R EVUE DE STATISTIQUE APPLIQUÉE
A. V ESSEREAU
Efficacité et gestion des cartes de contrôle
Revue de statistique appliquée, tome 18, n
o1 (1970), p. 21-64
<http://www.numdam.org/item?id=RSA_1970__18_1_21_0>
© Société française de statistique, 1970, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Revue de statistique appliquée » (http://www.
sfds.asso.fr/publicat/rsa.htm) implique l’accord avec les conditions générales d’uti- lisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou im- pression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou im- pression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
EFFICACITÉ ET GESTION DES CARTES DE CONTROLE
A. VESSEREAU
SOMMAIRE
Pages
1. GENERALITES ... 22 2. EFFICACITE DE LA CARTE DE CONTROLE DES MOYENNES. 25 2.1. Relations Générales... 25
2.1.1. Relation entre la
proportion
de défectueux et lesparamètres
dedéréglage ...
252.1.2. Probabilité
d’accepter
leréglage
àpartir
d’unprélèvement
de npièces ...
262.2. Courbes d’efficacité pour le
dérèglage
de la moyenne.. 27 2.3. Courbes d’efficacité pour ledérèglage
del’écart-type..
293. EFFICACITE DE LA CARTE DE CONTROLE DES ETENDUES ET DE LA CARTE DES ECARTS-TYPES... 30 4. EFFICACITE DANS LE CAS D’UNE SEULE LIMITE DE TOLE-
RANCE... 32 5. COMPARAISON DES EFFICACITES DES DIFFERENTS TYPES
DE CARTES... 33 5.1. Efficacité pour un
déréglage
de la moyenne et pour undéréglage
del’écart-type...
335.2. Choix "à
priori"
d’un effectif d’échantillon ... 35 6. INTERPRETATIOND’UN
DEREGLAGE SIGNALE PAR LA CARTEDES MOYENNES ... 35 6.1. Durée d’attente du
premier point
hors limites... 35 6.2. Limitesupérieure
de laproportion
de défectueux entredeux
points
"hors limites" ... 36 6.2.1. Cas d’undéréglage unique
de la moyenne... 36 6.2.2. Cas d’undéréglage progressif
de la moyenne .. 12Pages
6.3. Limite
supérieure
de laproportion
de défectueux dansla tranche
qui
contient lepoint
"hors limites"... 437. CHOIX DE L’EFFECTIF D’ECHANTILLON ET DECISION EN CAS DE DEREGLAGE ... 44
7.1. Choix de l’effectif d’échantillon ... 44
7.2. Décision en cas de
dérèglage...
46TABLES... 49
1. Valeurs de n telles que P
(probabilité d’acceptation) ~ 0,10
49los 6-1
2. Valeurs de P telles quelog
P -x
et x= 1- P (P
=0,10
et 0,05)
... 503. Valeurs
de Xr - 4,37 n
+ 71.’ et valeurs dep
en fonction de 0 -...
51A NNE XE S ... 53
1. Courbes d’efficacité pour le
déréglage
de la moyenne 2. Courbes d’efficacité pour ledéréglage
del’écart-type
2. a. Carte des étendues 2. b. Carte desécarts-types
3.Proportion
maximale de défectueux suivant le nombre de tranchesacceptées (Dmax
etBjaax)...
551 - GENERALITES
Le contrôle en cours de fabrication par cartes de contrôle et le con-
trôle de
réception
sontgénéralement présentés
defaçon
distincte.Cependant lorsqu’un
fabricant exécute une commandequi
feral’objet
d’un contrôle deréception,
ce sont lescaractéristiques
de celui-ci(courbe d’efficacité,
niveau dequalité acceptable, qualité limite) qui
devraient êtreprises
en considé- ration pour déterminer les conditions de contrôle de la fabrication. Dans la suite de cetexposé,
on seplacera
dans le cas usuel où la distribution du caractère controlé est normale.Supposons
que lespièces
doivent êtreinspectées
parrapport
à deux limites detolérance, Tg
etTi,
et que la machine soitcapable
deproduire
des
pièces
bonnes enproportion
voisine de 100% -
ce qui se traduit par la conditionpratique Tg - Ti
>6 03C3o, 03C3o désignant l’écart-type lorsque
la machinefonctionne correctement. Si
Ts - Ti =
6 60(rigoureusement
6,18(0)’
et si la machine estréglée
à la moyennemo =1 2 (Ti
+T ),
laproduction
serabonne,
en l’absence dedéréglage,
dans laproportion
de99,8%.
Le contrôle s’effectuant sur des
prélèvements
de npièces,
avec, pour la carte des moyennes, les limitesclassiques
ma ±3,09 03C3oo/n,
tout déré-glage,
si minime soit-il - de la moyenne ou del’écart-type -
se traduit parl’apparition plus
ou moinsrapide,
d’unpoint
"hors limite"(des points
"hors limite"apparaitront aussi,
en l’absence dedéréglage,
dans laproportion de
0,2%).
Or ledéréglage peut
être sansconséquence pratique
si le contrôle deréception -
ouplus généralement
si la"qualité
recherchée" -"accepte"
une
proportion
nonnégligeable
depièces
défectueuses. C’est d’ailleurs la raison pourlaquelle
il estconseillé, lorsqu’une
machine est"trop précise
pour la
qualité recherchée", d’adopter
des "limites de contrôle modifiées"tracées à
partir
des limites de tolérance. D’un autrecôté, lorsqu’un point apparait
hors deslimites,
celapeut
être l’indication d’undéréglage impor-
tant
qui
a pu seproduire
à un instantlargement
antérieur si lapériodicité
des
prélèvements
estfaible,
et ilpeut
en résulter uneproportion inaccep-
table depièces
défectueuses dans la fabrication. Les considérationsprécé-
dentes
s’appliquent également
à la carte des étendues et à la carte desécarts-types.
