Université Sidi Mohammed Ben Abdellah Faculté Des Sciences Dhar El Mahraz Fès Département De Physique

Université Sidi Mohammed Ben Abdellah Faculté Des Sciences Dhar El Mahraz Fès

Département De Physique

Licence Fondamentale

Filière: Sciences de la Matière Physique (SMP)

Semestre 6

Réalisé par: Prof. El Houssaine Tissir

Sommaire

Chapitre 1: Notions de base sur les asservissements I. Définitions

II. Transformation de Laplace

II.1. Quelques propriétés de la transformée de Laplace II.2.Transformée de Laplace inverse

II.3. Calcul de la transformée de Laplace inverse II.3.1. Utilisation du théorème des résidus II.3.2. Décomposition en éléments simples III. Représentation externe (fonction de transfert)

III.1. Définition

III.2. Propriétés de la fonction de transfert III.3. Forme standard d'une fonction de transfert IV. Algèbre des schémas fonctionnels

IV.1. Notions fondamentales des schémas fonctionnels IV.2. Représentation d’un système

IV.3. Forme canonique d'un système asservi IV.4. Simplification des schémas fonctionnels V. Systèmes de commande

V.1. Commande d’un système en boucle ouverte V.2. Commande d’un système en boucle fermée VI. Classification des systèmes asservis

VI.1. Classification selon le type de l'entrée de référence VI.2. Classification selon le type du régulateur

Chapitre 2: Réponses temporelles des systèmes dynamiques I. Systèmes de premier ordre

I.1. Processus à constante de temps I.2. Processus intégrateur pur II. Systèmes du second ordre

III. Réponse indicielle (réponse à un échelon unité)

III.1. Cas d’un système de premier ordre à constante de temps III.2. Cas d’un processus intégrateur

III.3. Cas d’un système de second ordre IV. Réponse impulsionnelle

IV.1. Cas d’un système de premier ordre à constante de temps IV.2. Cas d’un processus intégrateur

IV.3. Cas d’un système de second ordre V. Réponse à une rampe : u(t)=at

V.1. Cas d’un système de premier ordre à constante de temps V.2. Cas d’un système de second ordre

Chapitre 3: Représentation des systèmes dans l’espace d’état I. Représentation d'état des Systèmes continus

I.1. Définitions

I.2. Quelques méthodes d’obtention de la représentation d’état I.2.1. A partir de l’équation différentielle entrée sortie I.2.2. A partir du diagramme de simulation

I.2.3. A partir de la représentation externe

I.2.4. Représentation d’état des systèmes variants I.3. Pluralité de représentation d’état

I.4. Intégration des équations d’état II. Représentation d'état des systèmes discrets

II.1. A partir de l'équation aux différences entrée sortie II.2. A partir du diagramme de simulation

II.3. Pluralité de représentation II.4. Intégration des équation d’état III. Commandabilité et observabilité

III.1. Définitions

III.2. Critères de commandabilité et d'observabilité III.2.1. Systèmes invariants

III.2.2. Systèmes variants IV. Commande par retours d'état

V. Commande par reconstruction d’état.

Chapitre 1: Notions de base sur les asservissements

I. Définitions

Définition de l'Automatique : L'automatique est un ensemble de théories mathématiques et une technique de raisonnement qui concernent la prise de décision et la commande du système.

L'automatique est indispensable quand il s'agit de traiter avec précision et en toute sécurité des systèmes rapides ou peu stable.

Système: Un système est un ensemble de constituants reliés les uns aux autres de façon à former une entité.

Système Automatique: Un système est dit automatique lorsqu'il accomplit une tache bien déterminée sans intervention humaine

Système dynamique ou à mémoire : Un système dynamique est un système dont la réponse à une excitation dépend à la fois de celle ci et de ce qui s’est passé avant. La relation

mathématique liant l’entrée et la sortie est plus complexe: la sortie dépend d’elle même (de ses dérivées) et de l’entrée.

Système linéaire : Un système dynamique linéaire est un système qui peut être décrit par une équation différentielle linéaire.

Système stationnaire : Un système est dit stationnaire (ou invariant) s'il peut être décrit par une équation différentielle linéaire à coefficient constants.

Système causal : Un système est dit causal si la valeur de la sortie y(t) à un instant to ne dépend que des valeurs de l'entrée u(t) pour tto. Notons que tous les systèmes physiques sont causaux.

II. Transformation de Laplace

C'est un outil mathématique possédant l'avantage de transformer des équations différentielles en équations algébriques

Définition 1. : Soit f(t) une fonction réelle de la variable réelle t, définie pour t>0 et soit s une variable complexe définie pour sj. S'il existe un réel ₀ tel que



0^{ } 

otdt e ) t (

f ,

alors f(t) admet une transformée de Laplace pour Re(s)₀ donnée par :

^f(t)^F(s)



₀^{f(t)estdt}

L

Exemple 1. : Calculer la transformée de Laplace de la fonction échelon unitaire









 



0 pour t 1

0 t pour 0 ) t

( .

Réponse :

e s e s

dt s e dt

e t t

L s

U ^st

t st

st

st 1 1

1 lim )

( )]

( [ ) (

0 0

0 





 

 













 ^







 

 



 





Pour que l'intégrale converge, on doit avoir >0 et donc ₀ 0. Donc  

s t 1 L s

U( ) ( )  pour tout s telle que Re(s)>0.

