A NNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE T OULOUSE
K.-M. P ETERSON
Sur les courbes tracées sur les surfaces
Annales de la faculté des sciences de Toulouse 2
esérie, tome 7, n
o1 (1905), p. 45-68
<http://www.numdam.org/item?id=AFST_1905_2_7_1_45_0>
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SUR LES
COURBES TRACÉES SUR LES SURFACES,
PAR K.-M. PETERSON.
Traduit du russe par MM.
Eugène
COSSERAT et HenriFRENKEL,
Professeurs à l’Université de Toulouse (1).I. - SUR LES COURBES CONIQUES ET CYLINDRIQUES TRACÉES SUR LES SURFACES.
Par
chaque
courbe tracée sur une surfacedonnée,
nous pouvons faire passerune surface
développable
de telle sortequ’elle
touche la surface donnée suivant la courbe donnée. De la forme de la courbedépend
évidemment la forme de la surfacedéveloppable circonscrite ;
nous donnerons à la courbe le nom de courbeconique
si cette surface circonscrite est uncône,
de courbecylindrique
si c’estun
cylindre.
Par
conséquente
une courbeconique
tracée sur une surface est évidemment le lieugéométrique
despoints
de contact des tangentes menées à la surface d’impoint (du
sommet ducône).
Des tangentesparallèles
entre elles touchent la sur-face suivant une courbe
cylindriqae.
La surface
développable
circonscrite à la surface donnée suivant une courbe donnée estl’enveloppe
d’unplan qui glisse
lelong
de la courbe donnée en tou-chant la surface donnée.
Si le
plan glisse
ainsi sur une courbeconique,
ilpasse
constamment par unpoint
fixe(le
sommet ducône);
dans son mouvement lelong
de la courbecylin- drique,
leplan
reste dans toutes sespositions parallèle
à une droite fixe.( 1 ) Le Mémoire original intitulé : 0 kpBIX Ha 03A0oBepXHOCTX a paru dans Je Tome II (p. iy-44) du Recueil mathématique (MATEMMTECKI CPHHHK) publié par la Société mathématique de Moscou; il est formé de deux Parties qui,
d’après
des indicationsadjointes à leurs titres, ont été lues
respectivement
le 1 9 novembre 1866 et le 18 mars 1867.46
il en résulte que les normales d’une surface le
long
d’une courbecylindrique
sont
parallèles
à unplan
parce que ces normales étant,perpendiculaires
auplan glissant
sont en mêmetemps perpendiculaires
à la droite fixe àlaquelle
leplan glissant
resteparallèle.
Équations générales
des courbesconiques
et des courbesqui
leur sontcon ju~r~ées.
Supposons
que lescoordonnées x,
y, z despoints
de la surface soientexpri-
mées en fonction de deux
variables p et q
telles que, aux valeurs constantes de lavariable q, correspondent
des courbesconiques
q = const. et aux valeurs con-stantes de la variable p des
courbes~ -
const.qui
leur sontconjuguées. D’après
la définition des courbes
conjuguées~
= const. et q = const., leplan
tangent de lasurface, qui glisse
suivant une courbequelconque q
== const.,doit,
dans deuxpositions successives,
se couper suivant la tangente à la courbe p = const., dontles cosinus sont
proportionnels
àD’après
la définition des courbesconiques,
leplan glissant enveloppe
un côneet, par
conséquent,
dans deuxpositions successives,
il se coupe suivant lagéné-
ratrice du
cône;
d’où nous concluons que les cosinus de lagénératrice
du cônesont
proportionnels
àDésignons
par a, les coordonnées du sommet du cône circonscrit à la sur-face suivant la courbe q ~ const. ; les
grandeurs
x,fi,
Y seront constantes pour des valeurs constantes de lavariable q,
c’est-à-dire ce seront des fonctions arbi- traires de q. Les cosinus de lagénératrice
du cône passant par le sommet x,~,
Yet par le
point
x, y, ,~ considéré sur la surface serontproportionnels
à x - x,~ -y,’~ --
z, d’où nous concluons que :Désignant
cerapport par - ,2014?
parconséquent aussi - -.2014 ) est
une fonction absolument arbilraire des
variables p
et q, nous avonsou, en
intégrant
par rapport à q,où a est une fonction arbitraire de la variable p. De cette
façon,
nous avons leséquations générales
suivantes des courbesconiques
.’où ~!, sont des fonctions arbitraires de q; a,
b,
c des fonctions arbitraires de /~ eL u une fonction arbitraire de p et q.Les
courbes q
= const. seront iciconiques,
lescourbes p
= const. leur serontconjuguées.