Les courbes d’efficacité du contrôle de
réception - qu’il
soit par attri- buts ou par mesures - sont tracées enportant
en abscisse laproportion
p de défectueux(cf.
MIL STD 105 D et MIL STD414)
et en ordonnée la pro- babilitéd’acceptation P(p), qui
a unesignification
bienconcrète, puisqu’elle représente
laproportion
de lots de laqualité
pqui
serontacceptés.
Dans les courbes d’efficacité de la carte de contrôle par
attributs ,
c’est aussi p que l’onporte
enabscisse,
et, dans lesexemples
que l’on donne pour illustrer l’efficacité de cecontrôle,
les valeurs de p correspon- dant à une machine correctementréglée (probabilité d’acceptation
99,9%)
sont
généralement
de l’ordre de 1%,
2%,
5%... :
ce sont des valeurs cou-rantes d’un
NQA.
Par contre, pour définir l’efficacité de la carte de contrôle par me- sures, on
porte généralement
enabscisse,
non pas laproportion
p de dé-fectueux,
mais un"paramètre
dedéréglage" :
03BB
= m-m 0 ,
pour la détection d’undéréglage
de la moyenne,p = o/o ,
pour la détection d’undéréglage
del’écart-type.
l’ordonnée étant la
probabilité P(B)
ouP(p) d’accepter
leréglage".
L’avantage
des courbes ainsi tracées estqu’elles
nedépendent
que de l’effectif d’échantillon n - pour la carte des moyennes, la courbeP(p)
est mêmeunique (indépendante
den).
Si l’on se limite aux valeurs usuelles den :
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16,
20,25,
on a, pour la carte des moyennes 11 courbesP(B)
et une courbeP(p),
pour la carte desécarts-types
11 courbesP(p)
et pour la carte des étendues(où
n ~12)
8 courbesP(p).
Maisles inconvénients sont les suivants :
Les courbes d’efficacité du contrôle en cours de fabrication ne sont pas
comparables
à celles du contrôle deréception.
La
signification
concrète desprobabilités P(B)
etP(p) dépend
de l’im-portance
de la tolérance parrapport
àl’écart-type
de la machine.On ne
peut
pas tracer sur un mêmegraphique
-ou sur desgraphiques
directement
comparables -
les courbesP(B)
etP(p) ;
etcependant
leur inté- rêtpratique
est le même : détection d’undéréglage producteur
dedéfectueux , quelle qu’en
soitl’origine.
L’attitude à
adopter lorsque
l’une ou l’autre des cartessignale
un dé-réglage
n’est pas définie : faut-ilsimplement procéder
à un nouveauréglage ,
ou convient-il aussi de vérifier à 100
%
unepartie -
etlaquelle -
despièces
antérieurement
produites ?
Dans
les §
2 à4,
onrappellera
d’abord comment il estpossible
deconstruire les courbes d’efficacité du contrôle en cours de fabrication en
fonction de la
proportion
p de défectueux(cf. Bibliographie [1 ], [2], [3 ],[4])
Les courbes
dépendront
de latolérance,
c’est-à-dire(dans
le cas de deuxlimites de
tolérance)
duparamètre e - 1 (T - T ).
Pour 11 valeurs de net 10 valeurs de
8 ,
il y aurathéoriquement,
pour la carte des moyennes ,un réseau de 110 courbes
P(p ; 8,n) correspondant
audéréglage
de lamoyenne et un réseau de 10 courbes
P(p ; 8) correspondant
audéréglage
del’écart-type ;
pour la carte desécarts-types
il y aura un réseau de 110 courbes P(p ; 0, n)
et pour la carte des étendues(n ~ 12)
un réseau de 80 courbes. Faisons ici observer que les "MIL STD 105 D" contiennent 152 courbes d’efficacité et que les MIL STD 414 en contiennent 148.On montrera ensuite
qu’il
suffit de deuxgraphiques (ou
trois pour la commodité deslectures) - l’un
pour ledéréglage
de la moyenne, l’autre pour ledéréglage
del’écart-type -
pour construire les courbes d’efficacité cor-respondant
à des valeursquelconques
de 0 et de n.On traitera comme cas
général (§2
et3)
celui où il y adeux
limites de toléranceTs
et1B,
la machine étant initialementréglée
à la moyenneet on posera :
L’écart-type
de la machine étant 03C3o, on admettra que T >503C3o (pour
T = 5
60,
la machineréglée
au mieuxproduit 1,2 %
depièces défectueuses).
Le cas d’une seule limite de tolérance
(Ta
ouTi)
s’en déduira facile- ment(§ 4).
Dans
le §
5 on constatera la faible efficacité des cartes de contrôle àl’égard
desdéréglages
del’écart-type,
cequi
conduira à neretenir,
dans lasuite,
que lesdéréglages
de la moyenne lus sur la carte des moyennes.Les courbes d’efficacité
correspondantes permettent
de choisir "àpriori"
l’effectif d’échantillon en vue d’une efficacité recherchée.
On introduira
au §
6 la notion de"risque
de ne constater ledéréglage qu’après
que celui-ci a étéaccepté
sur un nombre donné deprélèvements".
