LE SECOND DEGRE – EXERCICES CORRIGES

(1)

LE SECOND DEGRE – EXERCICES CORRIGES

Exercice n°1.

Résoudre dans \ les équations suivantes : 5x²−3x=0 9x²− =4 0 3x²+ =1 0 x²−2x+ =1 0 Exercice n°2.

1) Montrer que pour tout réel x , ^x²⁺⁶^x^{− =}⁷

(

^x⁺³

)

²⁻¹⁶^.

2) En déduire la résolution de l'équation x²+6x− =7 0

Exercice n°3. Donner la forme canonique des trinômes du second degré définis par : 1) f x( )=x²−3x−4 2) f x( ) 2= x²−8x+6 3) ² 2 1

( ) 3 9

f x = − −x x−

Exercice n°4. Résoudre dans \ les équations suivantes :

2 2 3 0

x + x− = x²+4x−21 0= 9x²+6x+ =1 0 − +x² 6x−10 0= x²− − =x 1 0

(

^x²⁻⁴^x⁻²

)(

⁻²^x²⁺³^x⁺⁴

)

⁼⁰ ²_x^x₊⁻₃^{1 5}⁻ ^x₅⁻_x⁴⁼⁰ ²_x^x₋⁺₄^{3 3}⁻ _x^x₊⁺₄²⁼⁰

Programme de Terminale S :

Résoudre dans ^ les équations −2z²+6z− =5 0 et

(

^z²⁺²

)(

^z²⁻⁴^z⁺⁴

)

⁼⁰

Exercice n°5. Soit les fractions rationnelles suivantes : 3 ³ ₂8 ² 7 2

( ) 3 4

x x x

P x x x

+ + +

= − − et ²₂ 3 2

( ) 3 2

x x

Q x x x

− +

= + + 1) Donner l'ensemble de définition de P(x) et Q(x)

2) Même question pour 2₂ ² ₂ 3

( ) .

1 2

f x x

x x x

= −

− + −

Exercice n°6.

Soit l’équation : (E)

(

^m⁺²

)

^x²⁻²^mx⁺²^m^{− =}^{3 0} où x est l’inconnue, et m un paramètre réel 1) Etudier l’équation (E) pour m = -2

2) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m l’équation (E) admet-elle deux solutions ? une seule solution ? aucune solution ?

3) Lorsque les solutions de (E) existent, calculer leur somme et leur produit en fonction de m

Peut-on déterminer m pour que l’équation (E) ait deux solutions x’ et x’’ vérifiant la relation x’x’’=1 ? Exercice n°7.

1) Trouver deux entiers dont la moyenne vaut 82 et le produit 5 280

2) Calculer les dimensions d'un rectangle dont le périmètre est 220 m et dont la surface est 2800 m² Exercice n°8. On cherche à résoudre le système : ₂ ₂ 5

13 x y x y

 + =

 + =



1) Déterminer une équation du second degré vérifiée par x.

2) Résoudre cette équation, et déterminer toutes les solutions du système.

Exercice n°9. Factoriser les fonctions polynômes suivantes :

( ) 2 4 21

P x =x + x− P x( ) 8= x²+8x+2 P x( )= −3x²+7x−8 f x( )= − +4x 2x²−16 Exercice n°10.

Réduire au même dénominateur, en précisant les valeurs interdites, puis factoriser si possible le numérateur obtenu 1)

2 1

( ) 4 3 9

x x

f x = + + 2) 3 1

( ) 1

4 f x x

x

= + + − 3) 2 1

( ) 1

1 1

f x = x + x +

− +

Exercice n°11. Résoudre dans \ les inéquations suivantes :

5x2−3x≥0 4 9x≤ ² 3x²+ <1 0 x²+6x− <7 0 − +x² 6x−10 0≥

(

^x²⁻⁴^x⁻²

)(

⁻²^x²⁺³^x⁺⁴

)

^≥⁰ ² 2

2 0 9 x x

x

+ − <

−

2 2

4 4 15

4 0

x x

x

+ − >

−

(2)

Exercice n°12. Résoudre les systèmes d’inéquations suivants : 1)

2 2 0

4 3 0

x x x

− + + >

 − + ≤

 2) 6 2< x²+3x− ≤3 17 Exercice n°13.

1) Résoudre dans \ l’équation X²+X − =6 0

2) En déduire la résolution des équations : x⁴+x²− =6 0 x+ x− =6 0 3) Résoudre dans \ les inéquations x⁴+x²− ≤6 0 et x+ x− ≤6 0

Exercice n°14. Déterminer les variations, dresser le tableau des variations et représenter graphiquement les fonctions f définies sur \ par : f x( )=x²−2x+7 f x( )= − +x² 4x−1 f x( ) 2= x²−20x+1 f x( )= −3x²−3

Exercice n°15. Les paraboles ci-dessous sont les représentations graphiques de fonctions de la forme f x( )=ax²+bx c+ . Donner les cordonnées des sommets de la parabole , les équations des axes de symétrie de la parabole et repérer le nombre de solutions de l’équation f(x)= 0.

( ) 2 10 21

f x =x − x+

( ) 2 2 2 1

f x = x − x+ f x( )= −4x²+4x−1

Exercice n°16. Soit f la fonction définie pour tout x réel par : f x( )=ax²+bx c+

On désigne par C_f sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal

(

^{O i j}^{, ,}^{G G}

)

1) Déterminer les coefficients réels a , b et c tels que C_f passe par le point A(2 ;10), coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse –3 et coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée –6.