Donnons,
dans leséquations (1),
à la fonction arbitraireq)
la valeurparticu li ère
ou, pour
abréger,
et remarquons que
par suite de la fonction arbitraire a, sera une fonction arbitraire de q; en dési- gnant cette
intégrale simplement
par a et de même endésignant
103B2 d~ dq d
ar ,Y
d~ dq dq
par 03B3, nous 0 tenons leséquations
suivantes :qui
renferment huit fonctions arbitraires : a,b,
c, e de la variable p et ~,~3,
y, e de la variable q. De .lasymétrie
de ceséquations
par rapport aux fonctions des deuxvariables,
il résulte que non seulement lescourbes q
= const., mais encore les courbes l~ = const. serontconiques
et il n’est pas difficile de s’assurer quecette
symétrie
ne peut être obtenue que par la substitution de u =f ( p)
+et que, par
conséquent,
leséquations (2)
seront leséquations générales
des sur-faces sur
lesquelles
deuxsystèmes
de courbesconiques
sont mutuellement con-juguées.
Équations générales
des courbescylindriques
et des courbesqui
leur sontconjuguées.
Les courbes
cylindriques
constituent un casparticulier
des courbesconiques.
Rappelons
que, dans leséquations (i),
x,N,
ydésignent
les coordonnées dusommet du cône
circonscrit, lequel
doits’éloigner
à l’infinilorsque
le cône setransforme en
cylindre. Remplaçant,
dansl’équation (1),
03B1,03B2,
y parka, k03B2, ky,
et la fonction arbitraire u par + 1, nous obtenons
En
supposant
maintenant infinie la constantek,
nous obtenons leséquations générales
suivantes des courbescylindriques :
où,
commeauparavant, a, b,
c sont des fonctions arbitrairesde p,
Y des fonctions arbitraires de q, et u une fonction arbitraire des deuxvariables p
et q.Les
courbes q
= const. sontcylindriques,
les courbes p = const. sont leursconjuguées.
,Les
équations (3)
ne se transforment enéquations symétriques
par rapportaux fonctions
de p
etde q
quelorsque
u, comme dans le cas des courbesconiques,
aura la forme
Dans ce se transforment en fonctions ar-
bitraires
de q
que nousdésignerons
par (x,03B2,
y. De cettefaçon,
on obtient leséquations générales
suivantes dessurfaces
surlesquelles
deuxsystèmes
de courbescylindriques
sontconj ugués :
ici a,
b,
c sont des fonctions arbitraires de p, et a,~3,
y des fonctions arbitraires de fi. Les courbes p = const. et q = const. serontcylindriques
etconjuguées.
Pour obtenir les
équations générales
des surfaces surlesquelles
les courbescylindridues
sontconjuguées
aux courbesconiques,
considéronsles équations (2)
des surfaces
qui
renferment deuxsystèmes
de courbesconiques conjuguées
etéloignons
à l’infini les sommets d’unsystèmé. Rappelons
que,d’après
cequi
a étédit â propos des
équations 2 d03B1 dq : ~u ~q, d03B2 dq : ~u~q, dy
représentent les données du sommet du cônepassant
par lacourbe q
= const. Pour que cesexpressions
deviennentinfinies
’ il est nécessaire que~u ~q s’annule,
c’est-à-direque la fonction 18/’ /,
se réduise à la fonction e de p.
De cette
façon,
leséquations
de telles surfaces serontIci les courbes sont
cylindriques,
les courbes p = consL sont co-niques
et les deuxsystèmes
sontconjugués.
