Enoncé A5908 (Diophante) Concaténations à la chaîne
Q1 Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés par- faits non divisibles par 10 obtenus par concaténation1 de deux carrés parfaits>0.
Q2 Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés par- faits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de trois carrés parfaits>0.
Q3 Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés par- faits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de quatre carrés parfaits>0.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1000 n’étant pas un carré parfait, il existe (c’est un résultat de Fermat) une infinité2 d’entiersy tels que 1000y2+ 1 = x2, carré parfait.
A chaque couple (x, y)3 correspondent
Question 1 : le carré (13x)2, concaténation des deux carrés (13y)2 et 169 = 132;
Question 2 : le carré (13x)2, concaténation des trois carrés (13y)2, 16 = 42 et 9 = 32;
Question 3 : le carré (21x)2, concaténation des quatre carrés (21y)2, 4 = 22, 4 = 22 et 1 = 12.
Cependant, pour qu’aucun des carrés concaténés ne soit multiple de 10, il faut quey ne soit pas multiple de 10 ; pour cela, il faut exclure les valeurs dex vérifiantx2= 100000z2+ 14.
1. Nota : Par exemple la concaténation de 1 = 12 et de 36 = 62 donne l’entier 136. Aucun carré parfait obtenu par concaténation ne commence par un zéro.
2. Infinité dénombrable, s’agissant d’un sous-ensemble de l’ensemble des entiers qui est lui-même dénombrable.
3. Le plus petit est (39480499,1248483) ; les suivants sont donnés parx= Tk(39480499), oùTk est le polynôme de Tchebychev de degrék.
4. Il existe un entier m tel que la plus petite solution en x soit Tm(39480499). Il faut donc exclure les degréskmultiples dem.