Remarque: Une fonction est dite causale si elle est identiquement nulle pour t<0.

II.1. Quelques propriétés de la transformée de Laplace

1-Unicité de la solution : Si deux fonctions f(t) et g(t) possèdent la même image H(s) (H(s)=L[f(t)]=L[g(t)]) alors ces deux fonctions sont identiquement égales.

2-Linéarité : La transformée de Laplace est linéaire, c à d que si f1 et f2 ont une transformée de Laplace et si λ1, λ2 sont deux nombres réelles λ1.f1 + λ2.f2 a aussi une transformée de Laplace et que L(λ1.f₁ + λ₂.f₂) = λ1.L(f₁) + λ2.L(f₂) (à conditions que L(f₁) et L(f₂) existent pour tout s > 0).

3-Théorème de la valeur initiale : f(0 ) lim f(t) limsF(s)

0 s

t  

  

4-Théorème de la valeur finale : f( ) lim f(t) lim sF(s)

0 t s 



 Remarque :

i) Le théorème de la valeur initiale ne s’applique pas si le degré du numérateur de F(s) est égale ou supérieur au degré de son dénominateur car f(t) contient alors une impulsion.

ii) le théorème de la valeur finale ne s’applique que si tous les pôles de F(s) sont à partie réelle négative. On tolère un pôle simple nul. Si ces conditions ne sont pas respectées, f(t) est une fonction qui croit constamment avec le temps, d’où l’impossibilité d’utiliser ce théorème.

iii) Si la différence entre le degré du dénominateur de F(s) et le degré de son numérateur est supérieur ou égale à 2 alors f(0⁺)=0.

iv) Si la différence entre le degré du dénominateur de F(s) et le degré de son numérateur est égale à 1, alors f(0⁺) est le quotient des coefficients de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

5-Dérivation : Soit f dans une fonction de classe C⁽ⁿ⁾ sur l’ensemble t > 0 et dont les dérivées f⁽¹⁾… f⁽ⁿ⁾ vérifient f(t) A₀e^at, f ⁽¹⁾(t)  A₁e^at,..., f⁽ⁿ⁾(t)  A_ne^at pour t>t0.

Alors f(t), f⁽¹⁾(t),…, f⁽ⁿ⁾(t), ont une limite lorsque t décroît vers 0 et on a pour Re(s)>a:

f(0 ) dt

... d ) 0 ( dtf s d ) 0 ( f s ) s ( F s ) t ( f dt L d

1 n

1 2 n

n 1

n n

n

n 



 





   

















^











 



 ^{n 1}

0 k

0 k

k 1 n

nF s s f 0 f 0 f 0

s ( ) ^{( )}( ); ^{( )}( ) ( )

* cas particuliers : n=1 : sF(s) f(0 ) dt

L df   ^





n=2 : ( ) ² ( ) (0 ) (0 )

2

2     













dt f sf d

s F s t f dt L d

* Pour une fonction causale : ^{f(k)(0)0pourtoutkL}



^f(n)(t)



^snF(s)

Remarque: On doit distinguer la dérivée en t de celle en s :

 

^{n n n} _n

ds s F t d

f t

L ( )

) 1 ( )

(  

Exemple 2.

   

 

^{2 2}

2

2 4

4 4

) 2 2 sin(

. 4 ) 2

2 sin(







 





 



 



s s ds s

t d t

L s

t L

6- Intégration :

 

s ) s ( dt F ) t ( f

L





8-Théorème du retard : si F(s)=L[f(t)] alors L



f



t

 

e^sF(s), pour t>.

En termes plus simples, retarder une fonction de  dans le temps, revient à multiplier sa transformée de Laplace par e^-s

9-Théorème du déplacement : si F(s)=L[f(t)] alors ^L



^eatf(t)



^F(sa)

II.2.Transformée de Laplace inverse

Définition 2. : Soit F(s) la transformée de Laplace de la fonction f(t), t>0, alors,

 

F(s) f(t)

L^1 

s'appelle la transformée de Laplace inverse de F(s).

En pratique, pour obtenir la transformée de Laplace inverse, les trois cas suivants se présentent.

 La transformée inverse de F(s) est directement dans la table

 Il faut d’abord exprimer ou décomposer F(s) en une somme de termes dont les transformées inverses sont dans la table.

 Il faut utiliser la table conjointement avec une ou plusieurs propriétés.

II.3. Calcul de la transformée de Laplace inverse

Dans le cas général, les transformées de Laplace se présentent sous forme d'un quotient )

( ) ) (

( D s

s s N

F  .

II.3.1. Utilisation du théorème des résidus

La transformée de Laplace inverse peut être calculée de la manière suivante :

    







 



o

st 1 F(s) résidusF(s)e L

) t ( f

et le résidu d'une fonction g(s) en un pôle a d'ordre p s'obtient par :

 



 



a s s g a s ds

d 1 p a 1 g

Rés ^p

1 p

1 p



 

 ^_ ( )

)!

, (

II.3.2. Décomposition en éléments simples La méthode consiste à décomposer la fraction

) (

) ) (

( D s

s s N

F  , avec deg(N(s))deg(D(s)), en éléments dont l'image est connue (utilisation des tables). Les cas suivants peuvent se présenter:

Premier cas : Pôles simples: Si D(s) présente des racines simples, on peut écrire :



s s



s s

 

s s_n



s s N

F    

...