Courbes
coniques
etcylindriques
tracées sur dessurfaces
dtc second..,
Toutes les tangentes menées d’un
point
à la surface donnée touchent cette sur- face lelong
d’une courbeconique ;
dans le cas de la courbecylindriqne,
toutesles tangentes sont
parallèles
entre elles. Il n’est pas difficile d’en déduire : 1° quetoutes les courbes
coniques
sur des surfaces du second ordre seront des courbesplanes ;
2° que toutes les courbescylindriques
seront des courbesplanes
dont lesplans passent
par le centre.En
effet,
lepoint
de contact des droites passant par Jepoint
u, v, sr~ ettangentes à la surface du second ordre ax2 +
by2 +
cz2 = I satisfont àl’équation
c’est-à-dire à
et ceci est
l’équation
d’unplan.
Inversement,
nous trouvons, pour le sommet du cône circonscrit à la surfacesuivant la courbe d’intersection avec le
plan
les coordonnées
ce sommet
s’éloigne
indéfinimentlorsque s
= o et, en mêmetemps,
leplan
passe par le centre.
Supposons
lespoints X, Y,
Z et x, y .~ de deux surfaces dans une liaison tellequ’à chaque point
x, y, z d’une surfacecorrespond
sur l’autre surface unpoint
déterminé X =
Àx,
Y=== Z _-__ oùÀ,
~,, v sont constants ; pour une telleliaison,
nous aurons les théorèmes suivants : :1 ° A ux courbes
planes
d’unesurface correspondent
des courbesplanes
del’autre
surface
parce que del’équation
duplan
résulte
l’équation
duplan
2° A ux courbes
conjuguées
d’unesurface correspondent
des courbesconju- guées
de l’autresurface.
En supposons que les coordonnées x, y, zsoient
exprimées
enfonction
des variables p et q etdésignons
parx’,
x,,x;,
,x",
x", , ... les dérivées de x parrapport
à p, à q, â p et à q, à p et à p, , à qet à q, ..., alors la condition
d’apnés laquelle
les courbes p = const. et q = const. sur lasurface
x, y, z sontconjuguées,
serae.n y substituant
nous obtenons la même condition pour les coordonnées
X, Y,
Z.3° A des
lignes asymptotiques
d’unesurface correspondent
deslignes asymptotiques
sur l’autresurface.
En de la conditionlaquelle
les courbes q = const. sur la
surface
x, y, z sontasymptotiques
on déduit la même condition pour les coordonnées
X, Y,
Z par la substitu- tion,, n
Rappelons
que, clans uneligne asymptotique,
le rayon de la section normaleest
infini;
sonplan
osculateur coïncide avec leplan tangent
de lasurface.
Suivant
chaque ligne asymptotique,
deux com°besconjuguées
seconfondent;
l’angle
deconjugaison
est uneligne asymptotique
estconjuguée
d’elle-même.
4°
A ux com°besconiques
d’unesurface correspondent
des courbesconiques
de l’aictre
surface.
.5° Aux courbes
cylindriques correspondent
des courbescylindriques.
Ces deux théorèmes résultent de ce que, en
remplaçant,
clans leséquations générales
des courbesconiques ~y
oucylindriques (3),
les fonctions arbitraires a et a par )...a eta,oc,
les fonctions bet 03B2
parb
et les fonctions cet 03B3
par vcet nous obtenons les mêmes
équations
pour les coordonnéesX, Y,
Z que pour les coordonnées x, y, ~.Ces
cinq
théorèmespeuvent
encore êtrerigoureusement
démontrés pour la relation entre lespoints
x, etX, Y,
Z de deux surfacesqui
est définie par leséquations
suivantes :où a, a,, a2, a3,
b, b,,
... sont des constantes.~
Ces
équations représentent l’expression générale
de la relation danslaquelle
à toutes les courbes
planes
d’une surfacecorrespondent
des courbesplanes
del’autre
surface,
parce quechaque équation
linéairepar la substitution des
expressions (6),
se transforme de nouveau en uneéqua-
tion
également
linéairePour une telle
relation,
sontcomplètement
valables les troispremiers
théorèmessur les courbes
correspondantes planes, conjuguées
etasymptotiques;
quant auxquatrième
etcinquième
théorèmes sur les courbescorrespondantes coniques
etcylindriques,
ils se confondent en unseul,
parce que, dans la relationconsidérée,
aux courbes
coniques
peuventcorrespondre
des courbescylindriques
et inverse-ment.
