S8 – Second degré (cours)
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SECOND DEGRE 1
I- ETUDE DES FONCTIONS DU SECOND DEGRE 1) DEFINITION
On appelle fonction polynôme du second degré (ou trinôme du second degré) toute fonction définie sur IR, qui peut s’écrire sous la forme :
x → a x² + b x + c (où a, b et c sont des réels et a ≠ 0)
• On dit que a, b et c sont les coefficients de la fonction, c est le terme constant.
• Par abus de langage, on utilise souvent l’expression trinôme du second degré a x² + b x + c au lieu de trinôme du second degré x → a x² + b x + c
Ex :
• Les fonctions suivantes (définies sur IR) sont des trinômes du second degré :
x→ 3 x² + 2 x + 3 , x → 4 x² et x → ( x + 1 ) 3 – ( x – 1 ) 3 (car pour tout réel x, ( x + 1 ) 3 – ( x – 1 ) 3 = 6 x ² + 2 )
• La fonction x → ( x + 1 )² – ( x – 1 )² n’est pas un trinôme du second degré car pour tout réel x , ( x + 1 )² – ( x – 1 )² = 4 x
• La fonction Q définie par : x → ( x + 1 ) ( 2 x² + 3x – 1 )
x + 1 n’est pas un polynôme car elle n’est pas définie sur IR.
Remarques :
Les fonctions affines non constantes définies sur IR sont des polynômes de degré 1.
Une fonction polynôme de degré n, est définie sur IR par x → a n x n + a n - 1 x n - 1 + … + a1 x + a 0 (où n est un entier naturel et a 0 , a1 , … , an sont n + 1 réels)
Ex : f : x→ 3 x5 – 1
2 x3 + 4x est une fonction polynôme de degré 5.
2) FORME CANONIQUE (retenir la méthode)
Propriété – définition : Pour toute fonction polynôme f de degré 2, définie sur IR par f (x) = a x² + b x + c (a ≠ 0), on peut trouver deux réels α et β tels que, pour tout réel x , f (x) = a (x – α)2 + β.
Cette écriture s’appelle forme canonique du trinôme f.
Ex : f (x) = 2 x2 – 12 x + 3 ⇔ f (x) = 2( x – 3)2 – 15 Démonstration :
Comme a ≠ 0, pour tout réel x, a x² + b x + c = x c a x b
a +
2 + Or, x² + b
a x est le début du développement de ( x + b
2a )² = x² + 2 × b
2a x + ( b 2a ) ² Donc, pour tout réel x,
a x ² + b x + c = c
a b a
x b
a +
−
+
2 2
2
2 = c
a b a x b
a − +
+
4 2
2 2
= a
ac b
a x b
a 4
4 2
2 2
− −
+
Donc en posant
a b
−2 α = et
a ac b
4
2 −4
−
β
= , on a : a x² + b x + c = a (x – α)2 + β.Rem : La forme canonique permet de connaître le maximum ou le minimum de f.
Cet extremum vaut β et il est atteint pour x = α. Le coefficient a permet de connaître les variations de f.
3) VARIATIONS Propriété : (Vue en 2nde)
Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur IR par f (x) = a x² + b x + c avec a ≠ 0.
Les variations de f sont données par les tableaux suivants :
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Si a > 0 Si a < 0
2
x - ∞ – b
2a + ∞ x - ∞ – b
2a + ∞
f ( x ) f ( x )
Ex : Soit g la fonction définie sur IR par g (x) = x2 – 4 x + 2. Ici, on a a = 1, b = - 4 et c = 2.
Ainsi – b
2a = 2 et g(– b
2a ) = g (2) = -2. a est positif. On en déduit le tableau de variation de g : x - ∞ 2 + ∞
g ( x )
Rappel : La représentation graphique d’une fonction polynôme de degré 2 dans un repère orthogonal est une parabole dont le sommet S a pour abscisse – b
2a. Il correspond à l’extremum de la fonction. La parabole a pour axe de symétrie la droite d’équation x = – b
2a (parallèle à l’axe des ordonnées). Si a > 0, elle est “tournée vers le haut” et si a < 0, elle est “tournée vers le bas”.
II- EQUATIONS DU SECOND DEGRE ET FACTORISATION DU TRINOME
Une équation du 2nd degré, d’inconnue x, est une équation qui peut s’écrire sous la forme a x² + b x + c = 0 (où a, b et c sont trois réels donnés et a ≠ 0).
Une solution de cette équation est appelée racine du trinôme a x² + b x + c (que l’on notera f).
a ≠ 0, donc, pour tout réel x, a x² + b x + c = 0 ⇔
a ac b
a x b
a 4
4 2
2 2
− −
+ = 0
⇔
− −
+ 2 2
2
4 4
2 a
ac b
a x b
a = 0
On pose ∆ (delta) = b² – 4 ac et on l’appelle le discriminant du trinôme. On a alors :
− ∆
+ 2
2
2a 4a x b
a = 0
Trois cas se présentent : Si ∆∆∆∆ > 0 alors ∆
4a² est le carré de
∆
2a . On peut écrire
∆
−
+
=
2 2
2 ) 2
( a a
x b a x
f . En factorisant, on a
f (– b 2a ) f (– b
2a )
-2
y = – 0,5 x 2 + 2 x + 2 y = 2 x 2 + 4 x + 1
x = -1
x = 2 2 1
2 4
2 = −
×
= −
− a
b 2
5 0 2
2
2 =
−
×
= −
−
) , ( a
b
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3
+ − ∆
+ + ∆
= a a
x b a a x b a x
f( ) 2 2 2 2 . Puisque a ≠ 0, f(x)=0 équivaut à
2 0 ou 2
2 0
2 + ∆ = − + ∆ =
+ a a
x b a
a
x b .