) ) (

(

2 1

avec s_i  s_j si i j La décomposition de F(s) peut toujours s’écrire sous la forme :

n n 2

2 1

1

s s ... A s

s A s

s ) A s (

F   

 

 

Les coefficients A_i sont appelés les résidus de leurs pôles respectifs. On en déduit : t

n s t

s t

s A e A e _n

e A t

f( ) ₁ ¹  ₂ ² ... Exemple 3:

) 2 s )(

1 s (

1 2

s 3 s ) 1 s (

F 2   



  ; F(s) possède deux pôles simples: -1 et -2.



^{e e}



^(t)

f(t) : où ' d

2 s

1 1 s F(s) 1

t 2

t  





 

 





Deuxième cas : pôles multiples ; Si D(s) présente des racines multiples par exemple s : ₀

    

...



^{avec 1}

) ) (

(

1 0

 



 





 

sn s s s s s

s s N

F

on écrie F(s) sous la forme :

   

_{}











 











 

 décomposition par rapport aux autrespôles 2

2 1

1

multiple pôle

au 0 2

0

1 ... ...

)

( 2

0 

 







  

 

 

 

 



n n

rapport par

ion décomposit

s

s s s

B s

s B s s

B s

s A A

s s s A

F

D’où :

 

^{1 s t 2 s t n s t}

multiple pôle

du tion Contribu

t 1 s t

s 2 t s

1 ^{0 0} t e ⁰ B e ¹ B e ² ... B e ⁿ

! 1 ... A

te A e

A ) t (

f ^{ }     _ ^



 



















 













 



; t>0

Exemple 4:

 

^{2 2}

2 (s 2)

6 2

s 3 2

s s 3 4 s 4 s

s ) 3

s (

F  

 

 



  D’où



^{3e 6te}



^(t)

) t (

f  ^2t  ^2t 

Troisième cas : pôles complexes : Si D(s) possède des racines complexes, ces racines viennent de termes quadratiques de la forme as²bsc avecb²4ac0,

Dans ce cas, dans l'expression de F(s) intervient des termes de type

c bs as

s







2



 qu'on écrit

sous la forme

 







² ²







 s

d

s . Le terme correspondant de f(t) est :

  

 











 d e^_tsin t

2 2 2

avec _



 









 

 arctg d .

Exemple 5: Retrouver l'original de



^{s 1}

 

^{s 4 4s 7}



) s (

H   2  

Cette transformée ne figure pas dans la table. Utilisons la méthode de décomposition, on écrie:

7 s 4 s

s 1

) s s (

H 2  





 



 

Identifions les deux expressions :



^{s 4s 7}

 ^

^{s 1}

^ 

^{s 4 4s 7}



) 1 s (

7 s ) 4

( s ) ( 7 s 4 s

s 1

s ^{2 2}

2

2    































 









 





On doit donc avoir



































4 7

0 4

0

La résolution de ce système d’équations donne

















 -3 -1 1

Donc,

7 s 4 s

3 s 1 s ) 1 s (

H 2  

 

 

Qu’on peut écrire sous la forme



^{s 2}



^{s2 3}

 

^{3 2}

1 s ) 1 s ( H





 

 

De la table des transformées on tire :

0 t ), t 3 sin(

3 e 3 e 2

) t (

h  ^t  ^-2t  

Avec ^arctg

 

^{3 .}

III. Représentation externe (fonction de transfert) III.1. Définition

Considérons un système linéaire monovariable et stationnaire décrit par l'équation différentielle

an ( ) ( )

) ...

) ( ) (

... ( )

( b u t

dt t b du dt

t u b d t y dt a

t a dy dt

t y d

0 m 1

m m 0

n 1

n       

où a₀,a₁,...,a_n,b₀,b₁,...,b_m sont des constantes. On note que l'équation ne contient pas de terme constant. En fait il est possible d'éliminer ce terme par un changement de variable.

La réalisation physique impose d'avoir mn, n s'appelle ordre du système.

On admet que le système est initialement au repos (ou en régime permanent, établi depuis suffisamment longtemps), toutes les dérivées sont donc nulles à l'instant t=0. L'application de la transformée de Laplace donne,

) ( )

( ...

) ( )

( )

( ...

)

(s a sYs a Ys b s Us b sUs b Us

Y s

a_n ⁿ   ₁  ₀  _m ^m   ₁  ₀

avec Y(s) et U(s) sont les transformées de Laplace de y(t) et u(t) respectivement. Alors, on

) s ( H a s a ...

s a

b s b ...

s b ) s ( U

) s ( Y

0 1 n

n

0 m 1

m 











 

H(s) est appelée fonction de transfert ou transmittance du système. Elle ne dépend ni de la sortie ni de l'entrée ni des valeurs ou conditions initiales mais seulement de la constitution physique du système.

III.2. Propriétés de la fonction de transfert

1. La fonction de transfert d'un système est la transformée de Laplace de sa réponse à l'impulsion.

Si on écrit Y(s)=H(s)U(s), en prenant la transformée inverse de Laplace, on trouve,



^{  }



^{  }



 ^t

0

t

0h t u d d

t u h t

u t h t

y( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

où '*' désigne l'opérateur de convolution et h(t) est l'original de H(s). h(t) s'appelle réponse impulsionnelle du système car pour une impulsion u(t) (t) (U(s)=1), on a y(t)=h(t).

