Courbes d'efficacité de la carte de contrôle par mesures en fonction du pourcentage de pièces défectueuses

R EVUE DE STATISTIQUE APPLIQUÉE

G. R OUZET

Courbes d’efficacité de la carte de contrôle par mesures en fonction du pourcentage de pièces défectueuses

Revue de statistique appliquée, tome 5, n

^o

2 (1957), p. 19-32

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- 19 -

COURBES D’EFFICACITÉ

DE LA CARTE DE CONTROLE PAR MESURES EN FONCTION DU POURCENTAGE

DE PIÈCES DÉFECTUEUSES

par

G.

ROUZET

Ingénieur

^{à la}

Compagnie

^des

Compteurs

Lorsqu’on parle d’efficacité

du contrôle _par mesures, il

s’agit généralemenf

.de

l’efficacité

de chacun des

graphiques

^en

fonction

^du

déréglage

^{soit de la}

moyenne, soit de

l’écart-type.

Cette notion se rattache au

fait

que la loi normale

depend

^{de deux}

paramètres :

^{m eto .}

Mais ce

qui

importe finalement ^{dans le} résultat du contrôle est bien

l’efficacité

^{de celui-ci en} fonction ^{de la} proportion ^de

pièces défectueuses.

En particulier, ^{si l’on veut} coinparer

l’efficacité

de la carte de contrôle aux

calibres à celle de la ^~carfe de contrôle par mesures, il

faut

^le

faire

^en

fonction

d’une même variable : la

proportion

^de

pièces défectueuses.

Dans la

présente

étude, M. Rouzet étudie

l’efficacité

de la carte de contrôle par mesures en

fonction

^du

pourcentage

^de

pièces

défectueuses ^{et montre}

comment elle varie en

fonction

^{de la} nature du déréglage.

1 -

HYPOTHÈSE

1

L’efficacité de la carte de contrôle _par mesures ne peut ^être directement calculée

qu’en

^{fonction du}

déréglage

^{de la} fabrication _par

rapport

^{aux limites de} contrôle initiales

(nous

^{ne nous} intéresserons _{pas ici} ^aux limites de

surveillance).

Pour étudier le

présent problème,

^il faut introduire ^une relation entre le déré-

glage

par rapport ^{aux limites et le}

pourcentage

^de

pièces

défectueuses. Il est donc nécessaire de savoir où ^se situent les tolérances du dessin par

rapport

^{aux limi-}

tes à 2

0~0o

^{de la} fabrication initiale.

Trois cas sont à

distinguer :

1. Les tolérances coïncident avec les limites à 2

o/oo.

^A

l’origine,

le pourcen-

tage

^{raJa de} défectueux est

égal

^{à 2}

o/oo.

^Pour

simplifier,

^{nous écrirons dans}

ce cas ~70 = 0. ^La

dispérsion

de la machine est exactement

adaptée

^{au travail :}

c’est dans ce cas limite que ^{nous nous}

placerons :

^c’est

l’hypothèse 1.

- 20 -

2. Les tolérances sont extérieures aux limites à 2

o/oo.

^{Ce cas est}

plus

^favora-

ble pour la

production.

Or, pour obtenir ^un certain

pourcentage

^{de défectueux}

CJ, il faudra ^un

déréglage plus important

que dans le ^cas

précédent,

par rap- port ^{aux limites à 2}

o/oo,

^{donc par} rapport ^aux limites de contrôle des échantillons. L’efficacité ^sera donc

plus grande.

^{Ce cas est}

plus

^favorable

également

^{pour le contrôle. C’est}

pourquoi

^{nous le}

rejetterons

^{ici au}

profit

^de

l’hypothèse

¹

qui

^en constitue la limite inférieure.

3. Les tolérances sont intérieures aux limites à 2

o/oo.

Autant que cela ^est

possible,

^{ce cas est à exclure}

puisqu’il

entraîne fatalement une

proportion

^~10

de

pièces

défectueuses dès

l’origine.

