B ULLETIN DES SCIENCES
MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES
G. D ARBOUX
Sur une nouvelle méthode pour l’étude des courbes tracées sur les surfaces algébriques
Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, tome 2 (1871), p. 314-319
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SUR UNE NOUVELLE MÉTHODE POUR L'ÉTUDE DES COURBES TRACÉES SUR LES SURFACES ALGÉBRIQUES.
Le premier Mémoire de M. Clebsch, traitant de la représent?
des surfaces sur un plan double, a été inséré dans les Mémoir<
(l) Je dois signaler, en terminant, une remarquable Note de M. Lie, dans les richten de l'Université de Gcettîngue, où se trouvent d'importantes propositions i courbes et les surfaces tétraédrales les plus générales, propositions qui seront ans à leur place dans le Bulletin.
MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 3i5 la Société de Goettingue, t. XV (1). Les études générales de Fauteur, dont nous avons rendu compte, permettaient de prévoir que toute surface du 5e ordre ayant une ligne double du 4e ordre peut être représentée sur un plan simple (c'est-à-dire de manière qu'à un point du plan corresponde un seul point de la surface). Mais pour obtenir la représentation la plus simple de la surface, il était indis- pensable de commencer par établir l'existence de certaines coniques, en nombre limité et ne formant pas une série, qui se trouvent sur la surface. M. Clebsch montre que les difficultés que présente la re- cherche de ces coniques peuvent être facilement surmontées, quand on commence par rechercher (ce qui n'offre aucune difficulté) la re- présentation de la surface sur un plan double. Disons d'abord quelques mots de la génération et des propriétés de cette surface.
On reconnaît, d'abord, que la courbe double du 4e ordre ne peut être que de la première espèce $ car toute courbe double du 4e ordre et de deuxième espèce possédant une infinité de cordes qui la coupent en trois points et qui forment un hyperboloïde, ces cordes coupant la surface en trois points doubles en feraient partie tout entières, et la surface du 5e ordre se décomposerait en un hyperboloïde et une surface du 3e ordre. On trouve facilement l'équation de la sur- face ; elle peut s'écrire :
(i) C<p2 — 2Bcp^ -4- A4»2 = o,
où A, B, C désignent des fonctions linéaires, y, <p des fonctions du second degré des coordonnées. D'après cela, la surface est le lieu des coniques qui sont déterminées par les plans
et les surfaces
Les plans des coniques enveloppent le cône A C - B2r = O dont le sommet défini par les équations
A = o, B = o, C = o
( ' ) CLEBSCH (A.), Ueber die Abbildung einer Classe i)on Fl'àchen 5 Ordnung. Göt~
tingen, in der DielerichsclieJt Buchhandlimg, 1870. Ce Mémoiie se vend séparément*
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se trouve évidemment sur la surface. Ce point est d'ailleurs très- remarquable. Toute droite qui le contient coupe la surface en quatre autres points, qui se décomposent en deux groupes déterminés cha- cun par une équation du second degré. Le lieu des polaires de ce point, par rapport à chaque conique, forme une surface réglée du 4e ordre, ayant une courbe double du 3e ordre. Le cône enveloppe des plans des coniques est tangent doublement à la surface. Mais il y a un autre cône du 6e ordre, enveloppe des plans tangents simples de la surface, et ayant son sommet au même point que le cône des plans tangents doubles. Si l'on projette la surface du sommet com- mun de ces deux cônes, on obtient la représentation annoncée, et la courbe de passage est l'intersection du cône tangent simple par le plan de projection. Les formules de représentation sont de la forme
p* = —V-4-V'V'— l)W,
où U, V, W désignent des fonctions du 4e? du 3e, du ier degré d'une forme particulière des coordonnées A, p. d'un point du plan. La courbe
est la courbe de passage. Elle est du 6e degré, contient 1 à la 4e puis- sance et u à la 2e. En d'autres termes, elle a un point double et un point quadruple. M. Clebsch montre que ces propriétés suffisent à la définir et qu'elle est la courbe la plus générale satisfaisant aux con- ditions que nous venons d'énoncer.
Ces propriétés la rangent d'ailleurs dans la classe des courbes hyperelliptiques dont le genre est 3, et si l'on désigne par u^ tts, u3
les trois intégrales de première espèce correspondant à chaque point de la courbe, on aura, d'après le théorème d'Abel présenté sous la forme que lui ont donnée Riemann et M. Clebsch (Journal de Bor- chardt, t. LXIII, p. 197),
les intégrales étant prises avec des limites inférieures convenables, les sommes s'étendant à tous les points d'intersection de la courbe R avec une courbe algébrique donnée. N'oublions pas que les inté-
MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 3i7 grales ne sont déterminées qu'à des multiples près des six modules de périodicité. Cela posé, pour toute conique passant par les deux points multiples, on aura, comme le démontre M. Clebsch,
u) } — o ,
la somme s'étendant aux six points où la conique vient couper la courbe (en laissant de côté les deux points multiples), et si la conique doit être tangente en deux points, les intégrales précédentes sont égales deux à deux, et l'on a, pour les trois points de contact,
où les Q/ indiquent un système de périodes.
Comme les quantités Qf contiennent six nombres entiers, on aura 26 = 64, équations distinctes, et, par conséquent, 64 coniques. Ces coniques se détermineront donc par une équation du je degré, celle dont dépend la bissection des fonctions hyperelliptiques de genre p = 3, et l'on aura ensuite à résoudre plusieurs équations du 2edegré.