2) On considère la fonction g définie pour tout x réel par : g x( ) 2= x²+4x−6

On désigne par C_g sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal

(

^{O i j}^{, ,}^{G G}

)

a) Déterminez les coordonnées du sommet S de C_g b) Tracez C_g

c) Tracez la droite (D) d’équation y=3x−3 et déterminez les points d’intersection de (D) de C_g d) On considère la droite (D’) d’équation y= −9. Existe-t-il des points communs à C_g et à (D’) ?

Exercice n°17. Le coût total de production d'un objet fabriqué par une entreprise, en milliers d'euros, est donné par : ( ) 3 2 7 42

C q = q − q+ , où q désigne la quantité produite (en centaines d'objets). Chaque objet est vendu 200 €.

1) a) Pour q donné, exprimer en milliers d'euros, le revenu de l'entreprise ( )R q b) En déduire le bénéfice ( )B q .

2) a) Résoudre ( ) 0B q =

b) En déduire les quantités d'objets que l'entreprise doit produire pour que son bénéfice soit positif Exercice n°18.

(3)

2) Calculer le prix d’une tonne pour une production de 20 000 tonnes

3) Etudier les variation de C_M et déterminer la production pour que le coût moyen soit minimal

4) Calculer (1)C_M et résoudre l’équation C q_M( )=C_M(1)Interpréter en termes économiques ces résultats Exercice n°19.

Dans la figure ci-contre, ABCD est un carré de côté 8 cm tel que AM=BN=CP=DQ=x (cm) On admet que MNPQ est un carré.

1) A quel intervalle doit appartenir x ?

2) Exprimer l'aire du triangle BNM en fonction de x.

En déduire que l'aire du carré MNPQ est : f x( ) 2= x²−16x+64. 3) Pour quelles valeurs de x l'aire de MNPQ est-elle

a) égale à 40 cm² ?

b) supérieure ou égale à 50 cm² ? c) inférieure ou égale à 34 cm² ? 4) Déterminer les variations de f

5) Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthogonal d'unité graphique 1 cm sur l'axe des abscisses et 0,25 cm sur l'axe des ordonnées.

6) Déterminer la valeur de l'aire minimale du carré MNPQ et la valeur de x correspondante

Exercice n°20. Pour réduire la circulation des véhicules dans le centre d’une petite ville, la municipalité envisage de construire une déviation. Les propriétaires des terrains situés dans la zone où passera la déviation sont prévenus de ce projet. On propose au propriétaire d’un terrain rectangulaire ABCD d’une longueur de 20 mètres et d’une largeur de 10 mètres, de modifier son terrain en retirant x mètres à la longueur et en ajoutant x mètres à la largeur comme l’indiquent les figures ci-dessous. Il deviendrait alors propriétaire d’un nouveau terrain rectangulaire.

Le but de l’exercice est de connaître pour quelles valeurs de x le propriétaire obtient un nouveau terrain d’aire supérieure à l’aire de l’ancien terrain.

1. a. Préciser dans quel intervalle I peut varier x, afin que la modification soit réalisable.

b. Exprimer, en m², l’aire du nouveau terrain en fonction de x. On notera f(x) le résultat.

c. Vérifier que, pour tout nombre réel x de I , ^{f x}

( )

^{= − +}^x² ¹⁰^x⁺²⁰⁰^.

2. Etudier le sens de variation de f sur l’intervalle [0 ; 20] et dresser le tableau de variation de f.

3. Le plan est rapporté à un repère orthogonal (unités : 0,5 cm pour 1 m en abscisse ; 0,5 cm pour 10 m² en ordonnée). On note (C) la représentation graphique de f. Tracer (C).

4. A l’aide de la représentation graphique, représenter sur l’axe des abscisses l’intervalle des valeurs de x telles que le nouveau terrain ait une aire plus grande que celle de l’ancien.

5. Vérifier par le calcul

Exercice n°21. Mr Untel rembourse une somme de 39720 € en trois fois : le 1er versement est de 12000 €, chacun des suivants correspond au versement précédent augmenté de t %. Calculer t, puis en déduire les trois versements.

Exercice n°22. Une entreprise accorde à ses clients deux escomptes successifs de t % et 2t % sur les prix marqués.

1) Exprimez en fonction de t le coefficient multiplicatif correspondant à la baisse totale.

2) Sachant que le pourcentage de la baisse totale doit être compris entre 14,5 % et 28 %, donnez toutes les valeurs entières possibles pour t.

(4)

Exercice n°23. Deux villes A et B sont distantes de 13,2 km.

Un piéton part de A et se dirige vers B à une vitesse constante.

Dans le même temps, un cycliste part de B et se dirige vers A.

Ils se croisent au bout de 44 minutes et le cycliste arrive en A 1h45 plus tôt que le piéton en B.

Quelles sont les vitesses des deux personnes ? Exercice n°24.

Partie A

Le nombre d'or, noté ϕ, est le nombre 1 5 2

+ . Prouver que ϕ²= +ϕ 1 et que 1 ϕ 1 ϕ ^{= −} ^. Résoudre l'équation x²− − =x 1 0. Quel est le lien entre ϕ et cette équation ?

Partie B

Un rectangle de longueur L et de largeur l est appelé rectangle d'or lorsque L l =ϕ. Sur la figure suivante, ABCD est un rectangle d'or, avec : AD b= et DC a= . Retirons de ce rectangle le carré de côté b, comme indiqué sur la figure.