Cette notion sera utilisée
au § 7
pour le choix de l’effectif d’échantilloncompte
tenu d’une information sur la stabilité du processus et surl’impor-
tance du
déréglage
àcraindre,
ainsi que pour déterminer l’attitude àadopter
lorsque
la carte de contrôlesignale
undéréglage.
2 - EFFICACITE DE LA CARTE DE CONTROLE DES MOYENNES 2.1 - Relations
générales
Dans le cas le
plus général,
la moyennedevient,
par suite d’un déré-glage
m =mo +
d(d
> 0 ou0)
etl’écart-type
devientpa (on
ne s’inté-resse
qu’aux
valeurs de p >1).
2.1.1 - Relation
entre laproportion
de défectueux et lesparamètres
de
déréglage
La
proportion
de défectueux estEn
désignant
parF(u)
la fonction derépartition
de la loi normale ré-duite,
on a :D’où,
enposant
Sous le
réglage
initial(B = 0,
p =1),
laproportion
de défectueux est:Sie=3,09,p = 0,2 %.
2.1.2 - Probabilité
d’accepter
leréglage à partir
d’unprélèvement
den
pièces
a) Limites mo ± 3,09 03C3o/n.
Ces limitescorrespondent
à uneprobabilité
0,998lorsque
la moyenne estégale
à mo etl’écart-type
à o.. Des tables[5] donnent,
touscalculés,
les coefficientsAc
=3,09/Vn.
Pour un déré-glage d,
laprobabilité
que la moyenne duprélèvement
tombe à l’intérieur des limites de contrôle s’obtient comme ci-dessus.b)
Limites modifiées - Les limites modifiéesgénéralement adoptées lorsque
8 >3,09,
sont tracées àTs - G 03C3o
etTi
+ G03C3o,
avec G =3,09 - 3, 09/ n.
Les coefficients G sont donnés en fonction de n dans les tables[ 5 ] .
Il suffit de
remplacer
dansl’expression (2) 3, 09
parn(03B8 - G) = n(03B8 - 3, 09
+3,09/Vn) = 3, 09
+n(03B8 - 3, 09).
D’où :Pour un
déréglage
de la moyenne, l’efficacité est alorspratiquement
la même que dans un contrôle avec les limites à ± 3 , 09
03C3o/n,
et des tolé-rances
TI , T.’
telles queT’s - T’i 203C3o = 03B8’ = 3,09 (cf. § 2.2 ci-après).
Plus
généralement,
onpeut prendre
pour G la valeur :8’
ayant
une valeurquelconque comprise
entre3,09
et 0. On aura alors :et l’efficacité sera la même que dans un contrôle avec les limites à i
3,09 60 /n et
des tolérancesT, T’
telles queT’s - T’i 203C3o = 03B8’ (cf. § 2.2).
Dans ce
qui suit,
on étudiera successivement ledéréglage
de lamoyenne
(B variable,
p =1)
et ledéréglage
del’écart-type (p variable,
x =0).
2.2 - Courbes d’efficacité pour le
déréglage
de la moyenne - Les relations(1), (2), (3)
et(4)
s’écrivent :2a - Limites à
±3,09 03C3o/n
3a - Limites modifiées avec e’ =
3, 09
4a - Limites
modifiées,
casgénéral : 3, 09
9’0 .
Ellesappellent
les remarquesci-après.
Relation la - Le terme F
(- 03B8 - 03BB)
estnégligeable (inférieur
à0, 0005,
ou0,05 %) lorsque
03B8 + 03BB~3,3,
ouX k3,3 - 03B8.
Il en esttoujours
ainsilorsque
0
~ 3,3.
Alors p = F(-0+B)
nedépend
que de B - 0. Endé signant
paruP
le
quantile
d’ordre p de la variable normale réduite[Pr(u u ) = p]
on a :Il en résulte que, dans le
plan (B, 0),
les courbes à p =Cte
sont, dans laquasi- totalité
de leur parcours, des droitesparallèles ;
les droites secourbent
légèrement
pour 83,3
et lespetites
valeurs de p.Relation 2a -
(limites
à ±3,09 03C3o/n).
Si l’onnéglige
le termeF[-03BB n - 3,09], onau
--BVn
+3,09.
Dans leplan (À, P),
si l’ongradue
l’axedes abscisses
arithmétiquement
enB,
et l’axe des ordonnées suivant une"échelle
gaussienne",
lespoints
de coordonnées(03BB P)
décrivent un réseaude droites ne
dépendant
que de n. Pour lespetites
valeurs de ÀVn,
la re-lation exacte P =
F[-BVn’+ 3, 09] - F[-03BB n - 3,09] entraine
unelégère
courbure à l’extrémité des
droites, qui rejoignent
toutes lepoint
de coor- données(B
=0,
P = 99,8%).
Relation 3a -
(limites
modifiées avec 03B8’ =3,09).
Les limites modifiéessupposent
8 >3, 09.
Dans cesconditions,
le termeF[- n[03BB + (03B8-3,09)] -
3,09]
estnégligeable :
pouro=3.2etn=2,il
est auplus égal (B
=0)
à0, 0006 (0, 06 %).
La relation s’écrit :ou encore :
Le terme F
(-03B8 - 03BB)
est aussipratiquement négligeable
dans la rela- tion la.L’efficacité est donc
pratiquement
la même avec les limites à±
3,09 03C3o/n
et 8 =3,09 (pratiquement
0 =3,1)
et avec les limites modi-fiées,
pour 8quelconque
> 3,1.Relation 4a -
(limites modifiées,
casgénéral).