2. La fonction de transfert est obtenue à partir de l'équation différentielle en prenant la transformée de Laplace et en laissant de côté tous les termes dépendant des conditions initiales.

3. On peut obtenir l'équation différentielle du système à partir de la fonction de transfert en remplaçant la variable s par l'opérateur différentiel D=d/dt.

4. Les valeurs de s annulant le numérateur de la fonction de transfert sont appelées zéros du système et celles annulant le dénominateur sont appelées ses pôles. On peut donc définir à une constante près, la fonction de transfert du système par la donnée de ses pôles et de ses zéros. Cette constante généralement notée K s'appelle gain du système.

5. Du fait de la causalité du système, le degré du numérateur de la fonction de transfert est inférieur ou égale au degré de son dénominateur mn

III.3. Forme standard d'une fonction de transfert

Pour le calcul des organes de commande, il est intéressant de faire apparaître dans les transmittances le gain statique, le nombre d'intégrateurs, les pôles et les zéros. On peut toujours écrire H(s) sous la forme:

) s ( Q s

) s ( P ) Ke

s ( H

s





 

où P(s) et Q(s) sont tels que 1 0 Q

0

P 

) (

)

( , K est le gain statique du système,  est égal au nombre d'intégrateurs et  représente le retard pur du système.

Par définition K lims H(s)

0 s



  . K fournit la relation statique entre l'entrée et la sortie.

IV. Algèbre des schémas fonctionnels

IV.1. Notions fondamentales des schémas fonctionnels

Un schéma fonctionnel consiste en une représentation graphique abrégée des relations entre les signaux d'entrée et de sortie d'un système physique. C'est un moyen à la fois utile et aisé de caractériser les relations existant entre les différents organes d'un système de commande.

● Le schéma fonctionnel le plus simple est constitué d'un seul élément:

Les flèches indiquent le sens dans lequel l'information ou le signal se transmettent.

● On représente les opérations d'addition ou de soustraction par un petit cercle marqué d'une croix appelé comparateur où aboutissent les flèches portant le signe + ou – selon les cas. On peut faire aboutir au même comparateur un nombre quelconque de signaux d'entrée.

● Lorsqu'on a besoin d'introduire le même signal ou la même variable en plus d'un élément ou en plus d'un comparateur, on utilise un point de dérivation (ou de branchement).

IV.2.Représentation d’un système

On représente un système par le schéma fonctionnel suivant :

La grandeur e(t) est appelée 'entrée principale, elle correspond à une action extérieure s'exerçant sur le système et permet de le piloter vers un état spécifié. La sortie s(t) caractérise l'état du système et représente les effets de la grandeur d'entrée que l'on peut observer généralement au moyen des capteurs.

L'application des lois de la physique au système conduit à l'établissement d'une certaine relation entre s(t) et e(t).

Les autres grandeurs qui possèdent une action sur le système et qui sont susceptibles par conséquent de modifier la relation existant entre s(t) et e(t) sont appelées entrées parasites ou perturbations.

Exemples :

Le schéma fonctionnel de base d'un système asservi peut être donné par :

Pour étudier le système asservi, on inscrit à l’intérieur de chaque rectangle la fonction de transfert de l’élément correspondant ou bien l’opérateur qui va agir sur son entrée.

Exemple : soit l’équation différentielle )

t ( dt x

) t ( ) dx t (

y   ; (y=sortie, x=entrée)

 Dans le domaine temporel , on peut faire la représentation suivante :

 Dans le domaine fréquentiel, on peut calculer : Y(s)



s



X(s), d’où la représentation :

IV.3. Forme canonique d'un système asservi

La forme canonique est donnée par le schéma fonctionnel suivant :

H : fonction de transfert directe 1 = fonction de transfert d'action.

H2 : fonction de transfert de retour.

H2

H1 : fonction de transfert en boucle ouverte.

Calcul de la fonction de transfert en boucle fermée :

) s ( Y ) s ( H ) s ( E ) s ( avec ) s ( ) s ( H ) s (

Y  ₁     ₂

ce qui donne :

) s ( Y ) s ( H ) s ( H ) s ( E ) s ( H ) s (

Y  ₁  _{1 2}

 1 H (s)H (s) ) s ( E ) s ( ) H

s ( Y

2 1 1

 

d'où la fonction de transfert en boucle fermée :

) s ( H ) s ( H 1

) s ( H )

s ( E

) s ( Y

2 1

1

  Remarque : Si H₂=1, on a un retour unitaire.

IV.4. Simplification des schémas fonctionnels

Le schéma fonctionnel d'un système asservi réel est souvent assez compliqué. Il peut comprendre plusieurs boucles de retour ou d'action, et plusieurs signaux d'entrée. On peut toujours ramener un système à boucles multiples à la forme canonique. L'effet des entrées secondaires est ramené à l'entrée et la réduction des boucles est réalisée en considérant en premier les boucles internes. La simplification des schémas fonctionnels peut être réalisée en utilisant des transformations faciles à manipuler. Ces transformations obéissent à des règles dont le principe est le suivant: Deux schémas blocs sont mathématiquement équivalents si leurs fonctions de transferts globales sont égales.

