Exercices de vacances

Mathématiques Lycée Jacques Prévert BCPST 2

2020–2021

Exercices de vacances

1 Exercices

Exercice 1 : Soientnun entier naturel etxun réel. Calculer la somme suivante.

Xn

k=0

n k

!

cos(kx).

Exercice 2 : Soientnun entier naturel non nul etθun réel qui n’appartient pas à 2πZ. Démontrer que

n−1

X

k=0 k

X

`=−k

e^i`θ=







 sin_nθ

2

sin_θ

2











2

.

Exercice 3 : Soienta₀, a₁, . . . , a_n, b₁, b₂, . . . , b_ndeux nombres réels. Soit l’applicationf définie surRpar

∀x∈R, f(x) =

n

X

k=0

a_kcos(kx) +

n

X

k=1

b_ksin(kx).

Démontrer que l’application|f|admet un maximum global surR. Exercice 4 : Soient deux réelsaetb. Pour toutn∈N^∗, on note P_n(X) =

((X−a)(X−b))ⁿ(n)

. Démontrer

∀n∈N^∗,∀Q∈R_n−1[X], Z b

a

P_n(t)Q(t) dt= 0.

Exercice 5 : Soient f un élément de C⁰(R,R) et K un segment de R tel que K est inclus dans f(K).

Démontrer que l’applicationf admet un point fixe dans K.

Exercice 6 : Résoudre l’équation différentielle suivante surR^∗

+. y⁰−y

x = 1

1 +x².

Exercice 7 : Soitαun élément de ]0 ; 1[. On dit qu’une applicationf :R→Restα-höldérienne surR si :

∃k∈R^∗₊,∀(x, y)∈R²,|f(x)−f(y)|6k|x−y|^α.

1. Montrer que toute applicationR→Rqui estα-höldérienne est aussi continue.

2. On note C^0,α(R) l’ensemble des fonctions α-höldériennes de R dans R. Démontrer les deux points suivants.

(a) ∀f₁, f₂,∈C^0,α(R), f₁+f₂∈C^0,α(R) ; (b) ∀f ∈C^0,α(R),∀λ∈R,λf ∈C^0,α(R).

3. Que pouvez-vous dire de l’ensembleC^0,α(R) ?

Exercice 8 : Soitf une application de [0 ; 1] dansR, de classeC²sur [0 ; 1]. Démontrer que l’application ϕsuivante se prolonge par continuité en 0 et que ce prolongement est de classeC¹sur [0 ; 1].

ϕ:x7→











]0 ; 1]→R x7→ f(x)−f(0)

sin(x) .

Exercice 9 : Soit une applicationf de [0 ; 1] dansR, de classeC¹sur [0 ; 1]. Démontrer que

n→lim+∞

Z ₁

0

f(t) sin(nt) dt= 0.

Exercice 10 : Pour toute applicationf deR^∗

+dansR, on pose : ϕ_f :











R^∗₊×R^∗₊→R (x, y)7→f

y x

.

Déterminer toutes les applicationsf ∈ C²(R^∗

+,R) telles que l’applicationϕ_f vérifie :

∀(x, y)∈(R^∗₊)², €²ϕ_f

€x² (x, y) +€²ϕ_f

€y² (x, y) = 0.

Exercice 11 : On définit la suite de polynômes (P_n)_n∈Npar :













 P₀= 1 P₁= 1−2X

∀n∈N, P_n+2= 2(1−2X)P_n+1−P_n. 1. Exprimer P_n(−1) en fonction de l’entiern.

2. Démontrer que pour tout entier naturel n, P_n est un polynôme à coefficients entiers dont on précisera le degré.

3. Démontrer que :

∀n∈N, ∀x∈R,P_n(sin²x) = cos(2nx).

Exercice 12 : On note cotan l’application cos

sin. Démontrer que pour tout entier naturelnet tout élément xdeR\πZ, on a :

sin((2n+ 1)x) = sin²ⁿ⁺¹(x) Xn

k=0

(−1)^k 2n+ 1 2k+ 1

!

cotan^2n−2k(x).