Dans le Mémoire Sur les relations et les
affinités (1),
nous avons mentionnécette liaison sous le nom
d’affinité
desplans correspondants,
et nous y avons démontré les deuxpremiers
théorèmes pour le casparticulier
ou ledénominateur
ax +
by
+ cz + e devientégal
à l’unité.Si nous connaissons les
équations
des courbesconjuguées, asymptotiques, coniques
oucylindriques
sur une surfacequelconque
x, jr? z,alors,
à l’aide descinq
théorèmes que nous avonsdémontrés,
nous obtenons directement les tions de ces courbes pour les surfacesX, Y, Z,
en mettant, à laplace
de x, y, :, lesexpressions 1,
p . ~.y,
p.-.
v .De cette
façon,
au moyen deséquations
des courbesconjuguées
sur lasphère x2 + y2 + ~2 ~ ~
nous obtiendrons leséquations
des courbesconjuguées
sur l’el-li psoïde
ou bien en
général
sur des surfaces du secondordre,
si nous donnons aux fonc-tions et aux constantes
qui
entrent dansl’expression
des coordonnées x, y, z en fonctiondep et q
des valeurs telles queX, Y,
Z deviennent finis et réels pour des valeurs infinies ounégatives
desexpressions a2, ~,2
ou v2.Deux
systèmes
de courbesqui
secoupent
àangles
droits sur unesphère
sont .conjugués
et,inversement,
les courbesconjuguées
se coupent ici sous desangles
droits. En
eiet,
la condition de laconjugaison
descourbes p
= const. etpour une surface
quelconque
x, y, z estreprésentent
les cosinus de la normale de cette surface et oùx;, y~, ,~;
représentent
les dérivées descoordonnées
par rapport à p et àq.
Cette condi-(1) Recueil
mathématique,
t. I (la traduction de ce Mémoire a paru pages Tome VII de ces Annales).tion,
pour lasphère .~-t-~-L-~=i,
, devient la suivante : :mais,
en différentiantinéquation ,x‘’-f-~’-~-~’-’=1
1 parrapport à p
et à q, nous obtenonsil en résulte que la condition de la
conjugaison
est
identique
à la conditiondans
laquelle
les courbes p = const. et q = const. seconpent
àangle
droit.Si donc .
sont les
équations générales
descourbes p
= const. et q = const. secoupant
surune
sphère
àangles droits,
alorsseront les
équations générales
des courbesconjuguées
sur la surface du second ordreSoient a,
j3,
~~,~’, ~’, a", ~", vn
neuf fonctions d’une satisfaisantaux
équations
Ces
fonctions,
si elles sontréelles, désignent
les cosinus de trois droites per-pendiculaires
deux à deux.Posons
et
désignons
sous le nom de rotations lcs trois fonctions nouvelles 03C9,03C9’, 03C9";
alors les différentielles des fonctions a,
(1.’, x", ~~, ... prendront
la forme sui-van te :
Parmi toutes ces
fonctions,
trois seulement sont arbitraires. En annulant la rotation w" et en prenant o(et fi
comme fonctionsarbitraires,
toutes les autresfonctions seront
complètement
définies. Eneffet,
y sera définie parl’équation
en
remplaçant 03C9’dq
pards,
wdq
par nous trouverons ensuiteNous prenons pour a
et p
des fonctionsarbitraires,
maisréelles, qui
peuvent êtresupérieures
à l’unité. Si a2-~-~?
estsupérieur
àl’unité,
y devientImaginaire
et, par
et ~’
prennent aussi des valeursimaginaires.
En rem-plaçant
dans ce cas cesquatre
fonctions y,~~", a’ et ~’
paryi, y"i,
~’i et nousobtenons neuf fonctions réelles
qui
satisfont auxéquations
dans
lesquelles
aet [3
sont seulesarbitraires,
mais a2 +8~
doit êtresupérieur
àl’unité.