Règle 1: Eléments en cascade (série):

X G G Y  _{1 2}

Règle 2: Eléments en parallèle :

Règle 3: Elimination d'une boucle de retour

Règle 4 déplacement d'un comparateur en mont d'un élément



 



 

 G

X Y G Y GX

Z  

Règle 5 déplacement d'un comparateur en aval d'un élément



X Y



GX GY G

Z   

Règle 6 élimination d'un comparateur

On peut remplacer des comparateurs en cascade par un comparateur équivalent

 ^{X Y}  ^{X X}  ^{X Y}   ^{X X}  ^Y

Y X X

Z 

₁



₂

 

₁

 

₂



₁



₂

 

₁



₂



Règle 7: transformation d’un comparateur en sommateur

Règle 8 Permutation de comparateurs

On peut permuter des comparateurs en cascade, cette propriété découle de la commutativité de l’addition.

Règle 9 Permutation de capteurs

Règle 10 déplacement d’un élément en amont d’un nœud

Z=GX et GX

G X 1 Y 

Règle 11 déplacement d’un élément en aval d’un nœud

V. Systèmes de commande

Définition 5.1: un système de commande est un assemblage de constituants physiques branchés ou reliés les uns aux autres de telle sorte qu'il puisse se commander, se diriger, ou se régler lui-même, ou bien commander, diriger, ou régler un autre système.

Les systèmes de commande entrent dans deux catégories générales: les systèmes en boucle ouverte et les systèmes en boucle fermée

V.1. Commande d’un système en boucle ouverte

Définition 5.2: Un système de commande en boucle ouverte est un système où le signal de commande est indépendant du signal de sortie.

avec :

le système à commander est le système sujet à la commande (four, moteur ,réacteur ...) Sortie (appelée grandeur réglée) : c'est la grandeur physique que l'on désire contrôler. Elle

donne son nom à la régulation. Par exemple : régulation de température.

Consigne : ordres, c'est la valeur désirée que doit avoir la grandeur réglée; exemple fixer une température à 37 °c ou fixer une trajectoire d’un avion.

Action de commande (ou grandeur réglante) : Action susceptible de changer l’état du système à commander. Elle est élaborée en fonction des ordres.

Exemple 5.1: régulation de niveau d'eau dans un réservoir

C'est une commande en boucle ouverte qui ne permet pas de régler avec précision le niveau de sortie et corriger l'effet des perturbations.

Remarque: les deux caractéristiques essentielles des systèmes en boucle ouverte sont les suivantes:

1. leur aptitude à fonctionner avec précision est déterminée par leur calibre. Calibrer signifie établir ou réétablir la relation entre entrée et sortie de façon à obtenir du système la précision voulue.

2. Le phénomène d'instabilité n'est en général pas gênant.

V.2. Commande d’un système en boucle fermée

Définition 5.3: Un système de commande en boucle fermée est un système où le signal de commande dépend d'une façon ou d'une autre du signal de sortie. Ce système est appelé aussi système bouclé ou système asservi ou asservissement.

Le schéma général d’un asservissement analogique est donné par la figure suivante:

Un système asservi comporte une chaîne d'action avec amplification de puissance appelé aussi chaîne de puissance, une chaîne de retour ou de contre-réaction (de faible puissance) et un outil de comparaison.

 le processus est soumis aux excitations constituées par l'entrée de référence et des perturbations.

 Le capteur donne une image utilisable (de nature le plus souvent électrique) de la grandeur réglée. Un capteur doit donner une image fidèle de la grandeur réglée. Sa sensibilité impose donc les limites de précision de l'asservissement.

 Le régulateur est composé de deux parties :

- Le comparateur qui reçoit l'information de référence et la grandeur mesurée dont il fait la différence  appelée écart ou erreur.

- Le correcteur dont le rôle sera d'éliminer cet écart quelles que soient les perturbations, et d'amener le processus à réagir rapidement, quelles que soient les variations de l'entrée de référence ou des perturbations. Donc, il a pour but d'assurer le bon fonctionnement du processus et en particulier sa sécurité.

 L'actionneur reçoit du régulateur la grandeur réglante et l'amplifie en puissance , c'est le

"muscle" de la chaîne qui va piloter l'évolution du processus (par exemple : moteur, vérin, vanne, …)

Exemple: régulation de température d’eau dans un bassin

Le schéma de la régulation automatique de température d'eau dans un bassin est donné par la figure suivante :

 Le débit d’eau chaude est réglé par une vanne motorisée; il est proportionnel à l'angle d'ouverture de la vanne _v (rd).

 Le moteur est alimenté par l'induit sous la tension u crée par l'amplificateur opérationnel de gain A ; la position angulaire de l'arbre du moteur est ₁ _m. Ce moteur va ouvrir ou fermer la vanne par l'intermédiaire d'un réducteur.

 Le thermocouple mesure la température T d’eau dans le bassin et délivre une tension proportionnelle à T. cette tension est envoyée à la borne négative d’un amplificateur opérationnel qui va la comparer à la tension de référence Vref (proportionnelle à la température de référence).

On remarque que ce montage met en évidence l’opération de bouclage. Le rôle du bouclage est d’ajuster en permanence le débit qe de telle sorte que la grandeur réglée (niveau d’eau dans la cuve) soit égale à la consigne en dépit des perturbations (par exemple fuites).