Le raisonnementprécédent s’applique
à fortiorilorsqu’on
construit les limites modifiées àpartir
d’une valeur 8’ > 3,09. L’efficacité est alors celle que l’on obtient avec les li- mites à ± 3,09(Jo IVn lorsque
0 estégal
à la valeur 6’ choisie.Construction d’une courbe d’efficacité pour 03B8 et n donnés.
Les remarques
précédentes permettent
de rassembler sur un mêmegraphique
les éléments nécessaires pour la construction d’une courbe d’effi- cacitéquelconque
P =P (p ; 0 , n).
1/
On se donne une"gamme
utile" pour laproportion
de défectueux p, parexemple p (%) = 0,1 ; 0,2 [0,2]
1[0,5]
5[1]...
La relation(la) donne,
pour les valeurs de 8 = 2,5[0,1]
5, les valeurscorrespondantes
de B. Dès que 8 ~3,3,
on apratiquement
B = 0 +up.
On
gradue
l’axe des abscissesarithmétiquement
en À et l’axe desordonnées
arithmétiquement
en 0(à
droite sur le schémaci-après) ;
ontrace le réseau de droites
parallèles
à p =C te :
2/
On calcule au moyen de la relation(2a)
les valeurs de P pour 03BB = 0 ;0,1 ; 0,2 ;
.... et des effectifs d’échantillon n = 2,3, 4,....,le
deuxième terme du deuxième membre étant
négligé
dès que ÀVn
n’estplus
très
petit.
Sur le même
graphique
queprécédemment,
et avec la mêmegraduation arithmétique
en 03BB, onprend
une échellegaussienne
en ordonnée pour la pro- babilitéd’acceptation
P(à gauche
sur le schémaci-après) ;
on trace leréseau des droites
Les droites des deux réseaux sont
corrigées,
à leurextrémité,
pour tenircompte
de lalégère
courburesignalée plus
haut - Lagraduation
arith-métique
en B est ensuitesupprimée.
Pour obtenir les
points (p,P)
de la courbe d’efficacitécorrespondant
àune valeur 03B8 et un
effectif
d’échantillon ndonné,
onprocède
de lafaçon
sui-vante (sur
le schémaci-après,
unexemple
est donné pour 0 =3,5
n =4 ;
détermination de P pour
p=l%etp=10%.
- On coupe les droites du réseau en p par la droite d’ordonnée
(03B8).
- Pour
chaque point d’intersection,
onprend
sur la droite(n)
lepoint
de même abscisse et on lit P sur l’échellegaussienne.
Si on utilise des limites
modifiées,
la droite d’ordonnée8’
est substi- tuée à la droite d’ordonnée 8.La lecture du
graphique peut
être facilitée parl’emploi
d’uneréglette
mobile pour les
graduations
en P et 8.Le
graphique
ainsi décrit est celuiqui figure
à l’Annexe 1 "Courbes d’efficacité pour ledéréglage
de la moyenne - Carte desmoyennes".
Les valeurs de n sont n = 2
[1]
6[2] 16, 20,
25 et les valeurs de p =0,1 ;
0,2[0,2]
1[0,5]
3[1]
10[2]
30.2.3 - Courbes d’efficacité pour le
déréglage
del’écart-type -
Les relations(1), (2), (3)
et(4) s’écrivent :
(limites
à ±3,09
Cr 0/n) (limites
modifiéesavec 8’ = 3,
09) (limites modifiées,
casgénéral : 3, 09 03B8’03B8)
Limites à ±
3,09 03C3o/n -
La construction des courbes d’efficacité pour toute valeur de 8(n quelconque) peut
s’effectuer defaçon
tout à fait ana-logue
à cellequi
a étéindiquée au §
2.2.1/
Pour la même gamme de valeurs de p, on calcule(formule Ib)
les va-leurs de p
correspondant
à 0 =2,5 [0,1]
5,Sur un
graphique gradué arithmétiquement
en p et0,
les courbes à p = C te sont des droites(qui
secoupent
aupoint
p =0,
8 =0).
2/
Sur le mêmegraphique,
avec une échellegaussienne
enordonnée,
on trace la courbe
(l’avantage
de l’échellegaussienne
est de donner une courburemodérée).
Pour obtenir les
points (p, P)
de la courbe d’efficacitécorrespondant
à une valeur 8 donnée :
On coupe les droites du réseau en p par la droite d’ordonnée
(8).
Pour
chaque point d’intersection,
onprend
sur la courbeP(P)
lepoint
de mêmeabscisse,
et on lit P sur l’échellegaussienne.
(cf.
schémadu §
2.2. où le réseau des droites à n = c te est rem-placé
par une courbeunique,
etoù, naturellement,
le réseau des droites à p =te est différent).
Ce
graphique
n’a pas été tracé. On constate en effet que l’efficacité obtenue est très voisine(légèrement meilleure)
de celle de la carte des étendues( ou
de la carte desécarts-types)
pour n = 2.Pour les besoins de la
pratique
il suffit donc(cf. §
3ci-après)
de sereporter
à l’annexe 2 : Courbes d’efficacité pour ledéréglage
de l’écart-type -
Carte de sécarts-types (Annexe 2a)
ou carte des étendues(Annexe 2b).
Limites modifiées - La
probabilité
P(formules
3b et4b) dépend
de n .Il
n’y
aplus
une seule courbeP(P),
mais un réseau de courbesP(p ; n).
Nous n’avons pas calculé ce
réseau,
pour la raison suivante :l’efficacité , qui
estdéjà
médiocre avec les limitesnormales,
devient deplus
enplus
mauvaise à mesure que 9 et n
augmentent.
