f(ε_i)]_B=





 a_1i a_2i ..





(25)

Exercice

1 Soit

f : R3[X] −→ R2[X] P 7−→ P⁰

On consid `ere la base canoniqueS= (1,X,X²,X³)deR3[X]et la base B= (1+X,X+X²,2+X²)deR2[X].

D ´eterminer la matrice de f par rapport aux bases S et B.

2 Soitf :R³ //R² d ´efinie parf(x,y,z) = (x+y,x+y+z). D ´eterminer la matrice de f par rapport aux bases canoniques.

(26)

Exercice

Soit f un endomorphisme deR³dont la matrice par rapport aux bases canoniques est





1 2 1

2 3 1

1 1 0



 D ´eterminer le noyau de f et l’image de f.

(27)

Remarque

La matrice d’une application lin ´eaire n’est pas unique. Elle d ´epend du choix des bases.

(28)

D ´efinition

Soient E et F deux espaces vectoriels surKde bases respectives S et B. Soit

u∈E tel que[u]_S =





 u1

u2

... un







Alors[f(u)]B=M(f,B,S)





 u1

u2

... un







(29)

Exercice

Soitf :R³−→R²l’application lin ´eaire dont la matrice par rapport aux base canonique est

M(f,B,S) =

1 1 1

1 1 0

1 Soitu= (x,y,z)∈R³. Calculer[f(u)]B.

2 D ´eterminerKer(f).

3 En d ´eduire la dimension deIm(f)et en donner une base.

(30)

Exercice

Soitf :R³−→R²l’application lin ´eaire d ´efinie par : f(e1) = (1,2)

f(e2) = (3,4) f(e3) = (5,−1)

1 D ´eterminer la matrice de f par rapport aux bases canoniques.

2 Calculer[f(u)]_B o `uu= (−2,1,3)

(31)

Proposition

Soientf une application lin ´eaire d’unK-espace vectorielE dans unK-espace vectorielF,tous deux de dimensions finies;

B={e₁, ..,en}une base deF etS={ε₁, .., ε_m}une base deE etM(f,B,S) la matrice def dans les basesB,S.

Alors,

rg(f) =rg M(f,B,S)

(32)

Exercice

Soitf :R³ //R³ d ´efinie parf(x,y,z) = (x −z,2x+y−3z,−y +2z)

1 V ´erifier que f est une application lin ´eaire

2 D ´eterminer la matrice de f par rapport aux bases canoniques.

3 calculerrg(f).

(33)

D ´efinition

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien≥1, B={e₁, ..,e_n}etB⁰ ={e⁰₁, ..,e_n⁰}deux base deE.

La matrice de passage de la baseB={e₁, ..,e_n} à la baseB⁰ ={e⁰₁, ..,e⁰_n} est la matrice carr ée d’ordrende colonnes[e₁⁰]_B, ..,[e⁰_n]_B, not ée parM(B,B⁰), c’est à dire :

M(B,B⁰) =





[e₁⁰]_B [e⁰₂]_B . . . [e_n⁰]_B

. . . .





(34)

Exemple I]

1 V ´erifier queS={ε₁= (1,0,1), ε2= (1,1,0), ε3= (0,0,1)}est une base deR³.

2 Donner la matriceP, de passage de la base canonique deR³ `a la base S.

3 Calculer la matriceQde passage de la baseS `a la base canonique B={e₁= (1,0,0),e₂= (0,1,0),e₃= (0,0,1)}.

4 Calculer le produitPQ. Conclure.

II]SoitB={1,X}la base canonique deR1[X]etB⁰ = (2X+1,X+1)une famille de polyn ˆome deR1[X].

1 Montrer queB⁰ est une base deR1[X].

2 CalculerM(B,B⁰)etM(B⁰,B).

(35)

Proposition

SoientE unK-espace vectoriel de dimension finien≥1,BetB⁰ deux bases deEetM(B,B⁰)la matrice de passage deB `aB⁰.

M(B,B⁰)est une matrice inversible et son inverse est la matriceM(B⁰,B)de passage deB⁰ `aB.

(36)

SoientE unK-espace vectoriel de dimension finin,BetB⁰ deux bases deE.

Soientv un vecteur deEtel que[v]_B=





 x₁ x₂ ... x_n







et[v]⁰_B =





 x₁⁰ x₂⁰ ... x_n⁰





 etM(B,B⁰) = (a_ij)la matrice de passage deB `aB⁰. Alors,





 x₁

... x_n







| {z }

coordonn´ees de v dans B

=







a11 . . . ann

... ... ... a_n1 . . . a_nn







| {z }

matrice de passage

·





 x₁⁰

... x_n⁰







| {z }

0

(37)

Exemple

Consid ´eronsR1[X]comme espace vectoriel surR. On consid `ere la base canoniqueB= (1,X)et la baseB⁰ = (2X+1,X+1)deR1[X].

SoitP=3−2X. Calculer les composantes de P dans la baseB⁰.

(38)

T ´eo `eme(Formule de changement de base)

SoientE etF deuxK-espaces vectoriels de dimenions finies,B, B⁰ deux bases deF,S, S⁰ deux bases deE,f une application lin ´eaire deEdansF, M(f,B⁰,S⁰)la matrice def dans les basesB⁰ etS⁰,

M(f,B,S)la matrice def dans les basesBetS,

Q=M(B,B⁰)la matrice de passage deB `aB⁰etP=M(S,S⁰)la matrice de passage deS `aS⁰. On a alors

M(f,B⁰,S⁰) =M(B,B⁰)⁻¹M(f,B,S)M(S,S⁰) =Q⁻¹M(f,B,S)P

(E,S) →^f (F,B)

P ↓ ↓Q

(E,S⁰) →^f (F,B⁰)

(39)

Cas particulier

LorsqueE =F,B=SetB⁰ =S⁰on aM(S,S⁰) =M(B,B⁰) =P et M(f,B⁰) =P⁻¹M(f,B)P.

(40)

Exemple Soit

f : R1[X] −→ R2[X]

P 7−→ XP

On consid `ere la baseS⁰ = (2+X,X+1)deR1[X]et la base B⁰ = (1+X,X+X²,2+X²)deR2[X].

1 D ´eterminer la matrice A de f par rapport aux bases canoniques.

2 D éterminer la matrice P de passage de la base B à la baseB⁰ et Q la matrice de passage de la base S à la baseS⁰.

3 D ´eterminerP⁻¹etQ⁻¹.

4 Donner la formule de changement de bases et calculer la matrice M(f,S⁰,B⁰).

(41)

(x,y,z) 7−→ (x+y,x+y+z)

Soientu1= (1,1,0),u2= (0,−1,0)etu3= (3,2,−1)

ξ₁= (1,1)etξ₂= (2,1). Notons par S et B les bases canoniques deR³etR² respectivement.

1 V ´erifier queS⁰ = (u1,u2,u3)est une base deR³.

2 V ´erifier queB⁰ = (ξ₁, ξ₂)est une base deR².

3 D ´eterminer A la matrice de f par rapport aux bases canoniques S et B.

4 D éterminer P la matrice de passage de la base B à la baseB⁰ et Q la matrice de passage de la base S à la baseS⁰.

5 D ´eterminerP⁻¹etQ⁻¹.