Indication :On pourra utiliser les formules de Moivre.

Exercice 13 : On fixe un entier naturel non nulnet on pose : P_n= (X²−1)ⁿ.

1. Démontrer que pour tout élémentk de J0 ;n−1K, Pn^(k) admet au moinsk+ 2 racines distinctes dans [−1 ; 1], dont−1 et 1.

2. En déduire que Pn⁽ⁿ⁾admet exactementnracines simples qui sont toutes dans ]−1 ; 1[.

Exercice 14 : Soitnun entier naturel. Déterminer le développement limité à l’ordrenen 0 de l’appli- cationf suivante :

f :x7→ln(x²+ 5x+ 6).

Exercice 15 : Soitnun entier naturel. Démontrer qu’il existe un polynôme P_nà coefficients dansNtel que :

∀x∈]0 ;π

2[, tan⁽ⁿ⁾(x) = P_n(tan(x)).

Dans les exercices qui suivent,KdésigneRouC,nest un entier naturel non nul, E désigneKⁿ, etL(E) est l’ensemble des applications linéaires de E dans E.

Pour toute application linéairef : E→E et toutk∈N, la notationf^kdésigne f^k=f ◦f ◦ · · · ◦f

| {z }

kfacteurs

en convenantf⁰= Id_E.

Exercice 16 : Soitf etg deux éléments deL(E) qui commutent (i.e.tels quef ◦g=g◦f). Démontrer que Ker(f) est stable parg.

Exercice 17 : Soitf un élément deL(E).

1. Démontrer

∀k∈N,Ker(f^k)⊂Ker(f^k+1).

2. On suppose qu’il existe un entier naturelptel que

Ker(f^p) = Ker(f^p+1).

Démontrer

∀q∈N, Ker(f^p+q)⊂Ker(f^p).

3. Démontrer

∃p∈N,Ker(f^p) = Ker(f^p+1).

Exercice 18 : Soit #»x un élément non nul de E, et soitf un élément deL(E). Pour toutk∈N, soit F_k= (#»x , f(#»x), . . . , f^k(#»x)) et G_k= Vect(F_k)

en convenantF₀= (#»x) et G₀= Vect(#»x). Soit enfin G =

∞

[

k=0

G_k. 1. Justifier que G est un sous-espace vectoriel.

2. Démontrer que l’ensemble des entiers naturels m tels que F_m est libre admet un plus grand élément. On le notep.

3. Démontrer que la familleF_pest une base de G.

Exercice 19 : Soitf un élément de L(E) tel que pour tout #»x appartenant à E, les vecteurs #»x etf(#»x) sont colinéaires. Démontrer

∃λ∈K, f =λId_E. Une telle applicationf est appelée unehomothétie.

Exercice 20 : Soitf un élément deL(E) de rang 1. Démontrer qu’il existe un vecteur #»y dans E, et une application linéaireϕ: E→K, telle que

∀#»x ∈E, f(#»x) =ϕ(#»x)#»y .

Exercice 21 : Soit T une variable aléatoire à valeurs dansJ0 ; NK. Démontrer E(T) =

N−1

X

n=0

P(T> n).

2 Indications et solutions partielles

Exercice 1 : On écrit que cos(kx) est la partie réelle dee^ikx puis on applique le binôme de Newton. La forme simplifiée au maximum est

2ⁿcos nx

2

cosⁿ x

2

.

Exercice 2 : La somme intérieure est géométrique de raison différente de 1. Après simplifications

∀k∈

J0 ;n−1K, Xk

`=−k

e^i`θ=sin k+¹₂

θ sin_θ

2

On raisonne ensuite comme dans l’exercice précédent en écrivant que sin(kx) est la partie imaginaire dee^ikx.

Exercice 3 : L’applicationf est périodique. Penser au théorème sur l’image d’un segment.