Les courbes
cylindriques
sur unesphère
sont desgrands cercles ;
ces courbeset leurs
conjuguées
se définissent par leséquations
suivantes :En
effet,
nous en déduisons leséquations
suivantes :qui
montrent que lacourhe q
= const. est ungrand
cercle arbitraire sur lasphère
et que les courbes p = const. et q = const. se
coupent
àangles
droits. De cequi précède
résulte que leséquations (8)
seront leséquations générales
des courbescylindriques q
= const. et de leurs courbesconjuguées p
= const. sur lasphère.
Les
équations générales
de telles courber surl’ellipsoïde
seront donc
En
remplaçant
icirL’, ~3’,
et p par -a’i,
-~’i, -- ~ i, v i
etp i,
nous obte-nons
pour l’hyperboloïde
les
équations
suivantes :avec la condition a2 +
~
> 1 . Enremplaçant,
dans leséquations (g)~ ~,
v~À,
u~ etp
par
-x’ i,
-3’ i,
- -), i,
-u i et p i - ~, 2 pour l’hyperboloï de
nous obtenons
où de nouveau x~ -~- > t .
Dans toutes ces
équations
xet ~
sont deux fonctions réelles arbitrairesassujet-
ties seulement dans les
équations (8)
et(9)
à la condition a.2-~{~;
1 , et dans leséquations t)
àla condition x~-~-~i?~ I;
les autres fonctions sont définiespar les
équations (~).
On peut
appliquer
le mêmeprocédé
auxparaboloïdes
enassujettissant
xet §
à la condition que la somme x2-~-
~2
serapproche
indéfiniment de l’unité.Dans ce cas, nous
remplaçons,
dans leséquations (7), 03B12, 03B22 et 03B32
par(I + k’-’a)‘-’,
et +
k203B32.
En annulant>>,
au lieu del’équation
03B12 +03B22 + 03B32 = I,
nousobtenons
En
remplaçant
dans leséquations (g), )~ ~,
~~ par~)~)±2014et±
nous obtenons pour les courbes
cylindriques
q == const. et les courbesqui
leursont
conjuguées~
== const. sur leparaboloïde
les
équations
suivantes :où les
fonctions ~
et y peuvent êtreprises
arbitraires et où les autres fonctions u,et
y’
sont déterminéesparles équations
suivantes :Liynes
de courburecylindriques
etconiques.
Une
ligne
de courburecylindrique
esttoujours
uneligne plane
courbe etgéo- désique.
Eneffet,
uneligne
de courbure coupe les courbesqui
lui sontconjuguées
à
angle droit;
parconséquente
laligne
de courburecylindrique
coupe lesgénéra-
trices du
cylindre
circonscrit àangle
droit. Sur lecylindre,
une telle courbe estnécessairement une
ligne plane
etgéodésique;
parconséquent,
ellejouit
desmêmes
propriétés
aussi pour la surface àlaquelle
lecylindre
est circonscrit. Leplan
de cette courbe est normal aucylindre
et à la surface.Une
ligne
de courbureconique
esttoujours
une courbesphérique
dont lasphère
coupe la surface àangle
droit. Eneffet,
de ce que laligne
de courburecoupe à
angle
droit les courbesqui
lui sontconjuguées,
nous concluons que laligne
de courbureconique
coupe àangle
droit lesgénératrices
du cône circonscrit.Une telle courbe sur le cône n’est autre chose que l’intersection de ce cône avec
une
sphère
dont le centre coïncide avec le sommet ducône;
cettesphère
coupe àangle
droit le cône et, parconséquent aussi,
la surface àlaquelle
le cône est cir-conscrit.
Les
équations
deslignes
de courburecylindriques
etconiques
ou, comme ondit
habituellement, l’équation
des surfaces pourlesquelles
leslignes
de courbure d’unsystème
sont des courbesconiques
oucylindriques,
s’obtiennent à l’aide de considérationsplus générâtes exposées
dans la seconde Partie de ce Mémoire.II. - SUR LES LIGNES DE COURBURE
(PARALLÉLISME
SUR UNE BASERECTANGULAIRE).
Entre les
points
de deux surfacescomplètement
arbitrairesf(x,
y,~)
= oet
F(X, Y, Z)
= o, esttoujours possible
une relation telle que lesplans
tangents des deux surfaces auxpoints correspondants
sontparallèles.