Même en

supposant

^la moyenne ^{de la} fabrication centrée _par rapport ^aux

tolérances,

ce

qui

conduit à Wo minimum, il y ^{a autant} de

réponses

^au

problème posé

que de valeurs de G?o .

Diverses

hypothèses ^pourront

être faites en

complément

^{de cette étude. On}

obtiendra ainsi des courbes d’efficacité pour

quelques

^{valeurs de CJo .}

III

Il -

ÉFFICACITÉ

DE LA CARTE DE CONTROLE PAR MESURES

La

probabilité d’accepter

^un

pourcentage

^{CD de}

pièces

défectueuses sur la carte de contrôle est le

produit

^{de la}

probabilité

pm

d’accepter

^{sur le}

graphique

des moyennes par la

probabilité

p, ,,

d’accepter

^{sur le}

graphique

^{des étendues}

(nous adopterons

^{le cas courant du}

graphique

^des

étendues).

PA =

Pm X

Pw Nous étudierons successivement pm ^et pw.

III -

ÉTUDE

DE Pm

Soient m et or les

caractéristiques

^{de la} distribution de la fabrication déré-

glée,

^{et soit t} la variable centrée réduite.

A

l’origine,

^{on a :}

et par

hypothèse :

Posons : ^*

Soient t, ^et ts ^les nouvelles valeurs de la variable centrée

réduite,

^corres-

pondant

^à

T;

^et Ts

après déréglage.

^{On a :}

- 21 - de même :

Le

pourcentage

^de

pièces

défectueuses est alors donné par :

D’où la relation entre

X

et

p :

REMARQUES :

1 . La loi normale étant

symétrique,

^il suffit d’étudier les valeurs

positives ^{de X .}

On peut d’ailleurs vérifier _que si l’on

change

^À

^{en - À}

^{les deux relations sont}

identiques :

2. Sur le

graphique

^des ranges, ^il est courant de ne pas considérer la limite de contrôle inférieure

(lorsqu’elle

^n’est pas

nulle).

^On

néglige

^{ainsi le}

déréglage

de

l’écart-type lorsque

^{celui-ci diminue}

(il

^est alors, ^en effet, favorable à la

fabrication) .

Pour

simplifier,

^{nous ferons}

également

abstraction des valeurs de

p

^infé-

rieures à 1 .

En définitive , ^nous étudierons :

Prenons un échantillon de n

pièces.

La distribution des moyennes ^est normale, ^{et de}

caractéristiques:

jm, -20132013) .

A

l’origine,

^les limites de contrôle

LC1

^et

LC2

^sont telles que :

B W

-22-

Après déréglage,

^les nouvelles valeurs de la variable centrée réduite tni ^et tns

correspondant a-Le,

et LCI) ^{sont :}

de même :

La

probabilité d’accepter

^le

déréglage

^{est alors :}

Les relations

(1)

^et

(3)

^nous conduisent bien ^au but recherché

qui

^{est de dé-}

terminer pm ^en fonction de ~ . Toutefois, ^{il faut} _remarquer

qu’il

^{subsiste une}

indétermination due au fait _que p

et À

n’ont à satisfaire

qu’à

^{la relation}

(1)

^{et aux}

inégalités (2)

^{pour une valeur} donnée deCJ . En d’autres termes, ^une même valeur de GJ peut ^{être obtenue avec} différents

couples (p ^{,X ).}

^{Or, ces} différents

couples

conduisent à différentes valeurs de pm.

~

.

On n’obtiendra donc pas ^une courbe d’efficacité du

graphique

^des moyennes, ¹

mais une famille de courbes

comprises

^entre deux limites .

Il reste d’ailleurs à vérifier que les courbes extrêmes de la famille corres-

pondent

^{bien aux valeurs}

extrêmes

^des

paramètres p et X

^{dans le cadre des}

inégalités (2 ) .