Exercice 4 : Notons S_n= ((X−a)(X−b))ⁿde sorte que S⁽ⁿ⁾_n = P_n. En intégrant par parties Z _b

a

P_n(t)Q(t) dt=h

S⁽ⁿn⁻¹⁾(t)Q(t)ib a−

Z _b

a

S⁽ⁿn⁻¹⁾(t)Q⁰(t) dt.

Le crochet est nul caraetbsont des racines de S_nde multiplicitén. En itérant la méthode on obtient Z _b

a

P_n(t)Q(t) dt= (−1)ⁿ Z _b

a

S_n(t)Q⁽ⁿ⁾(t) dt= 0.

Exercice 5 : On applique le théorème des valeurs intermédiaires àf −Id_K. Cette application change de signe car K est inclus dansf(K).

Exercice 6 : Pour intégrerx7→ 1

x(1 +x²), songer que 1 = (1 +x²)−x². Les solutions sont les applications suivantes oùλest un réel quelconque

x7→λx+xln x

√ 1 +x²

! .

Exercice 7 :

1. Étant donnéef une fonction α-höldérienne, majorer|f(x)−f(a)| pour prouver lim

x→af(x) = f(a) pour toutaréel.

2. (a) Siketk⁰conviennent pourf₁etf₂, alorsk+k⁰convient pourf₁+f₂, en utilisant soigneusement l’inégalité triangulaire.

(b) Sikconvient pourf,|λ|kconvient pourλf.

3. L’application nulle étant clairementα-höldérienne,C^0,α(R) est un espace vectoriel.

Exercice 8 : Un développement limité à l’ordre 2 en 0 permet d’établir que ϕtend versf⁰(0) en 0 et que son prolongement par continuité est dérivable avecϕ⁰(0) = f⁰⁰(0)

2 .

L’applicationf étant de classeC², l’applicationϕest de classeC¹au moins sur ]0 ; 1] et

∀x∈]0 ; 1], ϕ⁰(x) =f⁰(x) sin(x)−(f(x)−f(0)) cosx

sin²x .

Un développement limité à l’ordre 2 en 0 permet d’établir queϕ⁰tend vers 0 en 0.

Exercice 9 : Intégration par parties et théorème sur l’image d’un segment.

Exercice 10 : Le calcul donne

€²ϕ_f

€x² (x, y) +€²ϕ_f

€y² (x, y) =2y x³f⁰

y x

+y² x⁴f⁰⁰

y x

+ 1 x²f⁰⁰

y x

On poset= y

x. Lorsque (x, y) décrit (R^∗₊)²,tdécrit R^∗₊ donc le problème revient à résoudre l’équation différentielle suivante (obtenue en multipliant l’équation à résoudre par le réel non nulx²)

2tf⁰(t) + (t²+ 1)f⁰⁰(t) = 0.

Les solutions sont les applications de la forme

t7→λ+µarctant avecλ,µ∈R.

Exercice 11 :

1. La suite (P_n(−1)) est récurrente linéaire du second ordre. En déterminant P₀(−1) et P₀(1), on obtient

∀n∈N, P_n(−1) =(3 + 2

√

2)ⁿ+ (3−2

√ 2)ⁿ

2 .

2. Par récurrence double, P_nest à coefficients entiers et de degrén.

3. Pour tout réelxet tout entier naturelnon a

P_n+2(sin²x) = 2(1−2 sin²x)P_n+1(sin²x)−P_n(sin²x) = 2 cos(2x)P_n+1(sin²x)−P_n(sin²x).

On conclut par récurrence double en utilisant la formule de trigonométrie : 2 cos(a) cos(b) = cos(a+b) + cos(a−b).

Exercice 12 : Étant donnésn∈Netx∈R\πZ, on part des égalités

sin((2n+ 1)x) ==(e^i(2n+1)x) ==((cosx+isinx)²ⁿ⁺¹) et on développe par binôme de Newton.

Exercice 13 : On fixe un entier naturel non nulnet on pose : P_n= (X²−1)ⁿ.

1. D’abord,−1 et 1 sont racines de P_n d’ordren. On raisonne ensuite par récurrence sur ken ap- pliquant le théorème de Rolle : il y a une racine de P_n^(k+1)dans chaque intervalle ouvert délimité par deux racines de P_n^(k).