Dans le Mémoire Sur les relations et lesaffinités
entre lessurfaces (1)
nous avonsappelé
cetterelation
parallélisme
et nous avonsexposé
lespropositions
suivantes : :Dans une telle
relation,
cichaque point
et cichaque
courbe d’ccuesurface correspondent
unpoint
et une courbe déterminés de l’acctresurface.
l’annzitoutes les courbes
qui
passent ccnpoint
d’unesurface,
deux courbes outdes
tangentes parallèles
à celles des courbescorrespondantes
de l’autre sur-,face ;
ces courbes sontconjuguées
sccr les deuxsurfaces.
En
exprimant
lescoordonnées x,
y, z etX, Y,
Z de deux surfaces en fonction desvariables p
et ~, aux valeurs constantesdesquelles correspondent
cescourbes,
nous avons les
équations
qui expriment
la condition que les tangentes aux courbes p = const. et q = const.sur les surfaces x, y, y z et
X, Y,
Z sontparallèles.
Nous
appelons parallèles
les surfacesX, Y,
Z et x, â et nousappelons
basede
paralléLisme
le réseau des courbes p = const. et q = const.Si
les coordonnées x, y, z d’une surface arbitraire sont données en fonctions de deux variablesconjuguées
p et q~c’est-à-dire
telles que les courbes /? == const.et q
= const. sontconjuguées),
alors leséquations
(1) Recueil
mathématique,
t. I. (La traduction de ce Mémoire a paru pages 5-43 duTome VII de ces Annales.)
Fac. de T., 2° S., ‘-II. 8
seront les
équations générales
des surfacesX, Y,
Zparallèles
à la surface donnéeSllr la base des courbes p = const. et q = const.
Ici,
les deux fonctions e et 8doivent satisfaire aux conditions
d’intégrabilité
desexpressions X., Y, Z,
à savoir :par saile de Ja condition
qui exprime
que les courbes ~.~ = const.et q
= const. sontconjuguées
sur la sur-face x, y, z, Jes trois
équations (y~
se ramènent à deuxéquations
linéairessimultanées dont
l’intégration
détermine e et e avec deux fonctions arbitraires.Pour ramener ces
équations
linéaires à laplus simple expression,
remarquonsqu’on peut toujours
déterminer deux fonctions nz et n tellesqu’elles
satisferontaux
équations
parce que, par
suite,
des conditionschacune de ces
équations
sera laconséquence
des deux autres.Ayant
déterminéde cette
façon
n1, et n, nous réduirons les troiséquations (t4)
aux deux suivantesLes
plans Langent
auxpoints
p, q à toutes les surfacesX, Y,
Z définies par leséquations (~ 3 ~, y compris
la surfacedonnée x,
y, z, serontparallèles.
Les tan-gentes aux courbes et q = const. seront
également parallèles.
Il en’
résulte
que lesangles
finis et infinimentpetits, qui dépendent
de la direction destangentes ou de la situation du
plan
tangent, seront les mêmes pour toutes ces surfaces. Si donc une des courbesp = const. ou q= const.,
sur la surfacedonnée x,
y, z, estplane
ougéodésique,
ouligne
decourbure,
ouligne
dedéformation,
ouligne asymptotique,
ou courbecylindrique,
alors les courbesqui
lui
correspondent
sur toutes les surfacesX, Y,
Z serontégalement
des courbesplanes,
ougéodésiques,
etc., parce que les caractères distinctifs de toutes cescourbes ne
dépendent,
comme onsait,
que de la direction des tangentes.Appliquons
cespropositions générales
auparallélisme
sur baserectangulaire.
Considérons une surface arbitraire
X,Y,
Z se trouvant en relation deparallélisme
avec la
sphère x~-~-y‘~-~-~?=I;
dans ce cas, la base Juparallélisme
doit êtrerectangulaire,
parce que, sur unesphère,
toutes les courbesconjuguées
secoupent
à
angles
droits. Les courbescorrespondantes
de base sur la surfaceX, Y,
Z secoupent
sous les mêmesangles;
elles seront parconséquent,
des courbesconju- guées
secoupant
àangles droit>,
c’est-à-dire deslignes
de courbure.Si donc
sont les
équations générâtes
des courbes p = const. et q = const., secoupant
surla
sphère
x2-I--~~~
+ Z2 =1 1 àangles droits,
alors leséquations
représentent
toutes les surfacesparallèles
à lasphère ;
parconséquent,
toutes lessurfaces sans
exception.
