SECOND DEGRE.
I. Fonctions polynôme de degré 2 ou trinôme du second degré.
1. Définition.
Définition :
Exemples :
2. Forme canonique.
a. Exemples.
Soit f la fonction définie sur par f( x) 2x ² 8x‒10.
b. Cas général.
Soit f la fonction définie sur par f( x) ax² bx c où a , b et c sont des réels avec a non nul.
Propriété : Tout trinôme f( x) a x² b x c avec a, b, c des réels et a non nul peut s écrire :
3. Variations.
a. Exemple.
Soit f la fonction définie sur par f( x) 2x ² 8x‒10.
b. Cas général.
Propriétés admises : La courbe représentative d'une fonction trinôme de degré 2 définie par
f( x) a x² b x c a( x‒ )² est une parabole. Elle admet un axe de symétrie parallèle à l axe des ordonnées et a l'allure suivante :
Si a 0 Si a 0
f est décroissante puis croissante f est croissante puis décroissante
II. Équations du second degré.
1. Exemples.
En utilisant la forme canonique, résoudre l équation 2x ² 8x‒10 0.
3x ²‒6 x 3 0
2x ² 4x 12 0
2. Cas général : résolution de l équation a x² bx c 0 (avec a non nul).
Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme ax² bx c 0 où a, b et c sont des réels avec a non nul. Une solution de cette équation est appelée racine du trinôme
ax² bx c
Soit a, b et c trois réels avec a non nul. On a vu que ax² bx c a
x b
2 a
2
‒ b² 4 a c
4 a .
Théorème : Soit ax ² b x c un trinôme du second degré et b²‒4 ac son discriminant.
3. Applications.
Résoudre au dos les équations suivantes : a) 4 x²‒8 x 7 0
b) ‒2 x²‒3 x 4 c) 3 x²‒ 7
2 x 49 48 0
III. Factorisation et signe du trinôme. Inéquations du second degré.
1. Exemples.
Factoriser puis déterminer le signe de 2x² 8x ‒10. Résoudre alors 2x² + 8x ‒ 10 0.
Factoriser puis déterminer le signe de 3x²‒6 x 3. Résoudre alors 3x ²‒6x 3 0.
2. Cas général.
Théorème admis : Soit ax² bx c un trinôme du second degré et b²‒ 4 ac son discriminant.
Exemples :
Construire le tableau de signes des trinômes suivants : a) f(x ) x ² 6x 5
b) g( x) 2x ² 8 x 8 c) h( x) 3 x² 5x 12 Résoudre les inéquations : d) 3x² 3x 6
e) 2x² 2x 1
2 0
IV. Bilan et lien avec la représentation graphique : A RETENIR.
f est une fonction trinôme du second degré définie sur par f( x) a x² b x c où a, b, c sont des réels avec a non nul. b²‒4a c est le discriminant du trinôme f( x).
a > 0 a < 0
x ‒ ‒ b/2a + x ‒ ‒ b/2a +
f (x ) f (x )
< 0
L équation f ( x) 0 n a pas de solution.
Signe de f( x) :
x ‒ + f(x )
L équation f ( x) 0 n a pas de solution.
Signe de f( x) :
x ‒ + f (x )
= 0
L équation f ( x) 0 a une solutions : x
0= ‒ b 2 a . Signe de
f( x) :
x ‒ b/2a + f(x )
L équation f ( x) 0 a une solutions : x
0= ‒ b 2 a . Signe de
f( x) :
x ‒ b/2a + f(x )
> 0
L équation f ( x) 0 a deux solutions : x
1= b
2 a et x
2= b 2a Signe de
f (x ) :
x ‒ x
1x
2+ f(x )
L équation f ( x) 0 a deux solutions : x
1= b
2 a et x
2= b 2a Signe de
f (x ) :
x ‒ x
1x
2+ f (x )
-1 -2 -3
-1 -2 -3
0 1
1
x y
2 3 4
-1 -2 -3 -4
2 3
-1 -2
0 1
1
x y
2 3
2 3
0 1
1
x y
2 -1
-1
-2
0 1
1
x y
-1 2
0 1
1
x y