Parexemple,
pour 8 =3,5 :
en limites normales
(quel
que soitn)
à p - 12% correspond P = 82 %
en limites modifiées
classiques
avecn=9,àp=12% correspond
P =
94 %
3 - EFFICACITE DE LA CARTE DE CONTROLE DES ETENDUES ET DE LA CARTE DES ECARTS TYPES.
Pour chacune de ces cartes la valeur de p en fonction de la propor- tion de défectueux p ou la valeur de p en fonction de p - est encore donnée
par la relation lb. On suppose d’autre
part
que la limitesupérieure
de con-trôle est seule utilisée
(probabilité
dedépassement égale
à 0,1% quand
lafabrication est sous
contrôle).
C arte de s étendues
Soit
Fn(w/03C3)
la fonction derépartition
de l’étendue réduite pour des échantillons d’effectif n. Pardéfinition,
la limitesupérieure
de contrôleLe
est telle que :
Des tables
[5 ] donnent,
en fonction de n, les coefficientsDC2 = Le
dé-duits de cette
relation, qui permettent
d’obtenirLe connaissant 03C3o.
Lorsque,
par suite d’undéréglage, l’écart-type
devient 0 = p ala
pro- babilité Pd’accepter
la fabrication est :Les tables de la fonction
Fn(w/03C3) permettent
d’obtenir P en fonction de p pour 2n 12 [6].
Carte des
écarts-types
La
quantité n s 03C3,
avec s =03A3(x1 - x)2 n
suit la loi de la variable X à(n-1) degrés
de liberté.Soit ~P(n-1)
la valeur de cette variable telle que :Pr[03BB(n-1) ~P(n - 1)] l
= PPar
définition,
la limitesupérieure
de contrôleLc
est telle que :Des tables
[5] donnent,
en fonction de n, les coefficientsBc = Le,
déduits2
an
de cette
relation, qui permettent
d’obtenirLe
connaissantao.
Lorsque,
par suite d’undéréglage, l’écart-type
devient o = pcr, laprobabilité d’accepter
la fabrication est telle que : 0Les tables de la variable
~2 permettent, à partir
de cette relation,d’ob-
tenir P en fonction de p pour toute valeur de n
[6].
La construction des courbes d’efficacité pour les cartes de l’étendue et de
l’écart-type
s’obtiendra donc àpartir
degraphiques
établis sur lesmêmes
principes
queprécédemment.
1/
Le réseau des droites à p =C te
est le même réseau que pour ledéréglage
del’écart-type
sur la carte des moyennes.2/
Une échellegaussienne
étantadoptée
en ordonnée(pour
obtenir une courburemodérée),
ontrace,
pour les différentes valeurs de n, les ré-seaux de courbes définis par les formules
(5) (carte
desétendues)
ou(6) (carte
desécarts-types).
Le mode d’utilisation des
graphiques
est encore le même queprécé-
demment. Pour obtenir lespoints (p, P)
de la courbe d’efficacité corres-pondant
à des valeurs 03B8 et n données.- On coupe les droites du réseau en p par la droite d’ordonnée
(0).
- Pour
chaque point d’intersection,
onprend
sur la courbe(n)
le
point
de mêmeabscisse,
et on lit P sur l’échellegaussienne.
(Cf.
schémadu § 2.2,
où le réseau des droites à n =C te
devient unréseau de
courbes,
etoù, naturellement,
le réseau des droites à p = cte estdifférent).
Là encore, la lecture des
graphiques peut
être facilitée parl’emploi
d’une
réglette
mobile pour lesgraduations
en P et 0.Les
graphiques
ainsi décritsfigurent :
pour la carte des étendues à l’Annexe 2b : "Courbes d’efficacité pour le
déréglage
del’écart-type -
Carte des étendues".pour la carte des
écarts-types
à l’Annexe 2a : "Courbes d’efficacité pour ledéréglage
del’écart-type -
Carte desécarts-types".
Comme on l’a
signalé plus haut,
la courbe n = 2permet d’obtenir,
avec une bonne
approximation (sur
l’un ou l’autre desAnnexes)
l’efficacité de la carte des moyennes pour ledéréglage
del’écart-type.
4 - EFFICACITE DANS LE CAS D’UNE SEULE LIMITE DE TOLERANCE
La moyenne de
réglage
étantmo,
on pose :(cas
d’une limitesupérieure)
(cas
d’une limiteinférieure)
Déréglage
de la moyenne - On n’utilisequ’une
seule limite de contrôle(supérieure
dans le cas d’une tolérancesupérieure,
inférieure dans le casd’une tolérance
inférieure).
D’autrepart,
seules les valeurspositives
de03BB = m - mo 03C3o
entrainent uneaugmentation
de laproportion
de défectueux.Les relations
la), 2a), 3a)
et4a)
s’écrivent :1
(limites
à ±3, 09
03C3o/n) (limites
modifiées avec03B8’
=3,09)
(limites modifiées,
casgénéral 3,
09 03B8’03B8)
La construction des courbes d’efficacité s’effectue comme dans le cas
de deux
tolérances,
avec les seules modifications suivantes. Sur legraphique
de l’annexe 1 les
"pseudo-droites"
à n =Cte
sont des droites sur tout leur parcours : elles secoupent
aupoint
d’ordonnée 99,9% (le
tracé n’a pas étéfiguré,
car ilcorrespond
à unepartie
des courbes d’efficacitépratiquement
sans
intérêt).