Les courbes p = const. = const. seront deslignes
de courbure sur ces
surfaces;
donc leséquations (13~
seront leséquations géné-
rales des
lignes
de courbure sur toutes les surfaces. ,Les fonctions e et e doivent satisfaire aux conditions
d’intégrabilité
des expres- sions(1 3)
deX, Y, Z,
savoir :nous avons montre
plus
haut que deux de ceséquations
servent à déterminer les fonctions e et E et que ta troisième en est uneconséquence.
Dans le casexaminé,
e et e se
déterminent
aisément de lafaçon
suivante :Désignons
_eL remarquons que
parce que le réseau des courbes p = const. eL q = const. sur la
sphère
est sup-posé rectangulaire ;
en additionnant les conditionsaprès
les avoirmultipliées
d’abord par
x’, y’
et~’,
ensuite par x,, et z,, nous obtenons les deuxéquations
suivantes
à l’aide
desquelles
on détermine e et ~.Si l’on a besoin de
l’équation
des surfaces dont leslignes
dc courbure scdistinguent
par unepropriété qui dépend
desangles, alors, d’après
cequi pré- cède,
il suffit pour cela de déterminer sur la sl hère Je réseaurectangulaire
ayantcette
propriété
et de déduirel’équation
des surfacesparallèles
sur la base de cesréseaux.
des
lignes de
courbure cylindriques.Nous avons les
équations générales (8)
des courbescylindriques q
== const. surla
sphère
Le réseau
sphérique
étant icirectangulaire,
leséquations générales
deslignes
de courbure
cylindriques
q = const. ou des surfaces danslesquelles
unsystème
de
lignes
de courbure se compose de courbescylindriques
serontoù e et 8 se déterminent par les
équations
n~ais,
comme dans ce cas,nous obtenons
oû
f(p)
et sont deux fonctions arbitraires. Nous pouvons considérer lesintégrales f(p)d cos p
etf(p)d sin p
comme des fonctionsparfaitement
arbitraires de 1), parce que, d’une part,
f(p)
est arbitraire et, d’autre part, la variable p elle-même peut êtreremplacée
par telle fonction que l’on veut de ~~.En
désigna 0
cesintégrales par 03BB et
et enremarquant
quenous obtenons
En
posant
et
intégrant
nous obtenonsCe sont les
équations générales
des surfaces dont leslignes
de courbure d’unsystème q
= const. sont des courbescylindriques.
Ceséquations
renfermentcinq
fonctions arbitraires ),
et p.
de p; u,~
et cc de ~; toutes les autres sont définies par leséquations (7)
et(18).
Équations générales
deslignes
de courbureconiques.
Dans Je Tome 1 du Recueil
mathématique,
nous avons examiné sous Ie nomde
perspective graphique
une liaison entre lespoints
x, y, z etX, Y,
Z de deuxsurfaces
qui
est déterminée par leséquations
Cette affinité
(f)
est caractérisée par lespropriétés
suivantes : t( 1 ) Nous appelons relation une liaison entre les points de deux sur faces dans laquelle ces
surfaces peuvent être prises arbitrairement; et une liaison dans
laquelle
la formed’une surface détermine la forme de l’autre.
1° Les
points correspondants
de deuxsur faces
-sont situés sur une mêmedroite avec le
point
de vue(avec
descoordonnées);
2° Toutes les courbes d’une
surface
se coupent sous les mêmes angles que les courbescorrespondantes
de l’autresurface.
Ces deux
propriétés prises
ensemble déterminent l’affinitégraphico-perspec-
et
prises
isolément elles déterminent deux relations: laperspective
et larelation
graphique.
