LE SECOND DEGRE

LE SECOND DEGRE

I) INTRODUCTION ET DEFINITION

Faire EX 1: 2 x²2 x – 4 s'appelle la forme développée de f 2 ( x – 1 ) (x + 2 ) s'appelle la forme factorisée de f.

2



^x12



^2–92 s'appelle la forme canonique de f.

faire EX 2 Définition :

On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur ℝ par fx=ax²bxc où a, b et c sont des réels avec a ≠ .0

f s'appelle aussi un trinôme de degré 2.

II) FORME CANONIQUE

faire EX 3 activité sur le drapeau Danois Définition :

Toute fonction polynôme du second degré f définie sur ℝ par fx=ax²bxc avec a ≠0 peut s'écrire fx=ax –² où =– b

2 a et f() = .

Cette forme s'appelle la forme canonique de f.

Démonstration : Pour tout x ∈ℝ f(x) = a( x² + b

a x + c

a ) = a

[ ^

^{x2 ab}

^

^{2– 4 ab22ac}

]

^{= a}

[ ^

^{x2 ab}

^

^{2– b24 a– 4 ac2}

]

^{= a}

^

^{x2 ab}

^

^{2–b2−4 a4ac}

d'où  = – b

2 a et f=– b²– 4 ac 4 a =

Deux manières pour chercher la forme canonique :

a) fx=2x²x – 1=2

[ ^

^x12

^

^{2– 14– 1}

]

⁼²

[ ^

^x12

^

^{2– 94}

]

⁼²

^

^x12

^

^2–92

b) =–2 4=– 1

2 et  = f



^–12



^{= –92} donc f(x) = 2



^x12



^{2– 9}2

Cette forme sert pour déterminer le tableau de variation et l'extrémum (vu en seconde) Propriété :

Si fx=ax –² avec a ≠0 alors :

Si a > 0

x –∞  +∞

f(x) 

Si a < 0

x –∞  +∞

f(x) 

Remarque : La courbe représentative d'un polynôme du second degré est une parabole de sommet S (  ;  ) qui admet pour axe de symétrie la droite d'équation x = .

Exercices : Ex 11 p 26 - EX 4 feuille

III) EQUATIONS DU SECOND DEGRE

A l'aide de la forme canonique de f et en posant  = b²– 4 ac son discriminant, on a donc f(x) = a

[ ^

^{x2 ab}

^

^2–b24 a^{– 4 ac2}

]

^{= a}

[ ^

^{x2 ab}

^

^2– 4a^2

]

Propriété :

Si = 0 alors P(x) = a



^x2 a^b



² et admet une racine double x 0 = – b 2 a

Si > 0 alors P(x) = a



^xb2 a

^

^



^{xb –}2 a

^

^



et admet deux racines – b –





2 a et – b



 2 a Si < 0 alors P n’est pas factorisable dans ℝ et donc n’a pas de racine.

Exemples : Ex 5

exercices : Ex 24 p 27 – 23 p 27 – 37 p 30

IV) SIGNE D'UN TRINOME

Si = 0 alors P(x) = a(x – x0)² donc

x –∞ x0 +∞

(x-x0)² + 0 +

P(x) sg(a) 0 sg(a)

Si > 0 alors P(x) = a ( x - x1) (x – x2) avec x1 la plus petite des racines et x2 l'autre donc

x –∞ x1 x2 +∞

(x-x1) - 0 + +

(x-x2) - - 0 +

(x-x1)(x-x2) + 0 - 0 +

P(x) sig(a) 0 sig(-a) 0 sig(a)

Si < 0

[ ^

^{x2 ab}

^

^{2–b24 a– 4 ac2}

]

>0 donc

x –∞ +∞

P(x) Signe de a Exercices :

Ex 27 p 28 – 29 p 28 Ex 6 – 7 - 8

EXERCICE 1 : Soit f le polynôme du second degré défini par fx=2 x²2 x – 4 1) Montrer que f(x)=2(x-1)(x+2) et que fx=2



^x12



^2–92

3) Utiliser la forme la plus adéquate de f(x) pour : a) calculer f(0) ; f

 ^

^{2 – 12}



^{; f(-2)}

b) résoudre les équations : f(x) = 0 ; f(x) = - 4 ; f(x) = –9 2

c) déterminer le tableau de variation et le minimum de f puis tracer sa courbe représentative

EXERCICE 2 : Montrer qu'il existe 3 réels a, b et c tels que pour tout x∈ℝ 5 x²+20x + 24 = axb²c EXERCICE 3 :

I) LE DRAPEAU DANOIS

Le drapeau Danois est constitué d’une croix blanche sur un fond rouge.

Il mesure 1,5 m de long et 1 m de large et on appelle x la largeur des bandes de la croix blanche.

Le but est de déterminer x pour que l’aire de la croix blanche soit égale à l’aire de la surface rouge.

1) Montrer que cela revient à résoudre l’équation : x² - 5

2 x + 3 4 = 0.

2) a) Développer



^{x – 5}4



² = b) Compléter les égalités suivantes :

x² - 5

2 x + 3

4 = ( x - )² - ( )² + 3

4 =( x - )² - Remarque : cette forme s’appelle la

forme canonique

de x² - 5

2 x + 3 4 3) Répondre au problème.

II) Déterminer les formes canoniques des polynômes suivants puis les factoriser si possible:

f (x) = x² - 7 x + 12 g (x) = x² + 4 x +1 h (x) = x² + 10 x + 27 i (x) = 2 x² + 2 x - 12 j (x) = - 5 x² - 15 x -10 k (x) = 7 x² -14 x + 7 EXERCICE 4 :

Un fermier veut grillager un enclos rectangulaire le long d'un mur pour parquer ses poules. Il a 50 m de grillage dans sa remise.

Déterminer l'aire maximale de l'enclos.

EXERCICE 5 : Déterminer les racines réelles des polynômes suivants :

f(x) = _{3 x}²_{– 3 x – 18} g(x) = _{2 x}²_{16 x32} h(x) = _{5 x}²_{– 2 x3} EXERCICE 6 : Résoudre dans les inéquationsℝ :

– 2 x²14 x – 240 3 x²– x70 4 x²4 x10 EXERCICE 7 : Résoudre dans ℝ l'inéquation : – x²– 2 x3

x²6 x8 0 EXERCICE 8 : Soit le polynôme P(x) = _{2 x}³2 x²– 20 x16

1) Montrer qu'il existe trois réels a, b et c tels que P(x) = x4ax²bxc

2) Résoudre l'inéquation P(x) 0