Demême,le
réseau à p =C te
est constitué de droites dans la totalité de leur parcours : on doit éventuellement "rectifier" lapartie
lé-gèrement
courbe.Déréglage
del’écart-type -
Si l’on utilise l’Annexe 2 pour construire les courbes d’efficacité pour ledéréglage
del’écart-type (malgré
la faibleefficacité des cartes à cet
égard, cf. § 5.1)
on devra observerqu’on
aalors :
au lieu de :
On a la même
probabilité d’acceptation
pour uneproportion
de défec-tueux p, avec deux
limites,
et pour uneproportion p/2
avec une seule li-mite. Le réseau des droites
à p
=C te doit
êtregradué
avec des valeurs deux foisplus petites.
5 - COMPARAISON DES EFFICACITES DES DIFFERENTES CARTES 5.1 - Efficacité pour un
déréglage
de la moyenne et pour undéréglage
de
l’écart-type
Les tableaux
ci-après, qui peuvent
être déduits desgraphiques
annexes , ou, pourplus
deprécision,
desformules, permettent,
dans le cas de deux limites detolérance,
de comparer pour 3proportions
de défectueux p = 1% ,
5
%,
10%,
laprobabilité d’acceptation
suivant que les défectueuxproviennent
d’undéréglage
de la moyenne(carte
desmoyennes)
ou del’écart-type (carte
des moyennes, carte des étendues et carte desécarts-types)
et cela pour 3 effectifs d’échantillon n =4,
9, 16 et 3 valeurs de la tolérance 0 = 2,5, Q =3,1,
8 = 4(la
carte des moyennes étant utilisée avec les limites ài 3,09
C’o 1 Vil) .
De ces tableaux on tire les conclusions suivantes :
1/
La carte des moyennespeut
avoir une efficacité excellentelorsque
les défectueux
proviennent
d’undéréglage
de la moyenne, à condition que l’échantillon soit suffisammentimportant
et la tolérance suffisamment élevée(c’est-à-dire
"à condition que la machine ait unécart-type
suffisammentpetit
par
rapport
à latolérance").
2/
Cette carte à une efficacité très faiblelorsque
les défectueux pro- viennent d’undéréglage
del’écart-type :
avec 9=4(l’écart-type
de la ma-chine est
1/8ème
de la différenceTg - Ti)
uneproportion
de 10%
de défec- tueux à 80 chances sur 100 d’êtreacceptée.
3/
La carte des étendues(déréglage
del’écart-type)
a une faible effi- cacité. Dans des circonstancesfavorables,
e =4,
n = 9(le
maximum étant12)
5%
de défectueux sontacceptés
avec uneprobabilité
d’environ 50%
et10 %
de défectueux avec uneprobabilité
d’environ 25%.
4/
La carte desécarts-types
estplus
efficace que la carte des éten- dues. Mais l’efficacité ne devient vraiment bonne que si la tolérance estlarge
et l’effectif d’échantillon élevé.Pour cette raison nous ne nous occuperons
plus
par la suite(sauf
inci-demment)
que desdéréglages
de la moyenne lus sur la carte des moyennes.Ceci ne
signifie
pas, bienévidemment,
que lesdéréglages
del’écart-type
sont sans
importance.
Mais ils seront mieux détectés par une étudeglobale
des étendues
(ou
desécarts-types)
constatées sur un assezgrand
nombre deprélèvements -
ou encore, si on sedispense
des cartes de contrôle d’éten-due ou
d’écart-type,
en mesurant ladispersion,
detemps
à autre, sur unprélèvement
suffisammentimportant.
Undéréglage
del’écart-type
nepeut
d’ailleurs pas êtretoujours corrigé
par unsimple réglage,
maispeut
né- cessiter une révision de la machine ou des conditions de fabrication.5.2 - Choix "à
priori"
d’un effectif d’échantillonL’effectif d’échantillon
peut
être choisi àpartir
des courbes d’efficacité de la carte des moyennes. Pluscommodément,
la table 1 déduite de l’An-nexe
1, donne,
pour différentes combinaisons dep %
et de0,
l’effectif n àprélever (limité
à n =25)
pourqu’un déréglage
donnant laproportion
p de défectueux n’aitqu’une
faibleprobabilité (P 0,10)
d’êtreaccepté
au pre- mierprélèvement qui
le suit. Parexemple,
pour p = 2%,
si 03B8 =2,8,
il fautn > 25 ; si 03B8 = 3, n = 22 ; si 03B8 = 3,6,
n = 9 et si E)= 4,4
il suffit de n = 4.Si toute valeur de p au
plus égale
à cellequi
a été ainsiprise
en con- sidération pour le choix de ncorrespond
à unequalité acceptable,
on auraune
garantie
suffisante que cettequalité
estrespectée
enadoptant
larègle
suivante :
lorsque,
sur la carte decontrôle,
unpoint apparaît
en dehors des limites, vérifier à 100%
la tranche de fabrication débutant auprélèvement précédent (le point correspondant
étant naturellement entre leslimites).
La
règle précédente peut
n’être pasapplicable, compte
tenu de lapré-
cision de la machine et de l’effectif maximal d’échantillon
pratiquement
admissible. Elle a d’autrepart
l’inconvénientd’ignorer,
dans la décision àprendre, lorsqu’un déréglage
est détectépar la
carte decontrôle,
le nombrede
prélèvements acceptés
avantl’apparition
duprélèvement "inacceptable".