V. Classification des systèmes asservis

Dans tout système asservi, la sortie doit recopier le mieux possible la consigne.

V.1. Classification selon le type de l'entrée de référence

 Poursuite : l'asservissement a une entrée de référence qui évolue au cours du temps (exemple : radar de poursuite, un missile qui poursuit une cible, une machine qui doit usiner une pièce selon un profit donné). Cette évolution de l'entrée fait évoluer le point de fonctionnement du processus et la sortie doit suivre le mieux possible cette évolution en dépit des perturbations. On dit que le système fonctionne en suiveur ou en poursuite.

 Régulation : dans ce cas, la consigne est constante ou évolue en paliers et le système doit compenser l’effet des perturbations. A titre d’exemple : le réglage de la température dans un four, de la pression dans un réacteur, du niveau d’eau dans un réservoir.

 Servomécanisme : on appelle servomécanisme, un système asservi dont le rôle consiste à amplifier la puissance et dont la grandeur réglée représente la position mécanique ou l'une de ses dérivées par rapport au temps comme la vitesse ou l'accélération.

V.2. Classification selon le type du régulateur

 Système asservi linéaire continu : le régulateur utilisé est analogique (réalisé avec des composants analogiques, essentiellement des amplificateurs opérationnels) dont le signal de sortie évolue de manière continue dans le temps.

 Système asservi linéaire échantillonné : le régulateur utilisé est numérique (microprocesseur par exemple) et son signal de sortie est numérique (c'est le résultat d'un algorithme de calcul).

Chapitre 2: Réponses temporelles des systèmes dynamiques

Généralement, pour analyser un système afin de déterminer ses performances ou comparer le fonctionnement de plusieurs systèmes, On introduit des signaux de référence d'entrée appelés aussi signaux de test. Un signal de test doit être :

 Simple : pour faciliter la résolution de l’équation différentielle et reconstituer un autre signal plus complexe.

 Défini : afin d’effectuer des comparaisons entre les performances des différents systèmes  Capable d’exciter le régime d’exploitation le plus difficile (exemple: un four, un réacteur) Les signaux de test t utilisés sont de deux types : signaux de test sinusoïdaux et signaux de test non sinusoïdaux. Les signaux de test sinusoïdaux sont utilisés en analyse fréquentielle et les signaux de test non sinusoïdaux généralement utilisé dans l’analyse temporelle sont les suivants:

* Un échelon: la réponse du système est appelé réponse indicielle

* Une impulsion: la réponse du système est appelé réponse impulsionnelle

* Une rampe: la réponse du système est appelé réponse à une rampe

I. Systèmes de premier ordre I.1. Processus à constante de temps

On appelle un élément du premier ordre ou élément apériodique un système décrit par l’équation différentielle du premier ordre :

) t ( bu ) t ( y a ) t ( dty

a₀ d  ₁ 

Qu'on peut écrire sous forme réduite:

Ku y y 

 (1)

 est la constante de temps du système, K est le gain statique.

Par application de la transformation de Laplace à l'équation (1) on trouve la fonction de transfert du système :

s 1 ) K s (

H  

Exemple : Four électrique

L'entrée de commande est la puissance électrique P(t). La sortie observée est la température du four (t)

Bilant énergétique de l'installation pendant un temps dt : - l'énergie absorbée par le système est P(t)dt

- l'énergie perdue par rayonnement est proportionnelle à la température : (t)dt - la différence est stockée dans la capacité calorifique C du four dont elle élève la

température de d.

On a donc :

dt Pdt

Cd 

soit,





  dt P

Cd  P

dt

Cd

 

Cs 1

1 ) s ( P s



 

  (gain statique K=1/ et constante de temps =C/)

I.2. Processus intégrateur pur

Un système est dit intégrateur pur si la sortie y(t) est proportionnelle à l'intégrale du signal de l'entrée u(t) : ^y(t)K



^u()d. Sa fonction de transfert est donnée par

s K ) s ( U

) s ( ) Y s (

H   .

Beaucoup d'amplificateurs opérationnels sont conçus pour se comporter comme des intégrateurs.

Exemple : Système hydraulique

Soit A la section de la cuve et V le volume d'eau dans la cuve.

dt Adh dt qe

dV  

AsH(s)Qe(s) As

1 ) s ( Qe

) s ( Ge H

 



II. Systèmes du second ordre

un système linéaire est dit du deuxième ordre lorsque l’équation différentielle qui régit son comportement est linéaire de type :

) t ( bu ) t ( y dt a

) t ( a dy dt

) t ( y

a d _{1 o}

2 2

2   

En pratique on présente l’équation sous forme réduite :

) t ( u Kw ) t ( y dt w

) t ( w dy 2 dt

) t ( y

d ₂

2 o o 2 o

2    

où,

wo=pulsation propre non amortie ou pulsation naturelle (s'exprime en rd/s)

2 o

a

 a

2 o 1

a a 2

 a

 =coefficient d'amortissement

ao

K  b =gain statique

Fonction de transfert :

2o 2 o

2o

w s w 2 s

Kw )

s ( U

) s ( ) Y s (

H     

Exemple : Système mécanique (Arbre de rotation)

On tient compte du coefficient d'élasticité Ke, du frottement f et du moment d’inertie J des masses en mouvement. Cm : couple moteur (entrée), _s: angle de rotation (sortie).

e e o e

K K 1 et JK 2 f J ,

w  K  

dt ) t ( fd ) t ( K C dt

) t (

Jd _{m e s} ^s

2

2 s 







 

J s Ke J s f

J 1 )

s ( C

) s ) (

s ( H

m 2 s





 



Place des pôles dans le plan complexe

Les pôles de H(s) sont obtenus par la résolution de l'équation s²2w₀sw₀²0. Le discriminant réduit est donné par ^'^w20

 

²¹. Il y a donc trois cas à envisager.

a)  1'0: deux pôles complexes conjugués :



 



 



 



 



 



 _o ² _{2 o} ²

1 w j 1 ; s w j 1

s

Ils possèdent les propriétés suivantes :

 s₁  s₂ w_o indépendants de ;s₁s₂ w²_o.

