LE SECOND DEGRE

S6 – Le second degré (exercices)

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LE SECOND DEGRE 1

Exercice : Résoudre les équations suivantes

) 2² − 4 + 7 = 0 ) 3² + − 5 = 0 ) − + 2 + 8 = 0 ) 1

2 ² + 3 +5 2 = 0 ) 2² − + 3 = 0 ) ² − 2 + 1 = 0 ) − 9 = 14 + 5 ℎ) 12² − 5 = 2 ) 9² + 18 + 9 = 0 ) 6² − 13 + 12 = 0 ) − 4+ 84 = 0

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CORRECTION 2 Exercice

) 2² − 4 + 7 = 0

Calcul du discrimant ∶ ∆ = ,² − -./

∆ = 0−4)− 4 × 2 × 7 = 16 − 56 = −40

∆ < 0 donc l⁴équation n⁴admet aucune solution 8 = 9∅;

) 3² + − 5 = 0

∆ = 1² − 4 × 3 × 0−5) = 1 + 60 = 61

∆ > 0 donc l⁴équation admet deux racines

>_?=−, − √∆

A. BC >_A=−, + √∆

A.

_D =−1 − √61

2 × 3 =−1 − √61

6 E =−1 + √61

2 × 3 =−1 + √61 6 8 = F−1 − √61

6 ; −1 + √61

6 H

) − + 2 + 8 = 0

∆ = 2² − 4 × 0−1) × 8 = 4 + 32 = 36

∆ > 0 donc l⁴équation admet deux racines _D =−2 − √36

2 × 0−1) =−2 − 6

−2 =−8

−2 = 4 E = −2 + √36 2 × 0−1) = −2 8 = 9−2 ; 4;

) 1

2 ² + 3 +5 2 = 0

∆ = 3² − 4 × I1 2J ×5

2 = 9 − 5 = 4

∆ > 0 donc l⁴équation admet deux racines _D =−3 − √4

2 × K12L =−3 − 2 1 =−5

1 = −5 E =−3 + √4 2 × K12L = −1 8 = 9−5 ; −1;

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) 2² − + 3 = 0

3

∆ = 0−1)− 4 × 2 × 3 = 1 − 24 = −23

∆ < 0 donc l⁴équation n⁴admet pas de racines 8 = 9∅;

) ² − 2 + 1 = 0

∆ = 2² − 4 × 1 × 1 = 4 − 4 = 0

∆ = 0 donc l⁴équation admet une unique racine

>_N=−, A.

_O=−0−2) 2 × 1 =2

2 = 1 8 = 91;

) − 9 = 14 + 5

⇔ −9− 14 − 5 = 0

∆ = 0−14)− 4 × 0−9) × 0−5) = 196 − 180 = 16

∆ > 0 donc l⁴équation admet deux racines _D =−0−14) − √16

2 × 0−9) =14 − 4

−18 = 10

−18 = −5

9 E =−0−14) + √16 2 × 0−9) = −1 8 = Q−5

9 ; −1R

ℎ) 12² − 5 = 2

⇔ 12² − 5 − 2 = 0

∆ = 0−5)− 4 × 12 × 0−2) = 25 + 96 = 121

∆ > 0 donc l⁴équation admet deux racines _D =−0−5) − √121

2 × 12 =5 − 11 24 =−6

24 = −1

4 E =−0−5) + √121 2 × 12 =2

3 8 = Q−1

4 ; 2 3R

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) 9² + 18 + 9 = 0

4

∆ = 18 − 4 × 9 × 9 = 324 − 324 = 0

∆ = 0 donc l⁴équation admet une unique racine _O=−018)

2 × 9 =−18

18 = −1 8 = 9−1;

On pouvait aussi réduire l’équation dès le départ en divisant le tout par 9.

9² + 18 + 9 = 0 ⇔ 9² + 18 + 9

9 =0

9 ⇔ ² + 2 + 1 = 0 Le résultat serait le même.

) 6² − 13 + 12 = 0

∆ = 0−13)− 4 × 6 × 12 = 169 − 288 = −119

∆ < 0 donc l⁴équation n⁴admet pas de racines 8 = 9∅;

) − 4+ 84 = 0

∆ = 0 − 4 × 0−4) × 84 = 0 + 1344 = 1344

∆ > 0 donc l⁴équation admet deux racines _D =−0 − √1344

2 × 0−4) =−√64 × 21

−8 =−8 × √21

−8 = √21 et = −0 + √1344

2 × 0−4) =+√64 × 21

−8 =+8 × √21

−8 = −√21 8 = S−√21 ; √21T

On peut utiliser une deuxième méthode

−4+ 84 = 0 ⇔ −4 = −84 ⇔ =−84

−4 ⇔ = 21 = −√21 ou = √21