L'auteur démontre maintenant que ces coniques sont chacune la projection de deux courbes de la surface : i° d'une conique; 2° d'une courbe du 3e ordre. On voit donc que la surface contient 64 coniques isolées, et l'existence de telles coniques une fois établie, on peut représenter la surface sur un plan simple de la manière suivante :
La série de coniques qui engendre la surface coupe l'une quel- conque des coniques isolées que nous appellerons C en un seul point.
Or, dès qu'on connaît un point d'une conique, toutes les autres peu- vent s'exprimer rationnellement en fonction d'un paramètre. On pourra donc exprimer rationnellement les coordonnées de la sur- face en fonction : i° d'un paramètre fixant la position du plan de chaque conique-, 2° et d'un autre paramètre déterminant un point sur cette conique. Mais nous renvoyons à l'important Mémoire de M. Clebsch, qui contient bien des questions dont nous ne pouvons guère donner une idée ici : représentation de la courbe double, des coniques, etc., etc. Bornons-nous à dire que, dans la représentation du degré le moins élevé sur un plan simple, les sections planes de la surface sont représentées par des courbes du 4e ordre, ayant
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en commun un point double et sept points simples. Notre seul but était d'indiquer ici le point essentiel du Mémoire, la relation entre toutes les équations déterminant des éléments géométriques remar- quables d'une surface, et celles qui se rapportent à la bissection des fonctions liyperelliptiques et abéliennes.
M. Clebsch a publié un second Mémoire sur le même sujet dans les Mathematische Annalen. Ce Mémoire a pour titre : Ueber den Zusam- menhang einer Klasse von Flàchen-Abbildungen mit der Ziceitheilung der AbeVschen Functionen (*). L'auteur n'y considère que les surfaces qui peuvent être représentées à la fois sur un plan simple et sur un plan double. Alors, soient P le plan simple, Q le plan double. A tout point du plan double correspond un seul point du plan simple-, mais la réciproque n'est pas vraie. A un point du plan P correspondent deux points du plan Q, un dans chaque feuillet. On est donc conduit, en définitive, à éliminer la surface représentée et à consi- dérer des modes de transformation des figures planes, dans lesquels, à un point de l'une des figures (Q) correspondent deux points de l'autre figure (Q). Pour certains points de l'une des figures (P), les deux points de l'autre se confondent. L'ensemble de ces points con- fondus constitue la courbe de passage. Cela posé, on pourrait se pro- poser la question de la manière suivante : Trouver tous les modes de transformation plane dans lesquels, à un point de l'une des figures, correspond un point de l'autre. On reconnaît ainsi bien facilement que la question se réduit à trouver un réseau linéaire de courbes, tel que deux courbes appartenant à un même réseau se coupent en un certain nombre de points fixes contribuant à la définition du ré- seau et en deux points variables. On reconnaît encore facilement que ces courbes doivent être ou rationnelles, ou elliptiques, à moins que les points par lesquels passent toutes les courbes n'appartiennent, en totalité ou en partie, à ce qu'on appelle des systèmes complets de points d'intersection. Il serait possible de dresser des tables de ces
réseaux pour les différents ordres, analogues à celles que MM. Cre- mona et Cayley ont obtenues pour les transformations bi-rationnelles.
L'analogie paraît même indiquer que le nombre de tels réseaux, ne se ramenant pas les uns aux autres par des transformations linéaires, est limité, etc. Ce n'est pas ainsi que M. Clebsch pose la question.
{*) Mathematische Annalen, t. III, p. /p.
MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 3ig II suppose, comme cela a lieu pour les exemples à traiter, que Ton connaisse la courbe de passage H sur le plan de la représentation double. Alors les sections planes de la surface se projettent ou se représentent par des courbes K jouissant des propriétés suivantes : elles passent par certains points fixes de £1, et sont assujetties à être tangentes en des points variables se déplaçant sur û . Or M. Clebsch a déjà montré (Journal de Borchardt, t. LXIII) que la résolution al- gébrique de pareils problèmes a les rapports les plus intimes avec la bissection des fonctions abéliennes dont dépend la courbe Q; mais nous renverrons, pour les énoncés précis, au travail de M. Clebsch.
La suite du Mémoire est consacrée à des applications. La marche suivie par l'auteur est plutôt synthétique qu'analytique. On se donne une courbe de passage, et, sans examiner d'une manière gé- nérale si toute courbe de passage peut conduire à un mode de trans- formation de l'espèce déjà indiquée, on la choisit parmi celles qui conviennent à certaines surfaces et qui doivent donner une solution connue à l'avance. C'est ainsi qu'avec une conique pour courbe de passage M. Clebsch retrouve l'application sur un plan double d'une surface du 2 e ordre. Avec une courbe du 4e ordre, on obtient l'ap- plication sur le plan double de la surface générale du 3e ordre et de la surface du 4e ordre à conique double, etc. Ces deux dernières re- présentations s'effectuent en projetant : i° la surface du 3e ordre d'un point arbitraire de la surface*, i° la surface du 4e ordre, à co- nique double, d'un point arbitraire pris sur cette ligne. Signalons en- core l'étude importante des surfaces du 4e ordre à droite double et des surfaces du 5e ordre déjà traitées dans le Mémoire précédent, ce qui dispense l'auteur d'y insister. Enfin, M. Clebsch indique, dans une Note au bas de la page, une catégorie nouvelle de surfaces, les sur- faces du 5e ordre à ligne double du 5e ordre, qui, elles aussi, sont susceptibles d'une représentation sur un plan double, qui ont un point triple et qui contiennent io droites. C'est à cette classe qu'ap- partient, comme exemple spécial, la surface particulière du 5e ordre traitée dans notre Mémoire de février. G. D.
(A suivre,)