Une
règle plus
nuancée résultera de l’étude faiteau §
6.6 - INTERPRETATION D’UN DEREGLAGE SIGNALE PAR LA CARTE DES MOYENNES
6.1 - Durée d’attente du ler
point
hors limitesSi pour un
déréglage (de
la moyenne, éventuellement del’écart-type)
la
probabilité d’acceptation
donnée par la courbe d’efficacité estP,
le rang moyen du lerpoint
hors limites est :Par
exemple,
si P =0, 75,
x = 4.La
probabilité
que xpoints
successifs restent entre les limites est P’(x = 1, 2, ...) :
c’est laprobabilité
pour que, undéréglage
s’étant pro-duit,
on s’enaperçoive
auplus
tôt au(x
+l)e8e prélèvement.
Soit p
uneprobabilité
faible donnée(par
exemple p=0,10oup=0,05),
et définissons
x03B2
comme le nombre entier donnant pourPl 9
la valeur laplus
voisine
de p (ou
immédiatement inférieure àp).
On aura :p
est le"risque
de ne constater ledéréglage qu’après
avoiraccepté
le ré-glage
sur xprélèvements
consécutifs". Parexemple, avec j3 =0,10,
siP = u,?5,
Xp=
8 et si P =0,32, xf3 =
2.Inversement,
pour x =1,
2 ...donné,
la relation :permet
de calculerP ;
à Pcorrespond (courbe d’efficacité)
uneproportion
p de défectueux. A toute valeur
p’
> pcorrespond
P’ P et - x étant donné -un
risque 03B2’ 03B2. Ainsi,
pour toute valeur x, la relation(7) permet
de cal- culer une limitesupérieure
de laproportion
de défectueuxproduits
par ledéréglage.
Le tableau 2
donne, pour 0,10 et 0,05,
les valeurs de Pcorrespondant
à x = 1[1 ] 25
ainsi que la valeur de x =1 P
6.2 - Limite
supérieure
de laproportion
de défectueux entre deuxpoints
"hors limites".
On suppose que les
prélèvements
sont faits à intervalles detemps
ré-guliers.
Admettant que la machine estparfaitement réglée (réglage initial ,
ou nouveau
réglage après
unprélèvement
"horslimites")
on divise la fa- brication en trancheségales, chaque
tranche contenant unprélèvement.
On suppose par ailleurs que N
prélèvements (N
>0)
ont donné unpoint
"entre limites"
(N
tranchesacceptées)
et que le(N
+1)ème point
est "hors limites". La tranche contenant lepoint
hors limite sera laissée de côté dansce
§,
pour être étudiéeau §
6. 3.La
figure ci-après
donne les notations utilisées. Leproblème
est dedéterminer la
proportion
maximale de défectueux dans l’ensemble des N tranchesacceptées.
6. 2 .1. Cas d’un
déréglage unique
de la moyenne.Si le
déréglage
s’estproduit
dans la tranche où a été effectué lepré-
lèvement numéroté x, il lui est associé une
proportion
maximale(au risque
p)
de défectueux que l’ondésigne
parp(x).
Laproportion
maximale de dé- fectueux dans l’ensemble des N tranches est :On a donc à rechercher le maximum
(par rapport à x = 1, 2,... N)
de :
A
p (x) correspond
uneprobabilité d’acceptation P (x)
donnée par la for- mule(7).
(si p
=0,10,K = - 1; si p = 0,05,K = - 1,30103)
Si l’on
exprime
ledéréglage
par leparamètre 03BBx
=mx - mo 03C3o,
on ad’autre
part,
dans le cas de deux limites de tolérance et les limites nor-males de contrôle
(formules
la et2a) :
puis
On a finalement
l’expression générale :
dont on doit rechercher le maximum pour - N étant fixé - x =
1,
2, ...., N.Expression approchée -
Le 2ème terme du 2ème membre de(9)
est nullorsqu’il n’y
aqutne
limitede
tolérance.Cherchons,
dans le cas dedeux
limites,
dansquelles
conditions ilpeut
êtrenégligé.
Lorsque
xaugmente, 10 K/x (K0) augmente ; U10K/x augmente,
donc le 2ème termeaugmente.
Sa valeur maximale a lieu pour x =N ;
elle est alorségale
àet sa contribution à
D (x)
sera auplus égale
à 0, 001(0,1 %)
siD’où pour N la condition :
Si 0 =
3,1,
ontrouve,
avec K = -1(03B2 = 0,10)
N ~ 2 300 et avec K =-1,30103 (p = 0, 05)
N ~ 3 000. La condition est donctoujours
réalisée - et elle l’est naturellement aussi pour 0 >3,1.
Pour 6
3,1,
le tableauci-après
donne les valeurs maximales de Nremplissant
la conditionprécédente.
Sauf dans le cas d’un processus très
instable,
N ne doit pas être trèspetit -
disons parexemple
N > 5. D’autrepart,
lesgrandes
valeurs de N sont sansintérêt,
car ellescorrespondent
à uneprobabilité d’acceptation élevée,
donc à unréglage
normalementacceptable (par exemple,
pour N = 25 , la table 2donne, pour p = 0,10,P = 91,2 %
etpour p = 0, 05, P =
88, 7%).
Dans les cas intermédiaires -
qui
sont les seuls intéressants - la con-dition recherchée est donc
pratiquement toujours remplie. Lorsqu’elle
nel’est pas
(valeurs
élevées de n, faibles valeurs de 8 et deN)
l’erreur intro-duite en
négligeant
le 2ème terme du 2ème membre de la relation(9)
restepeu
importante.