 Si 0 alors s₁ jw_oets₂ jw_o : les deux pôles sont imaginaires purs.

 Si 0 les deux pôles sont à gauche de l'axe imaginaire, cela correspond à un amortissement réel.

 Si 0 les deux pôles sont à droite de l'axe imaginaire, cela correspond à une amplification.

b)  1'0 : deux pôles réels négatifs si 0 et positifs si 0.



 

  



 





  



 w 1 ; s w 1

s_{1 o} ² _{2 o} ²

c)  1'0 : racine double s_1,2 w_o III. Réponse indicielle

Lorsqu'un système est excité par un échelon, sa sortie est appelée réponse indicielle.

Définition d’un échelon :







 

 0 pourt 0 (causalté) 0 t pour ) E t (

(t) n'est pas définie à l'origine (t=0) ce que l'on transcrit par (0^)0 et (0^)E. On a l'échelon unité si E=1. La représentation réelle de ce signal est l'application d'une tension à un système par l'intermédiaire d'un interrupteur. C'est le signal de test le plus simple à réaliser, convient aux systèmes d’une grande inertie

III.1. Cas d’un système de premier ordre à constante de temps La transformée de Laplace de la

fonction échelon unité est s

1 donc

















 



 

 

s 1 1 s K 1 ) s 1 ( s ) K s ( Y

par conséquent,

y(t) K 1 e (t)

t

















 ^

Le régime transitoire est caractérisé par les paramètres suivants :

 Le temps de réponse tr : temps au bout duquel le système atteint son régime définitif à 5%

près. On peut montrer que tr=3.

 Le temps de monté tm : c'est le temps que met la réponse indicielle pour aller de 10% à 90% de la valeur finale. On montre que t_m ln(9)2.2

Le régime transitoire encore appelé régime libre (pas d'excitation) caractérise le comportement dynamique du système (rapidité et oscillations), et le régime permanent ou régime forcé caractérise son comportement statique. La dynamique du système est conditionnée par les pôles de la fonction de transfert et donc par les coefficients de l'équation différentielle.

Plus  est petit plus tr est petit et plus le système est rapide.

Remarque: pour un système asservi à retour unitaire de premier ordre:

s; 1 ) K s (

H  

) s ( sY K 1 ) K s ( )Y s ( H 1

) s ( ) H s (

Y _{c c}





 

 

) s ( sY 1 ) K s (

Y _c

1 1



  avec

K et 1

K 1

K₁ K ₁



 

 

 Lorsque l’entrée de consigne est un échelon unitaire,

) t ( e

1 K ) t (

y ¹

t

1 



















 ^

On défini l’erreur de position par : (t)y_c(t)y(t)

Et l’erreur statique est définie par : ^{( ) lim}

 

^(t)

t 





 

Dans notre cas :

 

1 K

1 1 K 1 K ) t ( lim ) (

t  

 









 

Cette erreur est d’autant plus petite que K est grand. Elle est nulle pour K= ce qui n’est pas réalisable physiquement du fait des limitations pratiques.

On note que l’erreur statique peut être déterminée en utilisant le théorème de la valeur finale :

^{( ) lim}



^{s (s)}



0 s







 

D’autre part, plus K est grand, plus

K 1 1

 

 est petit, donc tr est petit et par suite le système est rapide.

III.2. Cas d’un processus intégrateur

s2

) KEo s ( s Y ) Eo s (

E   

KEot )

t (

y 



III.3. Cas d’un système de second ordre

s ) 1 s (

U  



2 o ²o



^{ 12o 2}

2o

s s s s s

Kw w

s w 2 s s ) Kw s (

Y   





 

a)  1 : racines réelles distinctes



 

  



 





  



 w 1 ; s w 1

s_{1 o} ² _{2 o} ² et s₁s₂ 2w_o ²1

La décomposition en éléments simples de Y(s) donne,



 



 



 





 



 



2 1 1 2 2

1 s s

s s s

s s s

1 s K 1 ) s ( Y

En prenant la transformée de Laplace inverse on trouve :



^{s e s e}



^(t)

s s 1 1 K ) t (

y ₂ ^{s t} ₁ ^{s t}

2 1

2

1 



 

 



L'évolution de y(t) et de sa dérivée, qui n'est autre que la réponse impulsionnelle,



^{e e}



^(t)

s s

s K s ) t (

y ^{s t s t}

2 1

2

1 ₁  ₂ 

 

dépendent des valeurs des racines s₁ets₂.