On a, en effet :

avec :

-23- et : .

o

D’ou

dpm :

Or,

p ^{et X}

^{sont liés par la} condition :

Si l’on considère ~ constant et que ^l’on écrit de¡¡ = 0, ^on obtiendra le même

développement

que dans le calcul de

dp~ ,

^{avec n = 1 . Nous avons donc immédia-}

tement le

résultat, qui

^{s’écrit :}

d’où :

La variable conservée

étant À ,

^{on a donc} pour

dpm :

/’ Sous cette forme,

pour À

⁼ 0, ^{on obtient}

dPm

^{= 0. Le cas où seul}

l’écart-type

est

déréglé

^{constitue donc bien un cas limite où} pm ^est maximum.

- 24 -

dp,,,

Ecrivons maintenant

sous

_dÀ ^{la forme}

^suivante,

^en supposant X

-7É

^{0 :}

Or :

, ,

Mais, ^nous avions

plus

^{haut :}

qui

peut s’écrire :

Or,

pour

À positif,

^{on a}

évidemment2013~-~~0

^{pour {¡f constant.}

d’où :

1 - -, J, ,

d pr,,

Revenons au calcul

de"."2013nous

QÀ ^{avons donc :}

L’expression

^entre crochets est donc

positive :

- 25 -

et tous les autres facteurs étant

positifs (puisque À::&#x3E; 0),

^{on en déduit} que :

Lor sque

^{À croit de 0 à sa valeur maximum} obtenue pour

p

décroissant

égal

^à

1, ^la valeur de p~ diminue constamment.

Le cas où seule la moyenne ^est

déréglée

^{constitue donc bien un cas limite où}

p, ^est minimum dans le cadre des

inégalités

Pour illustrer ce

résultat,

prenons ^un

exemple :

CD-=0,50 ^{n = 4}

Le lieu des

couples (p ^{i~ )}

satisfaisant à

(1)

^{et aux}

inégalités (2)

^{est donné}

par le

graphique

^{de la}

figure

^1.

Le

graphique

^{de la}

figure

² donne les valeurs de p, obtenues _{par la} relation

(3)

^{en fonction des} différentes valeurs de X

(et

^de

p correspondant).

Fig.l-

F 3’= - F 3’ Og + À = 1- Q ⁽¹⁾

^{Fig.2 -} Probabilité _p~ d’accepter ^aur le gra-

’ ~ ’ ~

phiquedesmoyennea pourcj=0,50etn=4 ⁴

Courbe ( 1 ) ^{en À et} p pourTT ⁼ C~’ = 0, 50 ^en fonction de a

(et

^de _p correspondant)

- 26 -

Deux remarques

supplémentaires

peuvent être faites :

1. La borne inférieure _{de pm}

correspond

^au

déréglage

^de la moyenne seule.

L’efficacité est maximum dans ce cas.

La borne

supérieure

de p,

correspond

^au

déréglage

^de

l’écart-type

^seul.

L’efficacité est minimum dans ce cas.

2. Dans le cas du

déréglage

^de

l’écart-type

^{seul, on a À = 0 : on voit dans la}

relation

(3)

que pm ^est alors

indépendante

^{de n.}

D’autre

part,

^{J on voit} immédiatement _que dans ce même cas, J on a :

Pm ^{= 1 - u.r}

Faisons maintenant varier tA} et n. D’où le

graphique

^{de la}

figure

³

qui

^{se lit} ainsi, J pour ⁿ donné :

Selon le mode de

déréglage

conduisant à la

proportion GT

^de

défectueux,

^{la cour-}

be d’efficacité est

comprise

^{entre la courbe}

indiquée

pour la valeur de

n (cas

^{du dé-}

réglage

de la moyenne

seule)

^{et la droite A}

(cas

^du

déréglage

^de

l’écart-type seul).

IV .

ÉTUDE

DE Pw

Soit

H 2013- , n)

^{la fonction de}

répartition

^du

rapport ~

^{or obtenu avec un échan -}

tillon de n

pièces.

La moyenne ^de la distribution n’intervenant pas, pw ^est insensible au déré-

glage ^Â

^de la moyenne;

pw

^ne

dépend

que ^de p .