Prouver que le rectangle restant, hachuré sur la figure, est encore un rectangle d'or.

b

a

A B

D C

(5)

LE SECOND DEGRE - CORRECTION

Exercice n°1

5x2−3x=0 ⁵ ² ³ ⁰

(

⁵ ³

)

⁰

0 ou 5 3 0

3 3

0 ou . 0;

5 5

x x x x

x x

x x S

− = ⇔ − =

⇔ = − =

 

⇔ = = =  

 

Cette équation est une équation du second degré résolue par factorisation et application de la règle du produit nul.

L’usage veut que l’on classe les solutions dans l’ordre croissant.

9x2− =4 0

( )

( )( )

2 2 2

9 4 0 3 2 0

3 2 3 2 0

3 2 0 ou 3 2 0

2 2 2 2

ou . ;

3 3 3 3

x x

x x S

− = ⇔ − =

⇔ − + =

⇔ − = + =

 

⇔ = = − = − 

 

Cette équation est une équation du second degré résolue par factorisation grâce à une identité remarquable

( )( )

2 2

a −b = a b a b− + et application de la règle du produit nul

3x2+ =1 0 2 2 1

3 1 0

x + = ⇔x = −3

Or pour tout réel x, x²≥0, donc l’équation n’a pas de solution réelle. S= ∅

²⁻¹⁶ pour poursuivre la factorisation (grâce à l’identité remarquable

( )( )

)

^{= ⇔ − =}⁰ ^x ^{1 0 ou}^x^{+ =}^{7 0}^donc^S^{= −}

{

^7;1

}

^.

Exercice n°3

1)

( )( )

2

2 2

2 2 2

3 3 9 16

( ) 3 4 2 4

2 2 4 2

3 25 3 5 3 5 3 5

4 1

2 4 2 2 2 2 2 2

f x x x x x x

x x x x x x

 

= − − = − × × − = −  − −

 

        

= −  − = −  −  = − −  − + = − +

        

2)

( ) ( ⁽ ⁾ ) ( ⁽ ⁾ )

( )

( ) ( ⁽ ⁾ ) ⁽ ⁾⁽ ⁾

2 2

( ) 2 8 6 2 4 3 2 2 4 3 2 2 1

2 2 1 2 1 2 3 1

f x x x x x x x

x x x x

= − + = − + = − − + = − −

= − − − + = − −

3)

2 2

2 2 1 2 1 1 1 1 1 1

( ) 2

3 9 3 9 3 9 9 3

²¹

)

⁼^{16 84 100}⁺ ⁼ ^. ∆ >0 donc le polynôme admet deux racines réelles distinctes (ou encore, l’équation admet deux solutions réelles distinctes) :

1

4 100

2 7

x =− − = − et ₂ 4 100 2 3

x =− + = . On a donc ^S ^{= −}

{

^7;3

}

^.

( )

⁼⁹^x²⁺⁶^x⁺¹^:^{∆ =}⁶²^{− × × =}^{4 9 1 0}^.^{∆ =}⁰ donc le polynôme admet une unique racine réelle (ou encore, l’équation admet une unique solution réelle) : ₁ 6 1

2 9 3

x −

= = −

× . Ainsi 1

S= − 3

 ^.

¹ ^{1 4 5}. ∆ >0 donc le polynôme admet deux racines réelles distinctes (ou encore, l’équation admet deux solutions réelles distinctes) :

1

1 5

x = −2 et ₂ 1 5

x = +2 . On a donc 1 5 1 5 2 ; 2

S  − + 

=  

 

 ^.

6)

(

x²−⁴x−^{2 -2}

)(

x²+³x+⁴

)

= ⇔⁰ x²−⁴x− =2 0 ou - 2x²+3x+ =4 0 (règle du produit nul) et on retrouve des équations du second degré « classiques »

7) 2 1 5 4 3 5 0

x x

− − − =

+ . L’équation est définie si et seulement si x≠ −3 et x≠0. Pour tout ^x^∈^\^\

{

⁻^3;0

}

^,

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 1 5 3 5 4

2 1 5 4

0 0 2 1 5 3 5 4 0

3 5 5 3

x x x x

x x

x x x x

x x x x

− × − + −

− −

− = ⇔ = ⇔ − × − + − =

+ + (une fraction est nulle si et

seulement si son numérateur est nulle)

( )

2 2 2

10x 5x 5x 4x 15x 12 0 5x 16x 12 0

⇔ − − − + − = ⇔ − + = et on retrouve une équations du second degré « classique » On pouvait aussi mettre en œuvre la technique des produits en croix : Pour tout ^x^∈^\^\

{

⁻^3;0

}

^,

2 1 5 4 2 1 5 4

3 5 0 3 5

x x x x

− − − −

− = ⇔ =

+ +

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )

2 2 2

2 1 5 3 5 4 2 1 5 3 5 4 0

10 5 5 4 15 12 0 5 16 12 0

x x x x x x x x

x x x x x x x

⇔ − × = + − ⇔ − × − + − =

⇔ − − − + − = ⇔ − + =

8) 2 3 3 2

4 4 0

x x

+ +

− =

− + . L’équation est définie si et seulement si x≠ −4 et x≠4. Pour tout ^x^∈^\^\

{

⁻^4;4

}

^,

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2

2 3 4 3 2 4 2 8 3 12 3 12 2 8 21 20

0 0 0

4 4 4 4 4 4

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

+ + − + − = ⇔ + + + − + − + = ⇔ − + + =

+ − + − + −

2 21 20 0

x x

⇔ − + + = (une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nulle)

Pour cette dernière équation, on calcule ∆ =

( )

²¹²− × − ×⁴

( )

¹ 20 441 80 521= + = , donc l’équation admet deux solutions réelles distinctes ₁ 21 521 21 521

2 2

x − − +

= =

− et ₂ 21 521 21 521

2 2

x − + −

= =

− . Ainsi 21 521 21 521

2 ; 2

S =  + − 

 

 ^.