Remarquons que e^s1t et e^s2t convergent à 0 si s et ₁ s sont négatifs (racines réelles) ou ₂

 

^{s 0}

Re ₁  et ^Re

 

^s₂ ^0 (racines complexes) ce qui correspond à 0. Dans le cas où 0, il y a divergence de la réponse (instabilité). Nous ne considérons par la suite que les valeurs de

0

 .

La tangente à l'origine est horizontale, pour t, y(t)K. Le temps t_i auquel la courbe s'infléchit est donné par :

ti s2 i 2

1t

1es s e s

0

y  





 



 





1 2 2

i 1 s

ln s s s

t 1 (les deux racines sont de même signe)

On remarque qu'après t_i, le système se comporte comme un système de premier ordre. En effet, deux systèmes de premier ordre en cascade forment un système de deuxième ordre avec des racines réelles.

b)  1 : racine double

o 2

1 s w

s   , dans ce cas,

   













 

 

 

 2

o o 2 o

o 2o

w s

w w

s 1 s K 1 w

s s ) Kw s (

Y , soit,

 



^{1 1 w t e}



^(t)

K ) t (

y    _o ^wot 

la réponse a même allure que la précédente. Dans ces deux cas, le régime est apériodique. En pratique, ce régime ne présente pas d'intérêt car il est lent à s'établir.

c)  1 : racines complexes conjuguées



 

 



 





 



 _o ² _{2 o} ²

1 w j 1 ; s w j 1

s et s₁s₂2jw_o 1² alors,















 



 







 ₂ ^{w t jw 1 t} ₁ ^{w t jw 1 t}

2 o

o 2 2 o

o

o e s e e

e s 1

jw 2 1 1 K ) t ( y















































 















 





 

 ^{         }

2 e e

j 2

e e

1 e

1 K ) t ( y

t 1 jw t

1 jw t

1 jw t

1 jw 2

t w

o 2 o 2

o 2 o 2

o











        







 ^{ } sin w 1 t 1 cos w 1 t

1 1 e K ) t (

y _o ^{2 2} _o ²

2 t w_o

On remarque que 1 1

2 2

2  





 



 donc on peut poser sin() 1² etcos() et la solution devient :











 





  







 ^{ } sin w 1 t

1 1 e K ) t (

y _o ²

2 t w_o

y(t) évolue entre

















 ^{ }

2 t w

1 1 e K

o

et 















 ^{ }

2 t w

1 1 e K

o

.

Si 0 l'enveloppe croit vers l'infini; divergence (instabilité), et si 0 l'enveloppe converge vers K; oscillations amorties.

Graphe :

figure: réponse indicielle pour 01 Paramètres de performances

 pseudo période : T =_p wp

2 avec w =_p w_o 1² =pseudo pulsation













  _o

2 o o 2

p ;T

1 T 1

w

T 2 période propre

 Dépassements :

- Le premier dépassement D₁%: C'est le pourcentage de dépassement par rapport à la

valeur finale stabilisée .100

) ( y

) ( y

% y

D₁ ^max





  ; y_max est obtenue en calculant

dt 0 ) t (

dy  ce qui aboutit à wp

t  n (n=1,2,3,…). Pour n=1 on a le premier

dépassement : ₁ ^{1 2}

p

pic D % 100e

t w ^

 



 

 .

- Pour n=3 on a le deuxième dépassement ^{1 2}

3 2% 100e

D ^

 



 Le temps de réponse t : c'est le temps requis pour atteindre le régime définitif à 5%. _r

 Le temps de monté t : c'est l'intervalle de temps séparant les instants auxquels la _m réponse indicielle vaut 10% et 90% de la valeur finale.

IV. Réponse impulsionnelle

La réponse impulsionnelle d’un système est sa réponse à une entrée en impulsion Définition : L'impulsion de Dirac appelée aussi delta de Dirac ou distribution de Dirac possède les propriétés suivantes :

1 dt ) t

( 



^ ; (t)0 pour tout t0 (1) et (t) n'est pas définie en t=0.

L'impulsion de Dirac peut être générée à partir d'une fonction (t,) possédant les mêmes propriétés (1) par passage à la limite de  tendant vers zéros.























 









t

pour 0

t 0 pour 1

0 t pour 0 ) , t (

De la définition de cette fonction (t,) nous avons : 0 1 dt ) , t

(   



^ Par définition on pose : (t) lim (t, )

0 



 

Nous pouvons remarquer que



_^_(t)dt 1 puisque la propriété est vraie 0.

Réalisation physique : Fermeture brève d’un interrupteur. La durée de l’impulsion ne doit pas être assez grande pour ne pas ressembler à l’échelon ni trop brève pour pouvoir exciter le système.

Domaine d’utilisation : Système ne pouvant pas être excité pendant un temps assez important.

Lorsqu'un système est excité par une impulsion, sa sortie est appelée réponse impulsionnelle.

IV.1. Cas d’un système de premier ordre à constante de temps 1

) s ( U ) t ( ) t (

u    , alors,



 



 

s 1 1 K s 1 ) K s (

Y .

 Ke (t)

) t ( y

t

 

 ^ avec (t) est la fonction échelon unité.

Equation de la tangente : 



 







  t

K 1 ) t ( y

IV.2. Cas d’un processus intégrateur E(s)=1

s ) K s (

Y 



) t ( K ) t (

y  



IV.3. Cas d’un système de second ordre