De ces deux
propriétés
nous avons encore déduit lespropriétés
suivantes :3° Aux
lignes
de courbure d’unesurface correspondent
leslignes
de cour-bure de
l’autre;
4°
Aux courbessphériques
d’unesurface correspondent
les courbessphé- riques
de l’autre. En mêmetemps,
si lasphère
de la courbesphérique
surune
sur face
passe lepoint
de vue, alors lasphère
de lcc courbe correspon- dante desurface
devient ccnplan,
et inversement à une courbeplane
d’une
surface correspond
une courbesphérique
de l’acctresur face
dont lasphère
passe par lepoint
de vue. Lessphères
de deux courbessphériques correspondantes
sur les deuxsurfaces coupent
cessur faces
sous desangles e~~aux.
Supposons
queX, Y,
Zdésignent
les coordonnées des surfaces(y~.
En dési-gnant
par r, nous obtenons les
équations
suivantes des surfacesgraphico-perspectives,
En nous basant sur ce
qui précède,
nous déduisons lespropriétés
suivantes deces surfaces :
n Les courbes p = const. et q = const. sont des
lignes
decourbure,
parce que les courbesqui
leurcorrespondent
p _-_ const. et q = const. sur les sur-.faces
sont deslig-nes
decourbure;
2° Les courbes q = const. sont des courbes
sphériques
dont lessphères
passent par le de voe, parce que les courbes cl = const.
qui
leurpondent
dans leséquations (19)
sontplanes.
Les
sphères
des courbessphériques
q = const. coupent lessurfaces (20)
à
droit,
parce que lesplans
des courbesplanes
q = consl. coupent lessurfaces (I9)
àangle
droit.Les
équations (20)
seront de celtefaçon
leséquations générales
deslignes
decourbure
sphériques
dont lessphères
passent par unpoint
etcoupent
la surfaceà
angle
droit. Ceséquations renferment,
de même que leséquations (19), cinq
fonctions arbitraires.
Nous avons démontre que les
lignes
de courburecylindriques
sont des courbesplanes
dont lesplans
coupent la surface àangle droit,
que leslignes
de courbureconiques
sont des courbessphériques
dont lessphères
coupent la surface àangle
droit.. 1 en résulte que les
équations (20) présentent
un casparticulier
deslignes
de courbure
coniques.
Pour lagénéralité,
il leur manque évidemment une fonc- tion arbitrairesupprimant
la conditionqui
consiste en ce que lessphères
q=const.dans les
équations (20)
passent par un mêmepoint.
Nous déterminerons cettefonction arbitraire à
l’aide
duparallélisme.
A l’aide des
équations (i 3)
duparallélisme
nous pouvons, au moyen des coor- données données x, y, 1 des surfaces(20),
déduire les coordonnéesX, Y,
Z dessurfaces
qui
leur sontparallèles.
Posant
où
f(p)
et~r(~~
sont deux fonctions arbitraires nouvelles[la signification
desautres .lettres a été
expliquée
dansl’exposé
deséquations (1 g)
et(20)~,
onpeut,
en
intégrant
leséquations (i3)
et(l~)
duparallélisme,
déduire leséquations
dessurfaces
parallèles
aux surfaces x,(20)
sous la forme suivanteMais,
même sansintégrer,
nous ponvons nous assurer de l’exactitude de ceséquations
envërinant,
à l’aide de ladifférentiation,
les conditionsDémontrons que les
équations (22)
renferment comme casparticuliers :
t" leséquations générales
deslignes
de courbureconiques
et 2° leséquations générales
des
lignes
de courbureplanes.
En annulant
Y(p~,
cequi
fait quese transforme en
f ~q~,
et posantles
équations (22)
deviennent les suivantesici ),
désignent
des fonctions arbitrairesdep;
03B1, 03B2, a et f(q)désignent
desfonctions arbitraires de q ; les autres fonctions sont données à l’aide des
équa-
tions
(7), (u), (23);
et .Si nous additionnons les
équations (24) après multiplication
parel", 03B3",
nous obtenons
En additionnant les mêmes
équations, après
élévation aucarré,
nous trouvonsCette
équation, q
étant constant,représente
unesphère arbitraire,
parcequ’elle
renferme
quatre
fonctions arbitrairesde q :
ex,~,
a etf (q).
Les coordonnée~ docentre de cette