Programme de Terminale S :

On calcule le discriminant de l’équation −2z²+6z− =5 0 :

( ) ( ) ( )

²

62 4 2 5 36 40 4 2i

∆ = − × − × − = − = − =

L’équation admet donc deux racines complexes conjuguées :

( )

1 6 2 3 1

2 2 2 2

z = − − i = + i

× − ^et^z² ⁼²^{− +}^{× −}^{6 2}

( )

²ⁱ ⁼ ^{3 1}^{2 2}⁻ ⁱ

3 1 3 1 2 2 2 2; S= − i + i

 

L’équation

(

^z²⁺²

)(

^z²⁻⁴^z⁺⁴

)

⁼⁰ se réécrit

(

^{z i}⁺ ²

)(

^{z i}⁻ ²

) ⁽

^z⁻²

⁾

² ⁼⁰, et admet donc comme ensemble de solutions ^S ^{= −}

{

ⁱ ^{2; 2; 2}ⁱ

}

(7)

Exercice n°5

1) P est définie si et seulement si x²−3x− ≠4 0 (un dénominateur ne saurait être nul).

La résolution de l’équation x²−3x− =4 0, par le biais du calcul de ^{∆ = −}

( )

³ ²− × × − = +^{4 1}

( )

⁴ ^{9 16 25}= , aboutit à

1

3 25

2 4

x =− − = − et ₂ 3 25 2 1

x =− + = . L’ensemble de définition de P(x) est donc ^\^\

{

⁻^4;1

}

, c’est-à-dire

]

^{−∞ − ∪ −}^{; 4}

[ ]

^4;1

[ ]

^{∪ +∞}^1;

[

^.

Q est définie si et seulement si x²+3x+ ≠2 0 (un dénominateur ne saurait être nul).

La résolution de l’équation x²+3x+ =2 0, par le biais du calcul de ∆ =3²− × × =4 1 2 1, aboutit à ₁ 3 1 2 2

x =− − = − et

2

3 1

2 1 x − +

= = − . L’ensemble de définition de Q(x) est donc ^\^\

{

^{− −}^{2; 1}

}

, c’est-à-dire

]

−∞ − ∪ − − ∪ − +∞^{; 2}

[ ]

^{2; 1}

[ ]

^1;

[

. 2) f est définie si simultanément x²− ≠1 0 et x²+ − ≠x 2 0. La résolution de l’équation x²− =1 0 conduit à x= −1 ou

1

x= . La résolution de l’équation x²+ − =x 2 0, par le biais du calcul de ∆ = − × × − =¹² ^{4 1}

( )

² ⁹, aboutit à

1

1 9

2 2 x − −

= = − et ₂ 1 9

2 1 x − +

= = . f est donc définie sur ^\^\

{

^{− −}^{2; 1;1}

}

, c’est-à-dire

]

−∞ − ∪ − − ∪ −^{; 2}

[ ]

^{2; 1}

[ ] [ ]

^1;1 ∪ +∞^1;

[

. Exercice n°6

1) Si m= −2, l’équation (E) est équivalente à l’équation du premier degré 7

4 7 0

m = − =

× − et

( )

2

1 25

2 1 3

m = + = −

× − . Le signe de ∆ = −_m m²− +m 6 est donc donné par :

-Si ^m^{∈ −}

]

^{3;2 \}

[ { } ]

− = − − ∪ −² ^{3; 2}

[ ]

^2;2

[

, puisque ∆ >_m 0, l’équation (E) admettra deux solutions réelles distinctes.

-Si ^m^{∈ −∞ − ∪}

]

^{; 3}

[ ]

^2;^+∞

[

^{, puisque}∆ <m ⁰, l’équation (E) n’admettra aucune solution réelle.

-Si m = -3 ou m = 2, puisque ∆ =_m 0, l’équation admettra une unique solution réelle.

3) Lorsque les solutions de (E) existent, elles valent

= + = + = =

+ + + + ,

et leur produit vaut :

( ( ) ) ( ⁽ ⁾ )

( )

2 2

1 2 2

2 4 6 2 4 6

2 2

m m m m m m

P x x

m

− − − + + − − +

= =

+

( ) ( ( ) )

( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 4 6 4 4 6 8 4 24 2 6

4 2 4 2 4 2 2

m m m m m m m m m m

m m m m

− − − + − − − + + − + −

= = = =

+ + + +

En calculant le déterminant, on factorise ² ² ^{6 2}

(

²

)

³

m + − =m m+ m−2

 , et ainsi

( )

²

2 2 3

2 3

2 2 2

m m

P m

m m

 

+  −  −

= =

+ +

(8)

Remarque : En utilisant directement les relations entre coefficients et racines, à savoir ₁ ₂ b S x x

= + = −a et _{1 2} c P x x

= = a, on pouvait directement retrouver ces résultats

4) L’équation (E) admet deux solutions x’ et x’’ vérifiant la relation x’x’’=1 si et seulement si ^m^{∈ − − ∪ −}

]

^{3; 2}

[ ]

^2;2

[

^et

2 3

1 2 3 2 5

2

P m m m m

m

= − = ⇔ − = + ⇔ =

+ . Ceci est impossible car si m = 5, l’équation n’admettra aucune solution réelle.