2. On applique une dernière fois le théorème de Rolle et on conclut par degré.

Exercice 14 : On prend garde quex²+ 5x+ 6 ne tend pas vers 1 quandxtend vers 0 : on ne peut donc appliquer directement le développement de ln(1 +u) en 0.

Mais pourxdans un intervalle prudemment choisi, on peut utiliser ln(x²+ 5x+ 6) = ln((x+ 2)(x+ 3)) = ln(x+ 2) + ln(x+ 3) = ln(6) + ln

1 +x

2

+ ln

1 +x 3

.

Exercice 15 : On raisonne par récurrence en utilisant le fait tan⁰= 1 + tan².

Dans les exercices qui suivent,KdésigneRou C,nest un entier naturel non nul, E désigne leKⁿ, et L(E) est l’ensemble des applications linéaires de E dans E.

Exercice 16 : Pour tout élément #»x de Ker(f) on a

f(g(#»x)) =g(f(#»x) =g(#»

0 ) = #»

0. Exercice 17 :

1. Pour tout entier naturelket tout élément #»x de E, on a f^k(#»x) = 0 =⇒ f^k+1(#»x) =f(#»

0 ) =#»

0.

2. On raisonne par récurrence surqen remarquant que siqest non nul, alors pour tout élément #»x de E on a

f^p+q(#»x) =#»

0 =⇒ f^p+1(f^q−1(#»x)) = 0 =⇒ f^q−1(#»x)∈Ker(f^p+1)

=⇒ f^q−1(#»x)∈Ker(f^p) =⇒ f^p+q−1(#»x) =#»

0.

3. Par la première question, la suite (dim(Ker(f^k))_k∈N est croissante. On sait qu’il n’existe pas de suite d’entiers naturels strictement croissante et majorée. . .

Exercice 18 :

1. Notons que chaque G_k est un sous-espace vectoriel engendré, donc un sous-espace vectoriel.

Étant donnés x, y ∈G, il existe des entiers naturelsk et` tels quex ety appartiennent à G<sub>k</sub> et G<sub>`</sub> respectivement. La suite (G_k)_k∈N étant croissante pour l’inclusion, G_max(k,`) contient x ety ensembles, donc toutes leurs combinaisons linéaires aussi, qui appartiennent alors à G.

G est aussi non vide car contient G₀, qui est non vide.

2. C’est une partie non vide deN(elle contient 0) et majorée par la dimension de E.

3. La liberté découle de la définition dep.

Par définition dep, la familleF_p+1=F_p∪(f^p+1(#»x)) est liée alors queF_pest libre, par conséquent f^p+1(#»x) appartient à Vect(F_p). On démontre par récurrence que c’est encore le cas pourf^p+q(#»x) pour tout entier naturelq.

Exercice 19 : On justifie que pour tout #»x non nul appartenant à E, il existe ununiquescalaireλ(#»x) tel quef(#»x) =λ(#»x)#»x. Par l’absurde, s’il existe dans E deux vecteurs non nuls #»x et#»y tels queλ(#»x),λ(#»y), on peut prouver que (#»x ,#»y) est libre puis quef(#»x +#»y) n’est pas colinéaire à #»x +#»y.

Exercice 20 : L’image def est de dimension 1, donc engendrée par un vecteur de E non nul #»y. Alors

∀#»x ∈E, ∃!ϕ(#»x)∈K, f(#»x) =ϕ(#»x)#»y . Il reste à prouver la linéarité deϕ.

Exercice 21 : Comme T est à valeurs entières, on a pour tout entierk [T> k−1] = [T =k]∪[T> k]

ce qui conduit àP(T =k) =P(T> k−1)−P(T> k). On a donc E(T) =

N

X

k=0

kP(T =k) =

N

X

k=0

k(P(T> k−1)−P(T> k)).

On sépare cette somme en deux par linéarité, on effectue un changement d’indice dans une des deux sommes obtenus pour ensuite recombiner les termes par linéarité.