Nous
prendrons
donc la formeplus simple :
(x = 1,2
....N)
La loi de variation de
D(x) dépend
de0,
de n, et aussi de la valeur de K. Nous nous limiterons à K = - 1(qui correspond à 03B2 = 0,10),
et pourN aux valeurs au
plus égales
à 40. Dans cesconditions,
l’étude de la fonc- tionD(x) -
illustrée pour 3 valeurs de 0 et 2 valeurs de n sur legraphique ci-après -
montre que :Lorsque 03B8 ~3,2, D(x;
croît avec x,quel
que soit n. - Le maximum est atteint pour x = NLorsque
e= 3,3, D(x)
croît avec x si n = 2 ou n ~ 6, et dans ces con- ditions le maximum est donné par la formule(11).
Lorsque
0 >3,3, D(x)
croît avec x si n est au moinségal
à une va-leur minimale
qui
est d’autantplus
élevée que 8 estplus grand.
Ces valeurs minimales sont :pour 0
3,4,
n = 7" 03B8 =
3,6,
n = 9" 8 =
3,8,
n - 11n 03B8 =
4,0,
n - 11" 6 =
4,2,
n = 12A
partir
de ces valeurs minimales de n,D...
est donc encore donné parla formule
(11).
Dans les autres cas,
D(x)
commence pardécroître,
passe par un mini- mum,puis
croît. Pour lespetites
valeurs deN,
le maximum deD(x)
est alors obtenu pour x =1 ;
c’est :avecU 1 = U0,1 = - 1,282 - D’où:
Lorsque
dans sapartie
croissanteD(x)
atteint oudépasse
la valeurD(l), Dmax
est de nouveau donné par la formule(11).
Ceci n’arrive dans les conditions étudiées que si la valeur x, telle queD(x) ~ D(l)
est auplus
égale
à 40.Ces situations sont résumées dans le tableau
ci-après qui
donne les valeurs de N pourlesquelles
la formule 12s’applique (au
delà - c’est la formule11).
Un extrait en est donné
ci-après
pour 4 valeurs de la tolérance(2,8 ; 3,1 ; 3,6 ; 4,0)
et 4 effectifs d’échantillon(4,
8,16, 25) ;
les valeurs deDmax (en %) correspondent
à un nombre de "tranchesacceptées"
N = 2, 5,10 , 15, 20,
25.Les
graphiques
de l’Annexe 3 ont été établiscompte
tenu de cequi
précède.
Ils permettent d’obtenir la valeur deD,Bx
en fonction de l’effectif d’échantillon n et du nombre N deprélèvements acceptés
N -1,
2 ... 40 avantl’apparition
dupoint
"horslimites",
pour 0 =2,6 ; 2,8 ; 3, 0 ; 3,1 ;
3,2[0,2] 4,2.
6.2.2. - Cas d’un
déréglage progressif
de la moyenneLe cas étudié
au § précédent
suppose que la moyenne fait un seul"saut"
brusque susceptible
d’entrainer uneproportion inacceptable
de défec-tueux.
Nous nous
placerons
maintenant dans le cas d’une "dérive"continue , commençant
immédiatementaprès
leréglage.
La
proportion
de défectueux dans la dernière trancheacceptée
est aumaximum
égale
à la valeur dep(x)
pour x =1,
soitp(l) ;
dans la tranche immédiatement antérieure on aura au maximum laproportion p(x)
corres-pondant à x = 2,
soitp(2),
et ainsi de suite. La dérive "laplus
défavorable"pour la
proportion
de défectueux -qui
est aussi la situation laplus
défavo-rable pour des variations de la moyenne
quelles qu’elles
soient - sepré-
sentera comme il est
indiqué
sur lafigure
ci-dessous(courbe
enescalier) qui correspond
à0=3,1,
n =8,
N ~ 15. Ceraisonnement,
danslequel
les
proportions p(x)
sont calculéesindépendamment
pourchaque tranche,
nepermet
pas d’associer unrisque
à laproportion
maximaleDmax
définie ci-après.
Il est en fait très peuprobable
que la dérive "laplus
défavorable"soit effectivement réalisée.
D’une
façon générale,
laproportion
maximale de défectueux dans l’en- semble des N tranchesacceptées
seraprise égale
à :Les
graphiques
de l’Annexe 3donnent,
en mêmetemps
que les valeurs deD.ax
celles deDmax.
Le tableauci-après
donne les valeurs deD.ax
et de.
pourl’exemple choisi ;
les valeurs deDmax
sontreprésentées
par la courbe continue de lafigure
ci-dessus.Ainsi :
pour 5 tranches
acceptées,
laproportion
de défectueux dans ces tranches estcomprise
entreDmax (un
seuldéréglage) =1,7%
etDmsx (dérive continue)
=3 ,1 %
pour 10 tranches
acceptées,
les limites sont :Da.
=1,1 %
etDmax=
2,2%
pour 15 tranches
acceptées,
les limites sont :Dmax= 0, 85 %
etDiii = 1, 8 %
6.3 - Limite
supérieure
de laproportion
de défectueux dans la tranchequi
contient lepoint
"hors limites".On l’estime en
prenant
unrisque P-
onchoisira p = 0,10-
que la pro-portion
réelle soitsupérieure
à l’estimation.Soit R le
point
"horslimites",
et03BB’03C3o
la distance à la limite de con-trôle ; 03BB’
seraappelé
le"dépassement".
Soit d’autrepart
lepoint
M tel que RM = 1,28c./Vn.
On aura :Si la moyenne de la fabrication était
supérieure
ouégale
à mr, il y aurait uneprobabilité
au moinségale
à0,90
que leprélèvement
donne unpoint "plus
haut" que lepoint
R observé.A