Exercice n°7

1) Notons x et y les deux entiers. Il faut donc résoudre le système 82 164

2 5280

5280

x y x y

xy xy

 + =  + =

 ⇔

  =

 = 1^ère méthode : Par substitution

La 1^ère équation nous permet d’écrire y=164−x. En utilisant la 2^ème équation, on obtient

(

¹⁶⁴

)

⁵²⁸⁰ ² ¹⁶⁴ ^{5280 0}

x −x = ⇔ − +x x− = . Le calcul du discriminant de cette équation fournit

( ) ( )

2 2

164 4 1 5280 5776 76

∆ = − × − × − = = , d’où l’existence de deux solutions réelles distinctes ₁ 164 5776 2 120

x =− − =

− donc y₁=164− =x₁ 164 120 44− = , et ₂ 164 5776

2 44

x − +

= =

− donc y₂=164−x₂=164 44 120− = . Les deux nombres cherchés (qui jouent des rôles parfaitement symétriques) sont donc 44 et 120

2^ème méthode : un résultat du cours

Deux nombres dont on connaît la somme S= + =x y 164 et le produit P xy= =5280 sont racines de l’équation

2 0 2 164 5280 0

x −Sx P+ = ⇔x − x+ = . On retrouve l’équation de la 1^ère méthode.

2) Notons x et y les dimensions du rectangle. Le périmètre du rectangle étant égal à ²

(

^{x y}⁺

)

, et son aire étant égale à xy, il faut donc résoudre le système ²

( )

²²⁰ ¹¹⁰

2800 2800

x y x y

xy xy

 + =  + =

 ⇔

 =  =

 

 . En notant S= + =x y 110 et le produit P xy= =2800, les deux réels sont racines de l’équation x²−Sx P+ = ⇔0 x²−110x+2800 0= . Le calcul du discriminant de cette équation fournit ∆ =110²− × ×4 1 2800 900 30= = ², d’où l’existence de deux solutions réelles distinctes

1

110 900 2 40

x −

= = donc y₁=110− =x₁ 110 40 70− = , et ₂ 110 900 2 70

x +

= = donc y₂=110−x₂=110 70 40− = . Les deux dimensions cherchées sont donc 70 (pour la longueur) et 40 (pour la largeur)

Exercice n°8 On cherche à résoudre le système : ₂ ₂ 5 13 x y x y

 + =

 + =



1) Grâce à la première équation, on écrit y= −5 x, et en substituant cette expression dans la deuxième équation, il vient

( )

² ² ² ² ²

2

5 5 5 5

25 10 13 2 10 12 0 5 6 0

5 13

y x y x y x y x

x x x x x x x

x x

 = −  = −  = −  = −

 ⇔ ⇔ ⇔

 + − =  + − + =  − + =  − + =



2) L’équation x²−5x+ =6 0 se résout en calculant son discriminant qui vaut ^{∆ = −}

( )

⁵ ²^{− × × =}^{4 1 6 1}, d’où l’existence de deux solutions réelles distinctes ₁ 5 1

2 2

x −

= = et ₂ 5 1 2 3

x +

= = , chacune fournissant une solution « pour y », à savoir

1 5 1 5 2 3

y = − = − =x et y₂ = −5 x₂= − =5 3 2. Les deux couples solutions du système sont donc

( ) ( ) ( ) ( )

{

1; 1 2;3 ; 2; 2 3;2

}

S= x y = x y = , c’est-à-dire ^S⁼

{ ( )

^2;3

}

(car x et y jouent des rôles parfaitement symétriques

(9)

Exercice n°9 1^ère méthode :

On utilise la forme canonique :

( )

( ) ( )

( )( )

2 début d'une identité remarquable

2

2 2 2

( ) 4 21

2 4 21

2 25 2 5

2 5 2 5

3 7

P x x x

x

x x

= + −

= + − −

= + − = + −

= + − + +

= − +

2^ème méthode :

On calcule le discriminant de P x( )=x²+4x−21

( )

2 2

4 4 1 21 100 10

∆ = − × × − = = d’où l’existence de deux racines réelles distinctes

1

4 100

2 7

x =− − = − et ₂ 4 100 2 3

x =− + = , qui permettent de factoriser :

(

1

)(

2

) ( ( ) ) ⁽ ^{) (} ⁾⁽ ⁾

( ) 7 3 7 3

P x =a x x− x x− = x− − x− = x+ x− . On retrouve bien le même résultat !

( ) 8 2 8 2

P x = x + x+ . On calcule le discriminant de P x( ) 8= x²+8x+2 82 4 8 2 0

∆ = − × × = d’où l’existence d’une unique racine réelle (dite double) ₀ 8 1

2 8 2

x = − = −

× , qui permet de factoriser le

polynôme :

(

0

)

² ² ²

1 1

( ) 8 8

2 2

P x =a x x− = x− −  = x+ 

   

  .