A l’origine,

^{on a 0*0 et} la limite à 999

0~0o

^{est donnée}

par [JL =20132013 ,

0 ^{, telle que :}

Si (j = P (j 0 , on a :

et la

probabilité

Pw

d’accepter

^{est :}

Le

graphique

^3bis donne les courbes de Pw ^{en fonction de}

p

pour différentes valeurs de n.

V -

ÉTUDE

DE PA

La

probabilité _pA d’accepter

^est

égaie

^au

produit pm X

pW. Or, prenons ^un

pourcentage

^{CJ donné :}

Lorsque X

^{croît de 0 à sa valeur maximum,} Pm diminue.

Dans le même temps p ^{décroît et}

pw augmente.

Il faut donc vérifier encore que les deux courbes limites de la famille _que nous obtiendrons _pour p,,~

correspondent

bien au

produit

^des valeurs p~ des courbes limites du

graphique

^{de la}

figure

3 par les valeurs de

pw correspondantes.

On a :

- 27 -

a

~ a0 ⁱ

^t.4

.

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~

"

0’

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- 28 -

dpw

Mais, ^comme _{pm, Pw} ^et

ne ^peuvent

être obtenus que par courbes ^{ou ta-}

bleaux,

^{on ne} peut ^{mener le}

même

^calcul que celui

qui

^{nous a conduits}

à dp,,,

^m

bleaux,

^{on ne} peut ^{mener le} même calcul _que celui

qui

^{nous a conduits}

a ...

.

^QA

dpa

On pourra vérifier dans

plusieurs

^cas différents

que .

reste constamment

négatif.

Nous nous bornerons ici à un

exemple.

Prenons encore SJ ⁼

0, 50

^{et n = 4.}

La valeur de

pA

^est

portée

^{sur le}

graphique

^{de la}

figure

⁴ pour ^les différen- tes valeurs

deX ,

^{et les} valeurs de

p correspondantes.

On voit que les valeurs limites de pA

correspondent

^{bien aux} valeurs limites des

couples (À p ).

Les courbes limites seront donc encore dans ce cas les courbes d’efficacité

correspondant

^au

déréglage.

- de la moyenne seule, d’une

part,

- de

l’écart-type ^seul,

^d’autre

part.

Les

graphiques

^des

figures ^{5, 6,}

^{7, 8, 9 et 10}

représentent

le faisceau formé par les courbes de la famille pour différentes valeurs ^{de n.}

VI - CONCLUSION

Cette étude montre que l’efficacité ^de la carte de contrôle _par mesures en

fonction du

pourcentage

^de

pièces

défectueuses est variable dans des

proportions importantes

^{en fonction de la nature du}

déréglage.

Par

exemple

^{sur le}

graphique

^{de la}

figure

^{10, on} voit que dans le cadre de

l’hypothèse

^{1 et pour n = 10, la}

probabilité d’accepter

^un

déréglage

^{donnant 10}

%

de

pièces

défectueuses est presque nulle ^{si le}

déréglage

^affecte

uniquement

^la

moyenne ^de la distribution, ^alors

qu’elle

^reste

supérieure

^{à 50}

^%

^{si le}

déréglage

affecte

uniquement l’écart-type.

Rapnelons

que ^si l’intervalle de tolérances est

supérieur

à l’intervalle entre les limites à 2

o/oo,

^la moyenne étant

supposée

^centrée par

rapport

^{aux tolé-}

rances, l’efficacité est

plus grande.

Enfin,

^{il est} intéressant de comparer l’efficacité de la carte au calibre à celle de la carte aux mesures .

Dans le cas de

l’hypothèse

^{1, on}

s’aperçoit

que la courbe d’efficacité du con-

trôle au calibre pour ^une taille n de l’échantillon

(voir figure 11)

^est intérieure à la zone d’efficacité de la carte de contrôle _par mesures pour la même taille ⁿ d’échantillon.

L’efficacité du contrôle au calibre,

plus

^{faible dans le cas de}

déréglage

^{de la}

moyenne

(cas fréquent)

^{est donc un} peu

supérieure

^{dans le cas de}

déréglage

^de

l’écart-type

^seul.

- 29 -

GJ

~

...

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