SECOND DEGRE
I- Etude des fonctions polynômes du second degré
1. Définition
Définition On appelle fonction polynôme du second degré une fonction f définie sur Rparf(x) =ax2+bx+c oùa,b etc sont des réels aveca6= 0.
2. Forme canonique Exemples
1) Soit la fonctionf définie surRparf(x) = 2x2+ 4x−6.
f est une fonction polynôme du second degré.
Pour toutxréel,f(x) = 2(x+ 1)2−8 = 2(x−1)(x+ 3).
2x2+ 4x−6 est la forme développée, réduite et ordonnée def(x).
2(x+ 1)2est la forme canonique def(x).
2(x−1)(x+ 3) est la forme factorisée def(x).
2) Déterminer la forme canonique deg(x) =x2−6x+ 7 3) Déterminer la forme canonique deh(x) = 2x2−12x+ 8
Théorème Un polynôme (ou trinôme) du second degré P(x) = ax2+bx+c, avec a6= 0, s’écrit de façon unique sous la forme P(x) =a(x−α)2+β avec α=− b
2a et β =f(α).
L’écriturea(x−α)2+β est la forme canonique du polynôme (ou trinôme)P(x).
Démonstration SoitP(x) un polynôme du second degré de forme réduiteax2+bx+c, aveca6= 0.
P(x) =a
x2+ b ax+ c
a
=a
x2+ 2× b
2a×x+ b2 4a2 − b2
4a2 +c a
=a
"
x+ b 2a
2
−b2−4ac 4a2
#
On développe partiellement : P(x) =a
x+ b 2a
2
−b2−4ac 4a . Si l’on poseα=− b
2a etβ=−b2−4ac
4a =f(α), alors :P(x) =a(x−α)2+β.
3. Sens de variation Théorème
Soitf une fonction polynôme du second degré définie par f(x) =ax2+bx+c, avec a,b,créels eta6= 0, de forme canoniquef(x) =a(x−α)2+β.
Le tableau de variation def est le suivant : a >0
x −∞ α +∞
f(x) ❅
❅❅❘ β
✒
a <0
x −∞ α +∞
f(x) ✒β
❅❅
❅
❘
Démonstration
Soit deux réelsx1et x2 tels quex1< x2, il s’agit de comparer leurs images parf. On utilise la forme canonique et on décompose les étapes de calcul def(x) : f :x7→x−α7→(x−α)27→a(x−α)27→a(x−α)2+β.
Etude du casa >0
• sur ]− ∞;α]
On a successivement : x1< x26α
x1−α < x2−α60
La fonctionx7→x2 est strictement décroissante sur ]− ∞; 0] donc : (x1−α)2>(x2−α)2
a(x1−α)2> a(x2−α)2 cara >0
a(x1−α)2+β > a(x2−α)2+β soitf(x1)> f(x2).
On en conclut quef est strictement décroissante sur ]− ∞;α].
• sur [α; +∞[
On a successivement : α6x1< x2
06x1−α < x2−α
La fonctionx7→x2 est strictement croissante sur [0; +∞[ donc : (x1−α)2<(x2−α)2
a(x1−α)2> a(x2−α)2 cara <0
a(x1−α)2+β > a(x2−α)2+β soitf(x1)> f(x2).
On en conclut quef est strictement décroissante sur [α; +∞[.
Etude du casa <0
• sur ]− ∞;α]
On a successivement : x1< x26α
x1−α < x2−α60
La fonctionx7→x2 est strictement décroissante sur ]− ∞; 0] donc : (x1−α)2>(x2−α)2
a(x1−α)2< a(x2−α)2 cara <0
a(x1−α)2+β < a(x2−α)2+β soitf(x1)< f(x2).
On en conclut quef est strictement croissante sur ]− ∞;α].
• sur [α; +∞[
On a successivement : α6x1< x2
06x1−α < x2−α
La fonctionx7→x2 est strictement croissante sur [0; +∞[ donc : (x1−α)2<(x2−α)2
a(x1−α)2< a(x2−α)2 cara >0
a(x1−α)2+β < a(x2−α)2+β soitf(x1)< f(x2).
On en conclut quef est strictement croissante sur [α; +∞[.
4. Courbe représentative
La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré f de forme canoniquef(x) =a(x−α)2+β dans un repère orthogonal (O;−→
i ,−→
j) est une parabole de sommet S(α, β), d’axe de symétrie la droite d’équation x = α, orienté « vers le haut »sia >0, orientée « vers le bas »sia <0.
sia >0
la parabole est orientée « vers le haut »
1 2 3 4
1 2 3 4
−1
Axe de la parabole
α β
y=f(x)
bb b
bS
sia <0
la parabole est orientée « vers le bas »
1 2 3
−1
−2
1 2 3 4
−1
Axe de la parabole
α β
y=f(x)
b b b
bS
II- Equation du second degré - Factorisation
Définition 1 Une racine d’un polynôme du second degréP(x) est une solution de l’équation P(x) = 0.
Définition 2 SoitP(x) =ax2+bx+c un trinôme du second degré, aveca6= 0.
On appelle discriminant du polynômeP(x) le réel ∆ défini par : ∆ =b2−4ac.
Remarque La forme canonique s’écrit P(x) =a
x+ b 2a
2
− ∆
4a, pour tout réelx.
Théorème
SoitP(x) =ax2+bx+c, aveca6= 0, un trinôme du second degré et ∆ son discriminant.