( ) 3 2 7 8

P x = − x + x− . On calcule le discriminant de P x( )= −3x²+7x−8

( ) ( )

72 4 3 8 47 0

∆ = − × − × − = − < donc on ne peut pas factoriser P x( )= −3x²+7x−8 dans \

2) On calcule le discriminant de f x( )= − +4x 2x²−16 2= x²−4x−16 (attention à ordonner les termes !) :

( ) ( )

2 2

4 4 2 16 144 12

∆ = − × × − = = d’où l’existence de deux racines réelles distinctes ₁ 4 144 2 2 2

x −

= = −

× et

2

4 144

2 2 4

x = + =

× , qui permettent de factoriser : P x( )=a x x

(

− 1

)(

x x− 2

)

=2

(

x− −

( )

2

) ⁽

x−4

^{) (}

=2 x+2

⁾⁽

x−4

⁾

. Exercice n°10

1) L’expression

2 1

( ) 4 3 9

x x

f x = + + est définie sur \, et pour tout x∈\,

9 2 12 4

( ) 36

x x

f x + +

= . On note

( ) 9 2 12 4

P x = x + x+ le numérateur, dont on calcule le discriminant ∆ =12²− × × =4 9 4 0, d’où l’existence de l’unique

racine réelle ₀ 12 1

2 36 6

x = − = −

× permettant de factoriser :

1 2

( ) 9

P x = x+6 , pour en déduire

2 2

1 1

9 6 6

( ) 36 4

x x

f x

 +   + 

   

   

= =

2) L’expression 3 1

( ) 1

4 f x x

x

= + + − est définie sur

]

^−∞^;0

[ ]

^∪ ^0;^+∞

[

, et pour tout ^x^{∈ −∞}

]

^;0

[ ]

^∪ ^0;^+∞

[

^,

(

¹

)

²

3 1 12 4 3 12

( ) 1

4 4 4 4 4

x x x x x x

f x x x x x x

+ + − +

= + − = + − = . On note P x( )=x²−3x+12, qu’il est impossible de factoriser dans \, car son discriminant vaut ^{∆ = −}

( )

³ ²^{− × ×}^{4 1 12}^{= − <}^{39 0}. On ne peut simplifier l’écriture

2 3 12

( ) 4

x x

f x x

− +

=

3) L’expression 2 1

( ) 1

1 1

f x = x + x +

− + est définie sur

]

^{−∞ − ∪ −}^{; 1}

[ ] [ ]

^1;1 ^{∪ +∞}^1;

[

, et pour tout

]

^{; 1}

[ ] [ ]

^1;1 ^1;

[

x∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞ ,

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )

2 1 1 1 1 1

( ) 1 1 1 1 1 1

x x x x

f x x x x x x x

+ × − + −

= + +

− + + − + −

( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2 3

2 2 1 1 3

1 1 1 1 1 1

x x x x x x x

x x x x x x

+ + − + − + +

= = =

− + − + − +

(10)

Exercice n°11 Pour les trois premières inéquations, il est inutile de calculer le discriminant : 5x2−3x≥0 ⁵^x²⁻³^x^{≥ ⇔}⁰ ^{x x}

(

⁵ ^{− ≥}³

)

⁰

On étudie le signe de ^{f x}^{( )}⁼^{x x}

(

⁵ ⁻³

)

Cette inéquation est une inéquation du second degré résolue par factorisation et application de la règle des signes d’un produit

Ne surtout pas oublier de classer les valeurs annulant chaque membre du produit dans l’ordre croissant

4 9x≤ 2 On transpose d’abord tout dans le membre de gauche

( )

²

( )( )

3 3

x x x    

− + ≤ ⇔ ∈ −∞ −   ∪ +∞

3x2+ <1 0 Pour tout réel x, x²≥0, donc l’inéquation n’a pas de solution réelle. S= ∅ Pour les trois inéquations suivantes, on utilise le résultat du cours suivant :

L’expression ax²+bx c+ (a ≠0) a pour signe :

Le signe de a si ∆ =b²−4ac≤0 (avec la possibilité de s’annuler en 2

b

γ =⁻a si ∆ =b²−4ac=0) Si ∆ =b²−4ac>0, et si on note

2 b

α =^{− − ∆}a et

2 b

β =^{− + ∆}a les deux solutions de L’inéquation ax²+bx c+ =0, Alors le signe de l’expression T x( )=ax²+bx c+ est donné par le tableau

Ainsi :

2 6 7 0

x + x− < Etude des racines de l’équation x²+6x− =7 0 . ^{∆ =}⁶²^{− × × − =}^{4 1}

( )

⁷ ⁶⁴

∆ >0 donc L’inéquation admet deux solutions réelles distinctes :

1

6 64

2 7

x =− − = − et ₂ 6 64 2 1

x =− + = . Le signe de l’expression

( ) 2 6 7

T x =x + x− est donc donné par Et l’inéquation admet donc comme solutions ^S^{= −}

]

^7;1

[

2 6 10 0

x x

− + − ≥ ^{∆ =}⁶²^{− × − × −}⁴

( ) (

¹ ¹⁰

)

^{= −}⁴ ^{∆ <}⁰ donc pour tout réel x, − +x² 6x−10 0< , donc l’inéquation n’admet pas de solutions réelles. S= ∅

(

^x²⁻⁴^x⁻²

)(

⁻²^x²⁺³^x⁺⁴

)

^≥⁰ Si on note P x( )=x²−4x−2 et Q x( ) -2= x²+3x+4, il suffit de dresser un tableau de signes de l’expression

(

^x²⁻⁴^x⁻²

)(

⁻²^x²⁺³^x⁺⁴

)

⁼^{P x}^{( )}^×^{Q x}^{( )} en y incluant une ligne consacrée à chacun des polynômes P et Q, dont on sait étudier

(11)