Il y a donc deux solutions distinctes :
et 2
2 2
1 a
x b a
x = −b− ∆ = − + ∆ . Donc f(x)=a
(
x−x1)(
x−x2)
Si ∆∆∆∆ = 0
alors
2
) 2
(
+
= a
x b a x
f . Puisque a ≠ 0, f(x)=0 équivaut à 0
2 =
+ a
x b .Il y a donc une unique
solution
a x b
0 2
= − . Racine double du trinôme. Donc f(x)=a
(
x−x0)
2Si ∆∆∆∆ < 0 alors, puisque a ≠ 0, f(x)=0 équivaut à 2
2
4
2a a
x b ∆
=
+ . Or ∆
4a² < 0 et le carré
2
2
+ a
x b ne peut
pas être strictement négatif. L’équation n’a donc pas de solution. f (x) ne peut pas être factorisé.
Ex : Résoudre dans IR les équations ci-dessous :
6 x² – x – 1 = 0 ( a = 6 , b = -1 , c = -1 ) x² – 3x + 4 = 0 ( a = 1 , b = -3 , c = 4 ) 2x² - 12x + 18 = 0 (a = 2, b = -12, c = 18)
∆ = (-1) ² – 4 × 6 × (-1) = 1 + 24 = 25
∆ > 0, donc l’équation 6 x² – x – 1 = 0 admet deux solutions dans IR : x1 = 1 – 5
12 = – 1
3 et x2 = 1 + 5 12 = 1
2 S = { - 1
3 ; 1 2 }
∆ = (-3) ² – 4 × 1 × 4 = 9 – 16 = – 7
∆ < 0, donc l’équation x² – 3x + 4 = 0 n’a pas de solution dans IR .
S = ∅
∆ = (-12) ² – 4 × 2 × 18 = 144 – 144 = 0
∆ = 0, donc l’équation 2x² – 12x + 18 = 0 admet une solution dans IR :
x 0 = – – 12 2 × 2 = 3 S = { 3 } Remarques :
• Il n’est pas toujours utile de calculer le discriminant : lorsque b = 0 ou c = 0. On peut utiliser une identité remarquable ou factoriser. ex : 4 x² – 9 = 0 , 5 x² – 4 x = 0 , …
• Lorsque a et c sont de signes contraires – 4 a c > 0 donc ∆ > 0 et l’équation a x² + b x + c = 0 admet deux solution distinctes.
5) SIGNE DU TRINOME a x² + b x + c Étudions le signe de f ( x ) = a x² + b x + c ( a ≠ 0 )
• Si ∆∆∆∆ > 0
Soit x1 et x2 les racines du trinôme (avec, par exemple x1 < x2)
On a donc : f ( x ) = a ( x – x1 ) ( x – x2 )
“ a x² + b x + c est du signe de a sauf entre les racines ” Si ∆∆∆∆ ≤≤≤≤ 0 , on utilise la forme canonique : f ( x ) = a (( x + b
2a ) ² – ∆ 4a² )
• Si ∆∆∆∆ = 0 , f ( x ) = a ( x + b
2a ) ² et donc ,
a x² + b x + c est du signe de a et s’annule pour x = – b 2a.
• Si ∆∆∆∆ < 0 , ( x + b
2a ) ² – ∆
4a² est strictement positif et donc, pour tout réel x, a x² + b x + c est du signe de a . x - ∞ x1 x2 +∞
x – x1 – + +
x – x2 – – +
(x – x1) (x – x2) + – +
a(x – x1) (x – x2) signe de a signe de (-a) signe de a
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4
Ex : Résoudre dans IR l’inéquation f (x) < 0 avec f ( x ) = 2 x² + 5 x – 3
∆ = 49 (∆ > 0 ) ; les solutions de l’équation 2 x² + 5 x – 3 = 0 sont donc x1 = -3 et x2 = 1 2
Or f ( x ) est du signe de a = 2 sauf entre les racines. Ainsi l’ensemble des solutions est S = ] – 3 ; 1 2 [
« a x² + b x + c est du signe de a sauf entre les racines si elles existent »
III- RECAPITULATIF ET LIENS AVEC LES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES
∆
∆∆
∆ > 0 ∆∆∆ = 0 ∆ ∆∆∆∆ < 0
Racines de f x1 = – b – ∆
2a et x2 = – b + ∆
2a x0 = – b
2a Pas de racine
Factorisation f ( x ) = a ( x – x1 ) ( x – x2 ) f ( x ) = a ( x – x0 ) ² = a ( x + b
2a ) ² Pas de factorisation
a > 0
Signe de f (x) + 0 – 0 + + 0 + +
a < 0
Signe de f (x) – 0 + 0 – – 0 – –
x’ x
x’ x
x x’
x’
x’ x x
x’ x1 x
x1
x2
x2
x0
x0
