EXERCICES CORRIGES EXERCICE 1

ENFA - Bulletin du GRES n°3 –juin 1996 page 9

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EXERCICES CORRIGES

EXERCICE 1

L’objectif de l’exercice suivant est de calculer les valeurs des risques α et β associés aux deux hypothèses H

( μ = 117) et H

( μ = 120). C’est l’exercice de base pour comprendre comment l’on calcule ces valeurs.

Dans la pratique, on testerait plutôt l’hypothèse H

( μ = 117) et (contre) H

( μ > 117).

Pour obtenir l’évolution des valeurs de la probabilité d’acceptation de l’hypothèse H

alors que H

est vraie, on prend une suite de valeurs supposées de la moyenne μ de la population sur l’intervalle ]117 ; + ∞ [ (On prendra par exemple μ =118, μ =118,5, μ = 119, μ = 120... ).

On obtient ainsi le tracé point par point de la courbe d’efficacité correspondant au test.

Cet aspect sera développé lors du deuxième exercice.

Calculer les risques α et β dans le cas suivant : H

: µ = 117 g

H

: µ = 120 g

L’écart-type σ de la fabrication vaut 5 g.

La taille n de l’échantillon est 25.

La règle de décision est la suivante : si la moyenne de l’échantillon est supérieure à 119 g alors on décide H

.

Proposition de corrigé :

Posons les hypothèses: H

: " μ = 117 " opposée à H

: " μ = 120 "

Modèle : σ est connu, la V.A. U = X n

− μ

σ suit la loi N (0 , 1)

sous H

:

α = > = > −

= > =

prob X ( 119 ) prob U ( 119 117 ) prob U ( ) , 5

25

2 0 0228 Le risque de refuser H

alors que H

est vraie est d' environ 0,023.

sous H

:

β = prob X ( < 119 ) = prob U ( < 119 − 120 ) = prob U ( < − = ) , 5

25

1 0 1587 Le risque d' accepter H

alors que H

est fausse est d' environ 0,16.

Remarque : La puissance du test est donc de 1-0,16 soit 0,84.

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EXERCICE 2 :

On se propose d’effectuer un contrôle de réception de pièces fabriquées en série.

π étant le pourcentage de pièces défectueuses fabriquées, on confronte les deux hypothèses suivantes :

H

: π = 0,05 il s’agit d’un lot conforme H

: π = 0,08 il faut renvoyer le lot.

Afin de prendre une décision, on extrait de façon aléatoire (EAS) un échantillon de 400 pièces et on fixe à 0,06 la valeur critique pour le pourcentage de pièces défectueuses de l’échantillon.

Calculer les risques de première et de deuxième espèce dans cette situation.

Proposition de corrigé :

On pose H

: " π = 0,05 " opposée à H

: " π = 0,08 "

Modèle : n > 30, la variable aléatoire P : "proportion de pièces défectueuses dans un échantillon de 400 éléments" est approximativement distribuée selon la loi normale :

N ( π ; π ( 1 π ) 400

− )

La règle de décision est la suivante : si on note p la proportion de pièces défectueuses observées dans l' échantillon :

si p < 0,06, on accepte Ho si p > 0,06, on refuse Ho.

Sous H

: α

α

= > = > −

× = >

=

prob P ( , ) prob U ( , , prob U

, , ) ( , )

,

0 06 0 06 0 05

0 05 0 95 400

0 92

0 1788

Le risque de refuser Ho alors qu' elle est vraie est d' environ 0,18.

Sous H

: β

β

= < = < −

× = < −

=

prob P ( , ) prob U ( , , prob U

, , ) ( , )

,

0 06 0 06 0 08

0 08 0 92 400

1 47

0 0708

Le risque d' accepter Ho alors qu' elle est fausse est d' environ 0,07.

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Remarques sur les risques α et β :

α est le risque de refuser Η

alors que Η

est vraie. On peut dire aussi que c'est le risque de refuser un lot qui, pourtant, est conforme.

Le calcul de α se fait donc sous l' hypothèse Η

, ce qui veut dire que dans ce cas, on connaît soit la valeur de μ ,s' il s' agit d' un contrôle de moyenne (exercice 1 : μ = 117 ), soit la valeur de π, s' il s' agit d' un contrôle de proportion (exercice 2 : .π = 0,05 )

Le risque β est le risque d' accepter Η

alors qu' elle est fausse .Ou encore celui d' accepter un lot qui n' est pas conforme. Pour calculer β, il faut donc se placer sous Η

.

Dans les exercices précédents, pour que ce soit plus simple, l' hypothèse Η

était, comme Η

, formulée sous forme d' une égalité ( exercice 1 : μ = 120 ; exercice 2 : .π = 0,08) Ce n' est pas toujours le cas. Pour l' exercice 1, Η

pourrait être " μ ≠ 117 " ( test bilatéral ) où "

μ > 117 " ( test unilatéral ). Cela signifie que sous Η

on ne connaît plus la valeur de μ ou de π.

Il faut donc envisager d' autres valeurs pour ces paramètres.

Reprenons par exemple l' exercice n° 2

Il s' agit, en fait, d' un test de conformité, pour lequel nous poserions les hypothèses ainsi : H

" π = 0,05 " et H

" π > 0,05 ". Un test unilatéral étant ici plus adapté.

Si H

est vraie alors π est supérieure à 0,05, mais nous ne connaissons pas sa valeur. Il faut envisager plusieurs cas, il est intéressant de reprendre le calcul de β pour d' autres valeurs de π, par exemple pour 0,06, 0,07, 0,08, 0,09, 0,1 etc... β est fonction du degré de fausseté de H

. On peut alors représenter ce que l' on appelle la courbe d' efficacité du contrôle :

en abscisse les valeurs de π et en ordonnée la probabilité d' accepter H

.

Sur cette courbe, on peut retrouver le risque α, lorsque π vaut 0,05 (H

est vraie ). Le risque β, lui, dépend de la valeur de π lorsque H

est vraie.

Les calculs, que vous ne manquerez pas de faire, donnent les résultats suivants : si π = 0,05 alors prob (accepter H

) = 1 - α = 0,8212

si π = 0,06 β = 0,5000 si π = 0,07 β = 0,2177 si π = 0,08 β = 0,0708 si π = 0,09 β = 0,0179

si π = 0,1 β = 0,0038 ...etc

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