2 2

2 0 9 x x

x

+ − <

−

Si on note ^{P x}

( )

⁼^x²^{+ −}^x ², le calcul du discriminant nous permet de factoriser

( ) (

¹

)(

²

)

P x = x− x+ . Ainsi, pour tout ^x^{∈ −∞ − ∪ −}

]

^{; 3}

[ ]

^3;3

[ ]

^∪ ^3;^+∞

[

^, ² 2

₍ ⁽ ⁾⁽ ₎₍ ⁾ ₎

1 2

2

9 3 3

x x

x x x

− +

+ − =

− − + ,

ce qui permet de dresser le tableau de signes de l’expression

( ) ( )( )

( )( )

1 2

3 3

x x

f x x x

− +

= − + : et de conclure que ^S ^{= − − ∪}

]

^{3; 2}

[ ] [

^1;3

2 2

4 4 15

4 0

x x

x + −

− >

Si on note ^{P x}

( )

⁼⁴^x²⁺⁴^x⁻¹⁵, le calcul du discriminant nous permet de factoriser

( )

⁴ ⁵ ³

2 2

P x = x+ x− 

  . Ainsi, pour tout ^x^{∈ −∞ − ∪ −}

]

^{; 2}

[ ]

^2;2

[ ]

^∪ ^2;^+∞

[

^,

( )( )

2 2

5 3

4 4 15 4 2 2

4 2 2

x x

x x x

 +  − 

  

+ − =   

− − + , ce qui permet de dresser le tableau de signes de

l’expression

( ) ( )( )

5 3

4 2 2

2 2

x x

f x x x

 +  − 

  

  

= − + :

et de conclure que :

] [

5 3

; 2; 2;

2 2

S= −∞ −    ∪ − ∪ +∞

(12)

Exercice n°12

1) Résoudre le système

2 2 0

4 3 0

x x x

− + + >

 − + ≤

× − .

Le signe de l’expression ^{P x}

( )

^{= − + +}^x² ^x ² est donc donné par

et la première inéquation − + + >x² x 2 0 admet donc comme solutions S1= −

]

1;2

[

La deuxième inéquation est 3

4 3 0

x x 4

− + ≤ ⇔ ≥ , et admet donc pour ensemble de solutions ₂ 3 4; S = +∞. L’ensemble des solutions du système

2 2 0

4 3 0

x x x

− + + >

 − + ≤

 est donc 1 2

] [

3 3

1;2 ; ;2

4 4

S S= ∩S = − ∩ +∞ =    

2) La double inéquation 6 2≤ x²+3x− ≤3 17 est en fait un système de deux inéquations du second degré :

2 2

6 2 3 3 2 3 9 0

2 3 3 17 2 3 20 0

x x x x

 < + −  + − >

 ⇔

 

+ − ≤ + − ≤

 

 

Pour la première inéquation 2x²+3x− >9 0, le discriminant du polynôme ^{P x}

( )

⁼²^x²⁺³^x⁻⁹^vaut

( )

2 2

3 4 2 9 81 9

∆ = − × × − = = , d’où l’existence de deux racines réelles distinctes ₁ 3 81 2 2 3 x − −

= = −

× et

2

3 81 3

2 2 2

x =− + =

× . Le signe de l’expression ^{P x}

( )

⁼²^x²⁺³^x⁻⁹^{est :}

et la première inéquation 2x²+3x− >9 0 admet donc comme solutions 1

] [

; 3 3; S = −∞ − ∪2 +∞

Pour la deuxième inéquation 2x²+3x−20 0≤ , le discriminant du polynôme ^{Q x}

( )

⁼²^x²⁺³^x⁻²⁰^vaut

( )

2 2

3 4 2 20 169 13

∆ = − × × − = = , d’où l’existence de deux racines réelles distinctes ₁ 3 169 2 2 4 x =− − = −

× et

2

3 169 5

2 2 2

x − +

= =

× . Le signe de l’expression ^{Q x}

( )

⁼²^x²⁺³^x⁻²⁰^{est :}

et la deuxième inéquation 2x²+3x−20 0≤ admet donc comme solutions ₂ 5 4;2 S = − 

L’ensemble des solutions du système

2 2

2 3 9 0

2 3 20 0

x x

 + − >



+ − ≤

 est donc :

] [ [ [

1 2

3 5 3 5

; 3 ; 4; 4; 3 ;

2 2 2 2

S S= ∩S = −∞ − ∪  +∞ ∩ −  = − − ∪ 

Exercice n°13

1) L’équation X²+X − =6 0 admet deux solutions réelles distinctes 1 25 3

X =− − = − et 1 25 2 X =− + =

(13)

3 2 3

X = − ⇔x = − . Or pour tout réel x, x²≥0, donc l’équation n’a pas de solution réelle. Finalement, ^S^{= −}

{

^{2; 2}

}

En posant X = x, puisque ^x⁼

( )

^x ² ⁼^X², l’équation devient équivalente à X²+X − =6 0, que l’on a résolu au dessus : X =2 ou X = −3 En revenant à la variable x on a : X = ⇔2 x = ⇔ =2 x 4

3 3

X = − ⇔ x = − . Or pour tout réel positif x, x≥0, donc l’équation n’a pas de solution réelle. Finalement, ^S ⁼

{ }

⁴

3) On part de l’inéquation : X²+X − ≤6 0 . ∆ >0 donc L’équation X²+X − =6 0 admet deux solutions réelles distinctes ₁ 1 25