Si ∆ > 0, alors P(x) admet deux racines réelles distinctes : x1 = −b−√
∆
2a et x2 =
−b+√
∆
2a et, pour tout réelx,P(x) =a(x−x1)(x−x2).
Si ∆ = 0, alors P(x) admet une seule racine réelle : x0 = −b
2a , et, pour tout réel x, P(x) =a(x−x0)2.
Si ∆<0, alorsP(x) n’admet aucune racine réelle et on ne peut pas factoriserP(x).
Démonstration
Déterminer les racines du polynômeP(x) signifie résoudre l’équationP(x) = 0.
On a vu que P(x) = ax2 +bx+c avec a 6= 0 s’écrit sous forme canonique : P(x) = a
x+ b
2a 2
− ∆ 4a . P(x) s’écrit aussiP(x) =a
(x+b2a)2− ∆ 4a2
. 1er cas ∆>0
∆ =√
∆2 doncP(x) s’écrit :P(x) =a
x+ b 2a
2
−
√∆ 2a
!2
. On peut alors facto-
riserP(x) :P(x) =a x+ b 2a+
√∆ 2a
! x+ b
2a−
√∆ 2a
! .
P(x) = 0 ⇔x+ b 2a+
√∆
2a = 0 oux+ b 2a+
√∆ 2a = 0
⇔x=−b−√
∆
2a =x1oux= −b+√
∆ 2a =x2
Le trinôme a bien deux racines réelles distinctes. On a bienP(x) =a(x−x1)(x−x2).
2ème cas ∆ = 0
P(x) s’écrit alors :P(x) =a x+2ab
2 . P(x) = 0⇔x+ b
2a = 0⇔x=−2ab =x0. Le trinôme a bien une unique racine réelle.
On a bien :P(x) =a(x−x0)2. 3ème cas ∆<0
Dans ce cas,− ∆
4a2 >0, donc
x+ b 2a
2
− ∆
4a2 >0 pour toutxréel, l’équationP(x) = 0 n’admet donc pas de solution réelle.
On ne peut donc pas factoriserP(x), sinon il admettrait au moins une racine.
Exemples RésoudreP(x) = 0 et factoriserP(x) lorsque c’est possible dans les cas suivants : 1. P(x) = 5x2−10x−5
∆ = 102−4×5×(−5) = 200 = (10√
2)2 >0, ∆>0 donc l’équation admet deux solutions :
x1=10 + 10√ 2
10 = 1 +√
2 etx2= 10−10√ 2
10 = 1−√ 2.
On en déduit une factorisation deP(x) :P(x) = 5(x−1−√
2)(x−1 +√ 2).
2. P(x) =x2−4x√ 3 + 12
∆ = (4√
3)2−4×1×12 = 0 donc l’équation admet une unique solution :x0= 2√ 3.
On en déduit une factorisation deP(x) :P(x) = (x−2√ 3)2. 3. P(x) = 3x2−4x+ 2
∆ = 16−4×3×2 =−8, ∆<0 donc l’équation n’admet pas de solution.
P(x) ne se factorise pas.
Remarque 1
Lorsqueaetc sont non nuls de signes contraires, le trinômeax2+bx+c a toujours deux racines réelles. En effet ac <0 donc−4ac >0 et ∆ =b2−4ac >0.
Remarque 2
On ne calcule le discriminant que lorsque c’est nécessaire : sib= 0 ouc= 0, c’est inutile.
Si c= 0, on peut factoriser parx.
Si b=0, on a la forme canonique.
Exemples
2x2−3x= 0⇔x(2x−3) = 0⇔x= 0 oux= 3 2 5x2−3 = 0⇔x2=3
5 ⇔x= r3
5 oux=− r3
5 . Remarque 3
Lorsqu’un trinôme du second degréax2+bx+c= 0, aveca6= 0, admet deux racinesx1et x2, alorsx1+x2=−b
a et x1x2= c a . En effet, x1= −b−√
∆
2a etx2= −b+√
∆ 2a .
x1+x2= −b−√
∆
2a +−b√
∆ 2a =−2b
2a =−b a x1×x2= (−b−√
∆)(−b+√
∆)
4a2 = b2−∆
4a2 =b2−(b2−4ac) 4a2 = 4ac
4a2 = c a. Lorsqu’on peut trouver une racine évidente, on obtient facilement l’autre.
Exemple
Déterminer les racines du polynômeP(x) =x2−x−2.
x1=−1 est racine évidente etx1x2= c
a =−2 donc l’autre racine estx2= 2.
Algorithme de résolution d’une équation du second degré III- Signe du trinôme
Théorème
Soit P(x) un trinôme du second degré défini par P(x) = ax2+bx+c avec a 6= 0 et
∆ =b2−4acson dsicriminant.
Le tableau suivant donne le signe deP(x) en fonction dex.
a >0 a <0
∆<0 α
x −∞ +∞
f(x) +
α
x −∞ +∞ f(x) −
∆ = 0 x0=α
x −∞ α +∞
f(x) + 0 +
x0=α
x −∞ α +∞
f(x) − 0 −
∆>0
α x1 x2
x −∞ x1 x2 + ∞ f(x) + 0−0 +
α x1 x2
x −∞ x1 x2 + ∞ f(x) − 0 + 0 − On peut retenir : un polynôme du second degré est toujours du signe de asauf entre ses racines lorsqu’elles existent.