2 3

X =− − = − et ₂ 1 25 2 2

X =− + = et par suite l’inéquation X²+X − ≤6 0 admet pour ensemble de solution ^S^{= −}

[

^3;2

]

A partir de l’inéquation ci-dessus, on sait résoudre :

4 2 6 0

x +x − ≤ L’inéquation est définie sur \ . En posant X =x², puisque ^x⁴ ⁼

( )

^x² ²⁼^X², l’inéquation devient équivalente à X²+X− ≤6 0, que l’on a résolu au dessus : ^X^{∈ −}

[

^3;2

]

En revenant à la variable x on a : ^X^{∈ −}

[

^3;2

]

^{⇔ − ≤}³ ^x²^≤², laquelle double inéquation se décompose en deux : − ≤3 x²≤2 est équivalent à − ≤3 x² et x²≤2

l’inéquation − ≤3 x² a pour ensemble de solutions S₁=\ car pour tout réel x, x²≥0 l’inéquation ^x²^{≤ ⇔}² ^x²^{− ≤ ⇔}^{2 0}

[

^3;2

]

^{⇔ − ≤}³ ^x ^≤², laquelle double inéquation se décompose en deux : 3− ≤ x≤2 est équivalent à 3− ≤ x et x≤2

l’inéquation 3− ≤ x a pour ensemble de solutions S1=

[

0;+∞

[

car pour ^x^∈

[

^0;^+∞

[

^, ^x^≥⁰

La deuxième inéquation donne, pour ^x^∈

[

^0;^+∞

[

^, ^x^{≤ ⇔}²

( )

^x ²^≤

^{( )}

² ²^{⇔ ≤}^x ⁴, et a donc pour solution S2 =

[ ]

0;4 . Finalement, S S= 1∩S2=

[ ]

0;4

Exercice n°14

1) Le polynôme f x( )=x²−2x+7 est de la forme f x( )=ax²+bx c+ avec a=1,b= −2,c=7. Puisque a>0, f est strictement décroissante sur ;

2 b

a

−∞ − 

 

 , c’est-à-dire sur

]

^−∞^;1

]

, et strictement croissante sur

[

^1;^+∞

[

^. f atteint donc son minimum pour x=1, lequel minimum vaut f(1) 1= − × + =² 2 1 7 6. Le tableau de variations et la courbe de f sont :

2) Le polynôme f x( )= − +x² 4x−1 est de la forme f x( )=ax²+bx c+ avec a= −1,b=4,c= −1. Puisque a<0, f est strictement croissante sur ;

2 b

a

−∞ − 

 

]

^−∞^;2

]

, et strictement décroissante sur

[

^2;^+∞

[

^. ^fatteint donc son maximum pour x=2, lequel vaut ^f⁽²⁾^{= −}

( )

² ²^{+ ×}⁴

( )

² ^{− =}^{1 3}. Le tableau de variations et la courbe de f sont :

(14)

3) Le polynôme f x( ) 2= x²−20x+1 est de la forme f x( )=ax²+bx c+ avec a=2,b= −20,c=1. Puisque a>0, f est strictement décroissante sur ;

2 b

a

−∞ − 

 

]

^−∞^;5

]

, et strictement croissante sur

[

^5;^+∞

[

^. ^fatteint donc son minimum pour x=5, lequel vaut f(5) 2 5= × ²−20 5 1× + = −49. Le tableau de variations et la courbe de f sont :

4) Le polynôme f x( )= −3x²−3 est de la forme f x( )=ax²+bx c+ avec a= −3,b=0,c= −3. Puisque a<0, f est strictement croissante sur ;

2 b

a

−∞ − 

 

]

^−∞^;0

]

, et strictement décroissante sur

[

^0;^+∞

[

^. ^fatteint donc son maximum pour x=0, lequel maximum vaut f(0)= − ×3 0²− = −3 3. Le tableau de variations et la courbe de f sont:

Exercice n°15

( ) 2 10 21

f x =x − x+

( ) 2 2 2 1

f x = x − x+ f x( )= −4x²+4x−1 Les coordonnées du sommet sont

( )

5; 5 4

2

b f

a

− = = − 

 

 

Les coordonnées du sommet sont

1 1 1

2 2; 2 2

b f

a

− =  = 

    

 

Les coordonnées du sommet sont

1 1

; 0

2 2 2

b f

a

− =  = 

    

 

La droite d’équation x=5 est axe de symétrie de la parabole représentant f

La droite d’équation x = 1/2 est axe de symétrie de la parabole représentant f

La droite d’équation x = 1/2 est axe de symétrie de la parabole représentant f L’équation ( ) 0f x = admet deux

solutions réelles distinctes

L’équation ( ) 0f x = n’admet pas de solutions réelles

L’équation ( ) 0f x = admet une unique solution réelle

Exercice n°16

1) Si C_f passe par le point A(2 ;10) alors (2) 10f = ⇔4a+2b c+ =10. Si C_f coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse –3, alors ( 3) 0f − = ⇔9a−3b c+ =0. Si C_f coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée –6, alors

(0) 6 6

f = − ⇔ = −c . Nous devons donc résoudre le système

1 1 1 2

2 2 2

4 2 10 4 2 16 0 12 6 48 0 3 30 60 0 3 2

9 3 0 9 3 6 0 18 6 12 0 2 18 6 12 0 2

a b c a b L a b L a L L

a b c a b L a b L a b L

+ + = + − = + − = − = +

   

 − + = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ − − =

   

   

LE SECOND DEGRE – EXERCICES CORRIGES